(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)案 新人教A版選修2-2
《(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)案 新人教A版選修2-2(14頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)證明一些簡單的不等式問題.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的單調(diào)性的基本方法. 1.函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系 定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)y=f(x): f′(x)的正負(fù) f(x)的單調(diào)性 f′(x)>0 單調(diào)遞增 f′(x)<0 單調(diào)遞減 特別提醒:①若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f′(x)=0,其余的點(diǎn)恒有f′(x)>0,則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似). ②f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0. 2.函
2、數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系 一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x),在區(qū)間(a,b)上 導(dǎo)數(shù)的絕對值 函數(shù)值變化 函數(shù)的圖象 越大 快 比較“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比較“平緩”(向上或向下) 3.利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題需要注意的問題 (1)定義域優(yōu)先的原則:解決問題的過程只能在定義域內(nèi),通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (2)注意“臨界點(diǎn)”和“間斷點(diǎn)”:在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí),除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)外,還要注意在定義域內(nèi)的間斷點(diǎn). (3)如果一個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè),這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“∪”連接,而只能用“逗號(hào)”或“和”字等隔開.
3、 1.如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.( √ ) 2.函數(shù)在某區(qū)間上變化越快,函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)的絕對值越大.( √ ) 類型一 利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍 例1 若函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是________. 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 題點(diǎn) 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍) 答案 [1,+∞) 解析 由于f′(x)=k-,f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,等價(jià)于f′(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立. 由于k≥,而0<<1,所以k≥1. 即k
4、的取值范圍為[1,+∞).
引申探究
1.若將本例中條件遞增改為遞減,求k的取值范圍.
解 ∵f′(x)=k-,
又f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f′(x)=k-≤0在(1,+∞)上恒成立,
即k≤,∵0<<1,∴k≤0.
即k的取值范圍為(-∞,0].
2.若將本例中條件遞增改為不單調(diào),求k的取值范圍.
解 f(x)=kx-ln x的定義域?yàn)?0,+∞),
f′(x)=k-.
當(dāng)k≤0時(shí),f′(x)<0.
∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故不合題意.
當(dāng)k>0時(shí),令f′(x)=0,得x=,
只需∈(1,+∞),即>1,則0 5、(0,1).
反思與感悟 (1)利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個(gè)基本思路
①將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍,然后檢驗(yàn)參數(shù)取“=”時(shí)是否滿足題意;
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出參數(shù)的取值范圍后,再驗(yàn)證參數(shù)取“=”時(shí)f(x)是否滿足題意.
(2)恒成立問題的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max;
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟蹤訓(xùn)練1 若函數(shù)f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞減,在(6,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值 6、范圍.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
題點(diǎn) 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)
解 方法一 (直接法)
f′(x)=x2-ax+a-1,
令f′(x)=0,得x=1或x=a-1.
當(dāng)a-1≤1,即a≤2時(shí),函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,不合題意.
當(dāng)a-1>1,即a>2時(shí),函數(shù)f(x)在(-∞,1)和(a-1,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,a-1)上單調(diào)遞減,
由題意知(1,4)?(1,a-1)且(6,+∞)?(a-1,+∞),
所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5,7].
方法二 (數(shù)形結(jié)合法)
如圖所示,
f′(x)=(x-1)[ 7、x-(a-1)].
因?yàn)樵?1,4)內(nèi),f′(x)≤0,
在(6,+∞)內(nèi)f′(x)≥0,
且f′(x)=0有一根為1,
所以另一根在[4,6]上.
所以即所以5≤a≤7.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5,7].
方法三 (轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題)
f′(x)=x2-ax+a-1.
因?yàn)閒(x)在(1,4)上單調(diào)遞減,
所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立.
即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1,
因?yàn)? 8、∞)上恒成立,
所以a≤x+1,
因?yàn)閤+1>7,
所以當(dāng)a≤7時(shí),f′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.
綜上知5≤a≤7.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5,7].
類型二 證明不等式
例2 證明ex≥x+1≥sin x+1(x≥0).
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
證明 令f(x)=ex-x-1(x≥0),則f′(x)=ex-1≥0,
∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴對任意x∈[0,+∞),有f(x)≥f(0),而f(0)=0,
∴f(x)≥0,即ex≥x+1,
令g(x)=x-sin x(x≥0),g′(x)=1-cos x≥0, 9、
∴g(x)≥g(0),即x-sin x≥0,
∴x+1≥sin x+1(x≥0),
綜上,ex≥x+1≥sin x+1.
反思與感悟 用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)>g(x)的一般步驟
(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),x∈[a,b].
(2)證明F′(x)=f′(x)-g′(x)≥0,且F(a)>0.
(3)依(2)知函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在[a,b]上是單調(diào)遞增函數(shù),故f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x).
這是因?yàn)镕(x)為單調(diào)遞增函數(shù),
所以F(x)≥F(a)>0,
即f(x)-g(x)≥f(a)-g(a)>0.
跟蹤訓(xùn)練2 已知x>0,證 10、明不等式ln(1+x)>x-x2成立.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
證明 設(shè)f(x)=ln(1+x)-x+x2,
則f′(x)=-1+x=.
當(dāng)x>-1時(shí),f′(x)>0,
則f(x)在(-1,+∞)內(nèi)是增函數(shù).
∴當(dāng)x>0時(shí),f(x)>f(0)=0.
∴當(dāng)x>0時(shí),不等式ln(1+x)>x-x2成立.
1.已知命題p:對任意x∈(a,b),有f′(x)>0,q:f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)遞增的,則p是q的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
考點(diǎn) 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
題 11、點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性
答案 A
2.已知對任意實(shí)數(shù)x,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,g′(x)>0,則當(dāng)x<0時(shí)( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0
考點(diǎn) 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性
答案 B
解析 由題意知,f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù).
當(dāng)x>0時(shí),f(x),g(x)都單調(diào)遞增,
則當(dāng)x<0時(shí),f(x)單調(diào)遞增,g(x)單調(diào)遞減,
即 12、f′(x)>0,g′(x)<0.
3.已知函數(shù)f(x)=x3-12x,若f(x)在區(qū)間(2m,m+1)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
題點(diǎn) 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)
答案 [-1,1)
解析 f′(x)≤0,即3x2-12≤0,得-2≤x≤2.
∴f(x)的減區(qū)間為[-2,2],
由題意得(2m,m+1)?[-2,2],
∴得-1≤m<1.
4.函數(shù)y=ax-ln x在上單調(diào)遞增,則a的取值范圍為________.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
題點(diǎn) 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)
答案 [2,+∞)
13、
解析 y′=a-,由題意知,
當(dāng)x∈時(shí),y′≥0,
即a≥在上恒成立,
由x∈得,<2,∴a≥2.
5.證明方程x-sin x=0只有一個(gè)實(shí)根,并試求出這個(gè)實(shí)根.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
解 令f(x)=x-sin x,x∈(-∞,+∞),
則f′(x)=1-cos x>0,
所以f(x)在(-∞,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),其圖象若穿越x軸,則只有一次穿越的機(jī)會(huì),
顯然x=0時(shí),f(x)=0.
所以方程x-sin x=0有唯一的實(shí)根x=0.
利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個(gè)基本思路
(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題, 14、即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍,然后檢驗(yàn)參數(shù)取“=”時(shí)是否滿足題意;
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出參數(shù)的取值范圍后,再驗(yàn)證參數(shù)取“=”時(shí),f(x)是否滿足題意.
一、選擇題
1.函數(shù)y=x4-2x2+5的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.(-∞,-1)和(0,1)
B.[-1,0]和[1,+∞)
C.[-1,1]
D.(-∞,-1]和[1,+∞)
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
答案 A
解析 y′=4x3-4x,令y′<0,即4x3-4x<0,
解得x<-1或0 15、 16、
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
題點(diǎn) 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)
答案 A
解析 顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=4x-=.由f′(x)>0,得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為;由f′(x)<0,得函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(k-1,k+1)上不是單調(diào)函數(shù),所以k-1<<k+1,解得-<k<,又因?yàn)?k-1,k+1)為定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間,所以k-1≥0,即k≥1.綜上可知,1≤k<.
4.若a>0,且f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是( )
A.(0,3) B.(0,3]
C.(3,+∞) D.[3,
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