2022年高中數(shù)學（北師大版）選修1-2教案：第1章 一道回歸分析題的思維拓展與延伸

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1、 2022年高中數(shù)學（北師大版）選修1-2教案：第1章 一道回歸分析題的思維拓展與延伸 一、回歸分析的基本步驟： (1) 畫出兩個變量的散點圖. (2) 求回歸直線方程. (3) 用回歸直線方程進行預(yù)報. 下面我們通過案例，進一步學習、拓展與延伸回歸分析的基本思想及其應(yīng)用． 二、舉例： 例1. 從某大學中隨機選取 8 名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表 編號 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 體重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59

2、 求根據(jù)女大學生的身高預(yù)報體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為 172 cm 的女大學生的體重． 解：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報體重，因此選取身高為自變量 x ，體重為因變量 y . 作散點圖，如下圖 從圖中可以看出，樣本點呈條狀分布，身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程來近似刻畫它們之間的關(guān)系． 根據(jù)公式： （1） （2） 其中，（）成為樣本點的中心. 可以得到. 于是得到回歸方程. 因此，對于身高172 cm 的女大學生，由回歸方程可以預(yù)報其體重為 ( kg ) . 是斜率的估計值，說明身高 x 每增加1個單位時，體重y就

3、增加0.849 位，這表明體重與身高具有正的線性相關(guān)關(guān)系． 三．思維拓展與延伸 1.如何描述它們之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱？ 在必修 3 中，我們介紹了用相關(guān)系數(shù)；來衡量兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的方法．本相關(guān)系數(shù)的具體計算公式為. 當r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；當r<0時，表明兩個變量負相關(guān)．r的絕對值越接近1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強；r的絕對值接近于0時，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常，當r的絕對值大于0. 75 時認為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系． 在本例中，可以計算出r =0. 798．這表明體重與身高有很強的線性相關(guān)關(guān)系，從而也表明我們建立的回歸模型是有意義

4、的． 2.如何理解與間的誤差 顯然，身高172cm 的女大學生的體重不一定是60. 316 kg，但一般可以認為她的體重接近于60 . 316 kg .如下圖中的樣本點和回歸直線的相互位置說明了這一點． 由于所有的樣本點不共線，而只是散布在某一條直線的附近，所以身高和體重的關(guān)系可用下面的線性回歸模型來表示： 這里a和b為模型的未知參數(shù)，e是y與之間的誤差．通常e為隨機變量，稱為隨機誤差，它的均值 E(e）=0，方差D（e）=＞0 ．這樣線性回歸模型的完整表達式為： (3) 在線性回歸模型（3）中，隨機誤差e的方差護越小，通過回歸直線 預(yù)報真實值y的精度越高．隨機

5、誤差是引起預(yù)報值與真實值 y 之間的誤差的原因之一，大小取決于隨機誤差的方差. 另一方面，由于公式（1）和（2）中 和為截距和斜率的估計值，它們與真實值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報值與真實值y之間誤差的另一個原因． 3. 產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么? 一個人的體重值除了受身高的影響外，還受許多其他因素的影響．例如飲食習慣、是否喜歡運動、度量誤差等．事實上，我們無法知道身高和體重之間的確切關(guān)系是什么，這里只是利用線性回歸方程來近似這種關(guān)系．這種近似以及上面提到的影響因素都是產(chǎn)生隨機誤差 e的原因． 因為隨機誤差是隨機變量，所以可以通過這個隨機變量的數(shù)字特征來刻畫它的一些總體

6、特征．均值是反映隨機變量取值平均水平的數(shù)字特征，方差是反映隨機變量集中于均值程度的數(shù)字特征，而隨機誤差的均值為0，因此可以用方差來衡量隨機誤差的大?。? 4. 用身高預(yù)報體重時，需要注意哪些問題？ 需要注意下列問題： （1）．回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體．例如，不能用女大學生的身高和體重之間的回歸方程，描述女運動員的身高和體重之間的關(guān)系．同樣，不能用生長在南方多雨地區(qū)的樹木的高與直徑之間的回歸方程，描述北方干旱地區(qū)的樹木的高與直徑之間的關(guān)系． （2）．我們所建立的回歸方程一般都有時間性．例如，不能用 20 世紀 80 年代的身高體重數(shù)據(jù)所建立的回歸方程，描述現(xiàn)在的身高和體重之間的關(guān)系． （3）．樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍．例如，我們的回歸方程是由女大學生身高和體重數(shù)據(jù)建立的，那么用它來描述一個人幼兒時期的身高和體重之間的關(guān)系就不恰當（即在回歸方程中，解釋變量 x 的樣本的取值范圍為［155cm,170cm〕 ，而用這個方程計算 x-70cm 時的y值，顯然不合適．) （4）．不能期望回歸方程得到的預(yù)報值就是預(yù)報變量的精確值．事實上，它是預(yù)報變量的可能取值的平均值．