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1、浙江省2022年中考數(shù)學(xué) 第六單元 圓 課時(shí)訓(xùn)練27 直線與圓的位置關(guān)系練習(xí) (新版)浙教版
1.[xx·常州] 如圖K27-1,AB是☉O的直徑,MN是☉O的切線,切點(diǎn)為N,如果∠MNB=52°,則∠NOA的度數(shù)為( )
圖K27-1
A.76° B.56°
C.54° D.52°
2.[xx·濱州] 若正方形的外接圓半徑為2,則其內(nèi)切圓半徑為 ( )
A. B.2 C. D.1
3.[xx·日照] 如圖K27-2,AB是☉O的直徑,PA切☉O于點(diǎn)A,連結(jié)PO并延長交☉O于點(diǎn)C,連結(jié)AC,AB=10,∠P=30°,則AC的長度是 ( )
2、
圖K27-2
A.5 B.5 C.5 D.
4.[xx·河北] 如圖K27-3,點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心,AB=4,AC=3,BC=2,將∠ACB平移使其頂點(diǎn)與I重合,則圖中陰影部分的周長為 ( )
圖K27-3
A.4.5 B.4 C.3 D.2
5.[xx·杭州] 如圖K27-4,AT切☉O于點(diǎn)A,AB是☉O的直徑,若∠ABT=40°,則∠ATB= .?
圖K27-4
6.[xx·棗莊] 如圖K27-5,在平行四邊形ABCD中,AB為☉O的直徑,☉O與DC相切于點(diǎn)E,與AD相交于點(diǎn)F,已知AB=12,∠C=60°,則弧FE的長為
3、 .?
圖K27-5
7.[xx·包頭] 如圖K27-6,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C在☉O上,過點(diǎn)C的切線與BA的延長線交于點(diǎn)D,點(diǎn)E在上(不與點(diǎn)B,C重合),連結(jié)BE,CE.若∠D=40°,則∠BEC= 度.?
圖K27-6
8.[xx·岳陽] 如圖K27-7,以AB為直徑的☉O與CE相切于點(diǎn)C,CE交AB的延長線于點(diǎn)E,直徑AB=18,∠A=30°,弦CD⊥AB,垂足為點(diǎn)F,連結(jié)AC,OC,則下列結(jié)論正確的是 .(寫出所有正確結(jié)論的序號)?
①=;②扇形OBC的面積為π;③△OCF∽△OEC;④若點(diǎn)P為線段OA上一動(dòng)點(diǎn),則AP·OP有最大值20.25.
圖
4、K27-7
9.[xx·葫蘆島] 如圖K27-8,AB是☉O的直徑,=,E是OB的中點(diǎn),連結(jié)CE并延長到點(diǎn)F,使EF=CE,連結(jié)AF交☉O于點(diǎn)D,連結(jié)BD,BF.
(1)求證:直線BF是☉O的切線;
(2)若OB=2,求BD的長.
圖K27-8
10.[xx·沈陽] 如圖K27-9,BE是☉O的直徑,點(diǎn)A和點(diǎn)D是☉O上的兩點(diǎn),過點(diǎn)A作☉O的切線交BE延長線于點(diǎn)C.
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度數(shù);
(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半徑的長.
圖K27-9
|拓展提升|
11.
5、[xx·寧波] 如圖K27-10,正方形ABCD的邊長為8,M是AB的中點(diǎn),P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)PM,以點(diǎn)P為圓心,PM長為半徑作☉P.當(dāng)☉P與正方形ABCD的邊相切時(shí),BP的長為 .?
圖K27-10
12.[xx·南京] 結(jié)果如此巧合!
下面是小穎對一道題目的解答.
題目:如圖K27-11,Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積.
圖K27-11
解:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC,BC相切于點(diǎn)E,F,CE的長為x.
根據(jù)切線長定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.
根據(jù)勾股定理,得(x+3)2+(x
6、+4)2=(3+4)2.
整理,得x2+7x=12.
所以S△ABC=AC·BC
=(x+3)(x+4)
=(x2+7x+12)
=×(12+12)
=12.
小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4,即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎?
請你幫她完成下面的探索.
已知:△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D,AD=m,BD=n.
可以一般化嗎?
(1)若∠C=90°,求證:△ABC的面積等于mn.
倒過來思考呢?
(2)若AC·BC=2mn,求證:∠C=90°.
改變一下條件……
(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面積.
7、
參考答案
1.A [解析] ∵N為切點(diǎn),∴MN⊥ON,則∠MNO=90°,
已知∠MNB=52°,∴∠BNO=38°,
∵ON=OB,∴∠BNO=∠B,∴∠NOA=2∠BNO=76°,選項(xiàng)A正確.
2.A [解析] 如圖,由“正方形的外接圓半徑為2”可得OB=2,∠OBC=45°,由切線性質(zhì)可得∠OCB=90°,所以△OBC為等腰直角三角形,所以O(shè)C=OB=.
3.A [解析] 過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D,
∵AB是☉O的直徑,PA切☉O于點(diǎn)A,
∴AB⊥AP,∴∠BAP=90°.
∵∠P=30°,
∴∠AOP=60°,∴∠AOC=120°.
∵OA=
8、OC,∴∠OAD=30°.
∵AB=10,∴OA=5,
∴OD=AO=,∴AD==,
∴AC=2AD=5,故選A.
4.B [解析] 設(shè)△ABC的AB邊上的高為h,△MNI的周長為a,MN邊上的高為r,則△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,∴△ABC的面積=AB·h·=(AB+BC+AC)·r·,∴4h=9r,∴=.∵△MNI∽△ABC,∴=,∴△MNI的周長=×(4+3+2)=4,故選B.
5.50° [解析] ∵AT是☉O的切線,∴∠TAB=90°,又∵∠ABT=40°,∴∠ATB=50°.
6.π [解析] 如圖,連結(jié)OE,OF,
∵CD是☉O的切線,
∴OE⊥CD,∴∠OED
9、=90°.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠C=60°,
∴∠A=∠C=60°,∠D=120°.
∵OA=OF,∴∠A=∠OFA=60°,
∴∠DFO=120°,
∴∠EOF=360°-∠D-∠DFO-∠DEO=30°,
∴的長=×6=π.
7.115 [解析] 連結(jié)OC,AC,由CD是切線得∠OCD=90°.又因?yàn)椤螪=40°,可得∠COD=50°.因?yàn)镺A=OC,可得∠OAC=65°.因?yàn)樗倪呅蜛CEB是圓內(nèi)接四邊形,由圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得到∠BEC的度數(shù).
8.①③④ [解析] ∵AB是☉O的直徑,且CD⊥AB,
∴=,故①正確;
∵∠A=30°,∴∠COB=60°
10、,
∴扇形OBC的面積=·π·2=π,故②錯(cuò)誤;
∵CE是☉O的切線,∴∠OCE=90°,
∴∠OCD=∠OEC,∠EOC=∠COF,∴△OCF∽△OEC,故③正確;
設(shè)AP=x,則OP=9-x,
∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-2+,
∴當(dāng)x=時(shí),AP·OP的最大值為=20.25,故④正確.故答案為①③④.
9.解:(1)證明:連結(jié)OC,
∵AB是☉O的直徑,=,
∴∠AOC=∠BOC=90°.
∵E是OB的中點(diǎn),EF=CE,∴△COE≌△FBE.
∴∠FBE=∠COE=90°.∴直線BF是☉O的切線.
(2)∵△COE≌△FBE,OB=2,∴BF=O
11、C=2.
在Rt△ABF中,由勾股定理得AF=2.
∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,
∴△ADB∽△ABF,∴=,
即=,解得BD=.
10.解:(1)如圖,連結(jié)OA,由切線的性質(zhì)可得∠OAC=90°,∵∠ADE=25°,∴∠AOC=50°,∴∠C=40°.
(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.
∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,
即3∠C=90°,∴∠C=30°.
∵∠OAC=90°,∴OA=OC.
設(shè)☉O的半徑為r,∵CE=2,
∴r=(r+2).∴r=2.∴☉O的半徑為2.
11.3或4 [解析]
12、(1)當(dāng)☉P與DC相切時(shí),如圖①所示,設(shè)BP=x,則PC=8-x.
∵DC與圓相切,∴PC=PM.
又∵M(jìn)是AB中點(diǎn),∴BM=4.
在Rt△BMP中,根據(jù)勾股定理可得BM2+BP2=MP2,
∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴BP=3.
(2)如圖②所示,當(dāng)☉P與DA相切時(shí),
過點(diǎn)P作PE⊥AD,交AD于點(diǎn)E.
∵☉P與DA相切于點(diǎn)E,∴EP=MP=8.
在Rt△BMP中,根據(jù)勾股定理可得BM2+BP2=MP2,
∴BP==4.
綜上所述,BP的值為3或4.
12.[解析] (1)根據(jù)題目中所給的方法由切線長定理知AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE
13、=x,根據(jù)勾股定理得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,即x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面積公式計(jì)算;
(2)由AC·BC=2mn得(x+m)(x+n)=2mn,即x2+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求證;
(3)作AG⊥BC,由三角函數(shù)得AG=AC·sin 60°=(x+m),CG=AC·cos 60°=(x+m),BG=BC-CG=(x+n)-(x+m),在Rt△ABG中,根據(jù)勾股定理可得x2+(m+n)x=3mn,最后利用三角形的面積公式計(jì)算可得.
解:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC,BC相切于點(diǎn)E,F,CE的長為x.
根據(jù)切線長定理,得AE=AD=m,B
14、F=BD=n,CF=CE=x.
(1)證明:如圖,在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2.
整理,得x2+(m+n)x=mn.
所以S△ABC=AC·BC
=(x+m)(x+n)
=[x2+(m+n)x+mn]
=(mn+mn)
=mn.
(2)證明:由AC·BC=2mn,
得(x+m)(x+n)=2mn,
整理,得x2+(m+n)x=mn,
所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2.
根據(jù)勾股定理的逆定理,得∠C=90°.
(3)如圖,過點(diǎn)A作AG⊥BC,垂足為G.
在Rt△ACG中,AG=AC·sin 60°=(x+m),CG=AC·cos 60°=(x+m).
所以BG=BC-CG=(x+n)-(x+m).
在Rt△ABG中,根據(jù)勾股定理,得
+=(m+n)2,
整理,得x2+(m+n)x=3mn,
所以S△ABC=BC·AG
=(x+n)·(x+m)
=[x2+(m+n)x+mn]
=(3mn+mn)
=mn.