2022年高中數(shù)學(xué)必修四 2.4.1 《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》示范教案

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1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 2.4.1 《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》示范教案 教學(xué)分析 前面已經(jīng)知道,向量的線性運(yùn)算有非常明確的幾何意義,因此利用向量運(yùn)算可以討論一些幾何元素的位置關(guān)系.既然向量可以進(jìn)行加減運(yùn)算,一個自然的想法是兩個向量能否做乘法運(yùn)算呢?如果能,運(yùn)算結(jié)果應(yīng)該是什么呢?另外,距離和角是刻畫幾何元素(點(diǎn)、線、面)之間度量關(guān)系的基本量.我們需要一個向量運(yùn)算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關(guān)系.眾所周知,向量概念的引入與物理學(xué)的研究密切相關(guān),物理學(xué)家很早就知道,如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s(如圖1),那么力F所做的功 圖1 W=|F||s|c

2、osθ 功W是一個數(shù)量,其中既涉及“長度”,也涉及“角”,而且只與向量F,s有關(guān).熟悉的數(shù)的運(yùn)算啟發(fā)我們把上式解釋為兩個向量的運(yùn)算,從而引進(jìn)向量的數(shù)量積的定義 a·b=|a||b|cosθ. 這是一個好定義,它不僅滿足人們熟悉的運(yùn)算律(如交換律、分配律等),而且還可以用它來更加簡潔地表述幾何中的許多結(jié)果. 向量的數(shù)量積是一種新的向量運(yùn)算,與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣,它也有明顯的物理意義、幾何意義.但與向量的線性運(yùn)算不同的是,它的運(yùn)算結(jié)果不是向量而是數(shù)量. 三維目標(biāo) 1.通過經(jīng)歷探究過程,掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.掌握平面向量數(shù)量積的重要

3、性質(zhì)及運(yùn)算律. 2.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題,并掌握向量垂直的條件. 3.通過問題的解決,培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的實(shí)際操作能力;培養(yǎng)學(xué)生的交流意識、合作精神;培養(yǎng)學(xué)生敘述表達(dá)自己解題思路和探索問題的能力. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):平面向量數(shù)量積的定義. 教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的定義及其運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用. 課時安排 1課時 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 思路1.我們前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及幾何中的有向線段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它與物理學(xué)中的力學(xué)、運(yùn)動學(xué)等有著天然的聯(lián)系,將向

4、量這一工具應(yīng)用到物理中,可以使物理題解答更簡捷、更清晰,并且向量知識不僅是解決物理許多問題的有利工具,而且用數(shù)學(xué)的思想方法去審視相關(guān)物理現(xiàn)象,研究相關(guān)物理問題,可使我們對物理問題認(rèn)識更深刻.物理中有許多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,這些物理現(xiàn)象都可以用向量來研究. 在物理課中,我們學(xué)過功的概念,即如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所做的功W可由下式計算: W=|F||s|cosθ 其中θ是F與s的夾角.我們知道力和位移都是向量,而功是一個標(biāo)量(數(shù)量). 故從力所做的功出發(fā),我們就順其自然地引入向量數(shù)量積的概念. 思路

5、2.前面我們已學(xué)過,任意的兩個向量都可以進(jìn)行加減運(yùn)算,并且兩個向量的和與差仍是一個向量.我們結(jié)合任意的兩個實(shí)數(shù)之間可以進(jìn)行加減乘除(除數(shù)不為零)運(yùn)算,就自然地會想到,任意的兩個向量是否可以進(jìn)行乘法運(yùn)算呢？如果能,其運(yùn)算結(jié)果是什么呢？ 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 ①a·b的運(yùn)算結(jié)果是向量還是數(shù)量？它的名稱是什么? ②由所學(xué)知識可以知道,任何一種運(yùn)算都有其相應(yīng)的運(yùn)算律,數(shù)量積是一種向量的乘法運(yùn)算,它是否滿足實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律？ ③我們知道,對任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.對任意向量a、b,是否也有下面類似的結(jié)論? (1)(a+

6、b)2=a2+2a·b+b2; (2)(a+b)·(a-b)=a2-b2. 活動:已知兩個非零向量a與b,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即 a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π). 其中θ是a與b的夾角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如圖2為兩向量數(shù)量積的關(guān)系,并且可以知道向量夾角的范圍是0°≤θ≤180°. 圖2 在教師與學(xué)生一起探究的活動中,應(yīng)特別點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生注意: (1)兩個非零向量的數(shù)量積是個數(shù)量,而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積; (2

7、)零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即a·0=0; (3)符號“·”在向量運(yùn)算中不是乘號,既不能省略,也不能用“×”代替; (4)當(dāng)0≤θ<時cosθ>0,從而a·b>0;當(dāng)<θ≤π時,cosθ<0,從而a·b<0.與學(xué)生共同探究并證明數(shù)量積的運(yùn)算律. 已知a,b,c和實(shí)數(shù)λ,則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律: ①a·b=b·a(交換律); ②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律); ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 特別是:(1)當(dāng)a≠0時,由a·b=0不能推出b一定是零向量.這是因?yàn)槿我慌ca垂直的非零向量b,都有a·b=0. 圖3 (2)已知實(shí)數(shù)a

8、、b、c(b≠0),則ab=bca=c.但對向量的數(shù)量積,該推理不正確,即a·b=b·c不能推出a=c.由圖3很容易看出,雖然a·b=b·c,但a≠c. (3)對于實(shí)數(shù)a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但對于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.這是因?yàn)?a·b)c表示一個與c共線的向量,而a(b·c)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線,所以(a·b)c=a(b·c)不成立. 討論結(jié)果:①是數(shù)量,叫數(shù)量積. ②數(shù)量積滿足a·b=b·a(交換律); (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律); (a+b)·c=a·c+b·c(分配律). ③(1)

9、(a+b)2=(a+b)·(a+b) =a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2; (2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2. 提出問題 ①如何理解向量的投影與數(shù)量積？它們與向量之間有什么關(guān)系？ ②能用“投影”來解釋數(shù)量積的幾何意義嗎？ 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生來總結(jié)投影的概念,可以結(jié)合“探究”,讓學(xué)生用平面向量的數(shù)量積的定義,從數(shù)與形兩個角度進(jìn)行探索研究.教師給出圖形并作結(jié)論性的總結(jié),提出注意點(diǎn)“投影”的概念,如圖4. 圖4 定義:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引導(dǎo)學(xué)生思考: 1°投影也是一個數(shù)量,不是向量;

10、 2°當(dāng)θ為銳角時投影為正值;當(dāng)θ為鈍角時投影為負(fù)值;當(dāng)θ為直角時投影為0;當(dāng)θ=0°時投影為|b|;當(dāng)θ=180°時投影為-|b|. 教師結(jié)合學(xué)生對“投影”的理解,讓學(xué)生總結(jié)出向量的數(shù)量積的幾何意義: 數(shù)量積a·b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosθ的乘積. 讓學(xué)生思考:這個投影值可正、可負(fù),也可為零,所以我們說向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個實(shí)數(shù).教師和學(xué)生共同總結(jié)兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì): 設(shè)a、b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量. 1°e·a=a·e=|a|cosθ. 2°a⊥ba·b=0. 3°當(dāng)a與b同向時,a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時,a·b=-|a|

11、|b|. 特別地a·a=|a|2或|a|=. 4°cosθ=. 5°|a·b|≤|a||b|. 上述性質(zhì)要求學(xué)生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證,教師給予必要的補(bǔ)充和提示,在推導(dǎo)過程中理解并記憶這些性質(zhì). 討論結(jié)果:①略(見活動). ②向量的數(shù)量積的幾何意義為數(shù)量積a·b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosθ的乘積. 應(yīng)用示例 思路1 例1 已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足||=2,||=1,||=,求·+·+的值. 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的數(shù)量積并結(jié)合兩向量的夾角來求解,先分析題設(shè)然后找到所需條件.因?yàn)橐阎?、、的長度,要求得兩兩之間的數(shù)量積,必須先求出兩

12、兩之間的夾角.結(jié)合勾股定理可以注意到△A是直角三角形,然后可利用數(shù)形結(jié)合來求解結(jié)果. 解:由已知,||2+||2=||2,所以△ABC是直角三角形.而且∠ACB=90°, 從而sin∠ABC=,sin∠BAC=. ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°. ∴與的夾角為120°,與的夾角為90°,與的夾角為150°. 故·+·+· =2×1×cos120°+1×cos90°+×2cos150° =-4. 點(diǎn)評:確定兩個向量的夾角,應(yīng)先平移向量,使它們的起點(diǎn)相同,再考察其角的大小,而不是簡單地看成兩條線段的夾角,如例題中與的夾角是120°,而不是60°. 變式訓(xùn)練

13、 已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°,求(a+2b)·(a-3b). 解:(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b =|a|2-a·b-6|b|2 =|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2 =62-6×4×cos60°-6×42 =-72. 例2 已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線,當(dāng)k為何值時,向量a+kb與a-kb互相垂直? 解:a+kb與a-kb互相垂直的條件是(a+kb)·(a-kb)=0, 即a2-k2b2=0. ∵a2=32=9,b2=42=16, ∴9-16k2=0. ∴k=±. 也就是說,當(dāng)k=±時,a+kb與a

14、-kb互相垂直. 點(diǎn)評:本題主要考查向量的數(shù)量積性質(zhì)中垂直的充要條件. 變式訓(xùn)練 已知向量a、b滿足:a2=9,a·b=-12,求|b|的取值范圍. 解:∵|a|2=a2=9, ∴|a|=3. 又∵a·b=-12, ∴|a·b|=12. ∵|a·b|≤|a||b|, ∴12≤3|b|,|b|≥4. 故|b|的取值范圍是［4,+∞). 思路2 例1 已知在四邊形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=c·d=b·c=d·a,試問四邊形ABCD的形狀如何？ 解:∵+++=0, 即a+b+c+d=0, ∴a+b=-(c+d). 由上可得(a+b)

15、2=(c+d)2, 即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2. 又∵a·b=c·d,故a2+b2=c2+d2. 同理可得a2+d2=b2+c2. 由上兩式可得a2=c2,且b2=d2, 即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即AB=CD,且BC=DA, ∴ABCD是平行四邊形. 故=,即a=-c. 又a·b=b·c=-a·b, 即a·b=０,∴a⊥b,即⊥. 綜上所述,ABCD是矩形. 點(diǎn)評:本題考查的是向量數(shù)量積的性質(zhì)應(yīng)用,利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)垂直問題,然后結(jié)合四邊形的特點(diǎn)進(jìn)而判斷四邊形的形狀. 例2 已知a,b是兩個非零向量,且|a|-|b|=|a+

16、b|,求向量b與a-b的夾角. 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量減法的平行四邊形法則,畫出以a,b為鄰邊的ABCD,若=a,=b,則=a+b,=a-b.由|a|-|b|=|a+b|,可知∠ABC=60°,b與所成角是150°.我們還可以利用數(shù)量積的運(yùn)算,得出向量b與a-b的夾角,為了鞏固數(shù)量積的有關(guān)知識,我們采用另外一種角度來思考問題,教師給予必要的點(diǎn)撥和指導(dǎo),即由cos〈b,a-b〉=作為切入點(diǎn),進(jìn)行求解. 解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a|,∴b2=(a+b)2. ∴|b|2=|a|2+2a·b+|b|2. ∴a·b=-|b|2. 而b·(a-b)=b·a-b2=|b|2-|b|

17、2=|b|2, ① 由(a-b)2=a2-2a·b+b2=|b|2-2×()|b|2+|b|2=3|b|2, 而|a-b|2=(a-b)2=3|b|2, ∴|a-b|=3|b|. ② ∵cos〈b,a-b〉= 代入①②,得cos〈b,a-b〉=-. 又∵〈b,a-b〉∈［0,π］, ∴〈b,a-b〉=. 點(diǎn)評:本題考查的是利用平面向量的數(shù)量積解決有關(guān)夾角問題,解完后教師及時引導(dǎo)學(xué)生對本解法進(jìn)行

18、反思、總結(jié)、體會. 變式訓(xùn)練 設(shè)向量c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=2,|c|=4,a⊥c,b·c=-4,且b與c的夾角為120°,求m,n的值. 解:∵a⊥c,∴a·c=0. 又c=ma+nb,∴c·c=(ma+nb)·c, 即|c|2=ma·c+nb·c.∴|c|2=nb·c. 由已知|c|2=16,b·c=-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 從而c=ma-4b. ∵b·c=|b||c|cos120°=-4, ∴|b|·4·()=-4.∴|b|=2. 由c=ma-4b,得a·c=ma2-4a·b, ∴8m-4a·b=0,即a·b=2m.

19、 ① 再由c=ma-4b,得b·c=ma·b-4b2. ∴ma·b-16=-4,即ma·b=12. ② 聯(lián)立①②得2m2=12,即m2=6. ∴m=±.故m=±,n=-4. 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí). 解答: 1.p·q=24. 2.a·b<0時,△ABC為鈍角三角形;a·b=0時,△ABC為直角三角形. 3.投影分別為3,0,-3.圖略. 課堂小結(jié) 1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識,數(shù)量積的定義

20、、幾何意義,數(shù)量積的重要性質(zhì),數(shù)量積的運(yùn)算律. 2.教師與學(xué)生總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法,歸納類比、定義法、數(shù)形結(jié)合等.在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的同時,鼓勵學(xué)生多角度、發(fā)散性地思考問題,并鼓勵學(xué)生進(jìn)行一題多解. 作業(yè) 課本習(xí)題2.4 A組2、3、4. 設(shè)計感想 本節(jié)的重要性是顯而易見的,但本節(jié)有幾個常見思維誤區(qū):不能正確理解向量夾角的定義,兩個向量夾角的定義是指同一點(diǎn)出發(fā)的兩個向量所構(gòu)成的較小的非負(fù)角,因此向量夾角定義理解不清而造成解題錯誤是一些常見的誤區(qū).同時利用向量的數(shù)量積不但可以解決兩向量垂直問題,而且還可以解決兩向量共線問題,要深刻理解兩向量共線、垂直的充要條件,應(yīng)用的時候才能得心應(yīng)手.