2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-4創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案： 第二講 第4節(jié) 漸開線與擺線 Word版含答案

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1、 2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-4創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案： 第二講 第4節(jié) 漸開線與擺線 Word版含答案 1．漸開線的概念及產(chǎn)生過程 把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開，鉛筆畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓． 2．?dāng)[線的概念及產(chǎn)生過程 圓的擺線就是一個(gè)圓沿著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡，圓的擺線又叫旋輪線． 3．圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程 (1)圓的漸開線方程：(φ為參數(shù))． (2)擺線的參數(shù)方程：(φ為參數(shù))． [問題思考] 1．漸開線方程中，字母r和參數(shù)φ的幾何意義

2、是什么？ 提示：字母r是指基圓的半徑，參數(shù)φ是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子上的定點(diǎn)M相對(duì)于圓心的張角． 2．?dāng)[線的參數(shù)方程中，字母r和參數(shù)φ的幾何意義是什么？ 提示：字母r是指定圓的半徑，參數(shù)φ是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于某一定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所張開的角度大?。? 　　　求半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程． [精講詳析]　本題考查圓的漸開線的參數(shù)方程的求法，解答本題需要搞清圓的漸開線的參數(shù)方程的一般形式，然后將相關(guān)字母的取值代入即可． 以圓心為原點(diǎn)O，繩端點(diǎn)的初始位置為M0，向量的方向?yàn)閤軸正方向，建立坐標(biāo)系，設(shè)漸開線上的任意點(diǎn)M(x，y)，繩拉直時(shí)和圓的切點(diǎn)為A，故OA⊥AM，按漸開線定義，弧的長和

3、線段AM的長相等，記和x軸正向所夾的角為θ(以弧度為單位)，則|AM|＝＝4θ 作AB垂直于x軸，過M點(diǎn)作AB的垂線，由三角和向量知識(shí)，得＝(4cos θ，4sin θ)， 由幾何知識(shí)知∠MAB＝θ，＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得 ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))． 又＝(x，y)，因此有 這就是所求圓的漸開線的參數(shù)方程． 解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)漸開線的形成過程，將問題歸結(jié)到用向量知識(shí)和三角的有關(guān)知識(shí)建立等式關(guān)系上． 用向量方法建立運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的參數(shù)方

4、程的過程和步驟： (1)建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)軌跡曲線上的動(dòng)點(diǎn)為M(x，y)． (2)取定運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的某一角度為參數(shù)． (3)用三角、幾何知識(shí)寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)表達(dá)式． (4)用向量運(yùn)算得到的坐標(biāo)表達(dá)式，由此得到軌跡曲線的參數(shù)方程． 1．基圓直徑為10，求其漸開線的參數(shù)方程． 解：取φ為參數(shù)，φ為基圓上點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與x軸正方向的夾角． ∵直徑為10，∴半徑r＝5. 代入圓的漸開線的參數(shù)方程得： 這就是所求的圓的漸開線的參數(shù)方程． 　　求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程．(如圖所示，開始時(shí)定點(diǎn)M在原點(diǎn)O處，取圓滾動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)過的角度α，(以弧度為單位)為參數(shù)) [精講詳析

5、]　本題考查圓的擺線的參數(shù)方程的求法．解答本題需要搞清圓的擺線的參數(shù)方程的一般形式，然后將相關(guān)數(shù)據(jù)代入即可． 當(dāng)圓滾過α角時(shí)，圓心為點(diǎn)B，圓與x軸的切點(diǎn)為A，定點(diǎn)M的位置如圖所示，∠ABM＝α. 由于圓在滾動(dòng)時(shí)不滑動(dòng)，因此線段OA的長和圓弧的長相等，它們的長都等于2α，從而B點(diǎn)坐標(biāo)為(2α，2)． 向量＝(2α，2)， 向量＝(2sin α，2cos α)，＝(－2sin α，－2cos α)， ＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，向量＝(x，y)． 所以 這就是所求擺線的參數(shù)方程．

6、 2．圓的半徑為r，沿x軸正向滾動(dòng)，圓與x軸相切于原點(diǎn)O.圓上點(diǎn)M起始處沿順時(shí)針已偏轉(zhuǎn)φ角．試求點(diǎn)M的軌跡方程． 解：xM＝r·θ－r·cos [(φ＋θ)－]＝r[θ－sin (φ＋θ)]， yM＝r＋r·sin (φ＋θ－) ＝r[1－cos (φ＋θ)]． ∴點(diǎn)M的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)) 　　設(shè)圓的半徑為8，沿x軸正向滾動(dòng)，開始時(shí)圓與x軸相切于原點(diǎn)O，記圓上動(dòng)點(diǎn)為M，它隨圓的滾動(dòng)而改變位置，寫出圓滾動(dòng)一周時(shí)M點(diǎn)的軌跡方程，畫出相應(yīng)曲線，求此曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y的最大值，說明該曲線的對(duì)稱軸． [精講詳析]　本題考查擺線的參數(shù)方程的求法及應(yīng)用．解答本題需要先分析題意，

7、搞清M點(diǎn)的軌跡的形狀，然后借助圖象求得最值． 軌跡曲線的參數(shù)方程為(0≤t≤2π) 即t＝π時(shí)，即x＝8π時(shí)，y有最大值16. 曲線的對(duì)稱軸為x＝8π. 擺線的參數(shù)方程是三角函數(shù)的形式，可考慮其性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)有類似的地方． 3．當(dāng)φ＝、π時(shí)，求出漸開線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、B，并求出A、B間的距離． 解：將φ＝代入 得x＝cos ＋·sin ＝0＋＝， y＝sin －·cos ＝1. ∴A(，1)． 將φ＝π，代入 得x＝cos π＋π·sin π＝－1，y＝sin π－πcos π＝π. ∴B(－1，π)． ∴|AB|＝ ＝. 本課時(shí)考點(diǎn)是圓的漸開

8、線或擺線的參數(shù)方程的應(yīng)用，近幾年的高考題中還未出現(xiàn)過．本考題以填空題的形式對(duì)圓的擺線的參數(shù)方程的應(yīng)用進(jìn)行了考查，屬低檔題． [考題印證] 擺線(0≤t≤2π)與直線y＝1的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________． [命題立意]　本題主要考查擺線方程及其參數(shù)的幾何意義． [解析]　由題設(shè)得1＝1－cos t，解得t1＝，t2＝π. 對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的坐標(biāo)為 交點(diǎn)為(－1，1)，(π＋1，1)． 答案：(－1，1)，(π＋1，1) 一、選擇題 1．關(guān)于漸開線和擺線的敘述，正確的是(　　) A．只有圓才有漸開線 B．漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才能得到不同的圖形

9、 C．正方形也可以有漸開線 D．對(duì)于同一個(gè)圓，如果建立的直角坐標(biāo)系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同 解析：選C　本題主要考查漸開線和擺線的基本概念．不僅圓有漸開線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線，漸開線和擺線的定義雖然從字面上有相似之處，但是它們的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同．對(duì)于同一個(gè)圓不論在什么地方建立直角坐標(biāo)系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同． 2.(φ為參數(shù))表示的是(　　) A．半徑為5的圓的漸開線的參數(shù)方程 B．半徑為5的圓的擺線的參數(shù)方程 C．直徑為5的圓的漸開線的參數(shù)方程 D．直徑為5的圓的擺線的

10、參數(shù)方程 解析：選B　根據(jù)圓的漸開線與擺線的參數(shù)方程可知B正確． 3．已知一個(gè)圓的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，那么圓的擺線方程中參數(shù)取對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為(　　) A.－1　　　　　　　　B. C. D. 解析：選C　根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))， 把φ＝代入?yún)?shù)方程中可得 即A(3(－1)，3)． ∴|AB|＝＝. 4．已知一個(gè)圓的擺線過點(diǎn)(1，0)，則擺線的參數(shù)方程為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　圓的擺線的參數(shù)方程為 令r(1－cos φ)＝0，得：φ＝

11、2kπ，代入x＝r(φ－sin φ)， 得：x＝r(2kπ－sin 2kπ)，又過(1，0)， ∴r(2kπ－sin 2kπ)＝1，∴r＝， 又r＞0，∴k∈N＋. 二、填空題 5．已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，則此漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是________，當(dāng)參數(shù)φ＝時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為________． 解析：圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2.求當(dāng)φ＝時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)只需把φ＝代入曲線的參數(shù)方程，得x＝＋，y＝－，由此可得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(＋，－)． 答案：2　(＋，－) 6．我們知道關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函

12、數(shù)，則圓的擺線(φ為參數(shù))關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的曲線的參數(shù)方程為________． 解析：關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換，所以要寫出擺線方程關(guān)于y＝x對(duì)稱的曲線方程，只需把其中的x，y互換． 答案：(φ為參數(shù)) 7．漸開線(φ為參數(shù))的基圓的圓心在原點(diǎn)，把基圓的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________． 解析：根據(jù)圓的漸開線方程可知基圓的半徑r＝6，其方程為x2＋y2＝36，把基圓的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的曲線的方程為(x)2＋y2＝36，整理可得＋＝1，這是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．c＝＝＝

13、6，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6，0)和(－6，0)． 答案：(6，0)和(－6，0) 8．圓的漸開線上與t＝對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________． 解析：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 ∴t＝對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1＋，1－)． 答案：(1＋，1－) 三、解答題 9．半徑為r的圓沿直軌道滾動(dòng)，M在起始處和原點(diǎn)重合，當(dāng)M轉(zhuǎn)過π和π時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)． 解：由擺線方程可知： φ＝π時(shí)，xM＝r，yM＝r； φ＝π時(shí)，xM＝r(7π＋2)，yM＝r. ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)分別是(，r)、(r(7π＋2)，r)． 10.如圖ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中AE、

14、EF、FG、GH…的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接，求曲線AEFGH的長． 解：根據(jù)漸開線的定義可知，是半徑為1的圓周長，長度為，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的圓周長，長度為π；是半徑為3的圓周長，長度為；是半徑為4的圓周長，長度為2π.所以曲線AEFGH的長是5π. 11．已知圓C的參數(shù)方程是(α為參數(shù))，直線l的普通方程是x－y－6＝0. (1)如果把圓心平移到原點(diǎn)O，請(qǐng)問平移后圓和直線有什么關(guān)系？ (2)寫出平移后圓的擺線方程． (3)求擺線和x軸的交點(diǎn)． 解：(1)圓C平移后圓心為O(0，0)，它到直線x－y－6＝0的距離為d＝＝6，恰好等于圓的半徑，所以直線和圓是相切的． (2)由于圓的半徑是6，所以可得擺線方程是 (φ為參數(shù))． (3)令y＝0，得6－6cos φ＝0?cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝6φ－6sin φ，得x＝12kπ(k∈Z)，即圓的擺線和x軸的交點(diǎn)為(12kπ，0)(k∈Z)．