2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列學(xué)案 理
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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列學(xué)案 理 , 第一講 小題考法——等差數(shù)列與等比數(shù)列 考點(diǎn)(一) 數(shù)列的遞推關(guān)系式 主要考查方式有兩種:一是利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn; 二是利用an與an+1的關(guān)系求通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn. [典例感悟] [典例] (1)(2018·合肥一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若3Sn=2an-3n,則a2 018=( ) A.22 018-1 B.32 018-6 C.2 018- D.2 018- (2)(2018·惠州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1-2a
2、n=2n(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=________. (3)(2018·昆明模擬)在數(shù)列{an}中,a1=5,(an+1-2)(an-2)=3(n∈N*),則該數(shù)列的前2 018項(xiàng)的和是________. [解析] (1)∵3Sn=2an-3n,∴當(dāng)n=1時(shí),3S1=3a1=2a1-3,∴a1=-3.當(dāng)n≥2時(shí),3an=3Sn-3Sn-1=(2an-3n)-(2an-1-3n+3),∴an=-2an-1-3,∴an+1=-2(an-1+1),∴數(shù)列{an+1}是以-2為首項(xiàng),-2為公比的等比數(shù)列,∴an+1=-2×(-2)n-1=(-2)n,∴an=(-2)n-1,∴a2
3、 018=(-2)2 018-1=22 018-1.故選A. (2)an+1-2an=2n兩邊同除以2n+1,可得-=,又=,∴數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,∴=+(n-1)×=,∴an=n·2n-1. (3)依題意得(an+1-2)(an-2)=3,(an+2-2)·(an+1-2)=3,因此an+2-2=an-2,即an+2=an,所以數(shù)列{an}是以2為周期的數(shù)列.又a1=5,因此(a2-2)(a1-2)=3(a2-2)=3,故a2=3,a1+a2=8.又因?yàn)? 018=2×1 009,所以該數(shù)列的前2 018項(xiàng)的和等于1 009(a1+a2)=8 072. [答案] (1)A
4、 (2)n·2n-1 (3)8 072 [方法技巧] 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式的注意點(diǎn) (1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用,分n=1和n≥2兩種情況討論,特別注意an=Sn-Sn-1成立的前提是n≥2. (2)由Sn-Sn-1=an推得an,當(dāng)n=1時(shí),a1也適合,則需統(tǒng)一表示(“合寫(xiě)”). (3)由Sn-Sn-1=an推得an,當(dāng)n=1時(shí),a1不適合,則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫(xiě)”),即an= [演練沖關(guān)] 1.(2019屆高三·洛陽(yáng)四校聯(lián)考)已知數(shù)列滿足條件a1+a2+a3+…+an=2n+5,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為( ) A.a(chǎn)n=2n+1 B.a(chǎn)n= C.a(chǎn)n=
5、2n D.an=2n+2 解析:選B 由題意可知,數(shù)列滿足條件a1+a2+a3+…+an=2n+5,則n≥2時(shí),有a1+a2+a3+…+an-1=2(n-1)+5,n≥2, 兩式相減可得,=2n+5-2(n-1)-5=2, ∴an=2n+1,n≥2,n∈N*. 當(dāng)n=1時(shí),=7,∴a1=14, 綜上可知,數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an= 2.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y滿足f(x)+f(y)=f(x+y),若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n)(n∈N*)且a1=1,那么a2 018=( ) A.-1 B.1 C.-2 018 D.2 018 解析:選B 法一:∵Sn=
6、f(n),∴S2=2S1=a1+a2,∴a2=1, ∵S3=S1+S2=3,∴a3=1, ∵S4=S1+S3=4, ∴a4=1,…,∴a2 018=1. 法二:令x=1,y=n,則Sn+S1=Sn+1. 當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1+S1=Sn, ∴Sn+1-Sn=Sn-Sn-1,故an+1=an, ∵a1=1,可求出a2=1,∴a2 018=1. 3.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1,則S6=________. 解析:∵Sn=2an+1, ∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1+1, ∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, 即an=2
7、an-1. 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2a1+1,得a1=-1. ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1為-1,公比q為2的等比數(shù)列, ∴Sn===1-2n, ∴S6=1-26=-63. 答案:-63 4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=3+2n,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______. 解析:當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3+2=5;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-2n-1=2n-1.因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí),不符合an=2n-1,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an= 答案:an= 考點(diǎn)(二) 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 主要考查與等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)
8、公式、前n項(xiàng)和公式有關(guān)的五個(gè)基本量間的“知三求二”運(yùn)算. [典例感悟] [典例] (1)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為( ) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 (3)(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則 a4=________. (4)(2019屆高三·河南十校聯(lián)考)已知
9、{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若S8=4S4,則a10=________. [解析] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 則由得 即解得d=4. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由3S3=S2+S4, 得3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即3a1+2d=0. 將a1=2代入上式,解得d=-3, 故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10. (3)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 則a1+a2=a1(1+q)=-1, a1-a3=a1(1-q2)=-3, 兩式相除,得=, 解得q=-2,a1=1, 所以a4=a1q3=
10、-8. (4)∵{an}是公差為1的等差數(shù)列, ∴S8=8a1+28,S4=4a1+6. ∵S8=4S4,∴8a1+28=4(4a1+6), 解得a1=, ∴a10=a1+9d=+9=. [答案] (1)C (2)B (3)-8 (4) [方法技巧] 等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路 (1)設(shè)基本量:首項(xiàng)a1和公差d(公比q). (2)列、解方程(組):把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(或q)的方程(組),然后求解,注意整體計(jì)算,以減少運(yùn)算量. [演練沖關(guān)] 1.(2018·廣西模擬)在等差數(shù)列{an}中,已知a2=2,前7項(xiàng)和S7=56,則公差d=( ) A.2 B.3
11、 C.-2 D.-3 解析:選B 由題意可得即解得選B. 2.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2a5=2a3,2a4+4a7=5,則S5=( ) A.29 B.31 C.33 D.36 解析:選B 法一:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意知解得所以S5==31,故選B. 法二:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a2a5=2a3,得a4=2,又2a4+4a7=5,所以a7=,所以q=,所以a1=16,所以S5==31,故選B. 3.(2018·開(kāi)封模擬)已知數(shù)列{an}滿足log2an+1=1+log2an(n∈N*),且a1+a2+a3+…+a10=1,則log
12、2(a101+a102+…+a110)=________. 解析:由log2an+1=1+log2an,可得log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以數(shù)列{an}是以a1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,又a1+a2+…+a10=1,所以a101+a102+…+a110=(a1+a2+…+a10)×2100=2100,所以log2(a101+a102+…+a110)=log22100=100. 答案:100 考點(diǎn)(三) 等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 主要考查利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解基本量及與數(shù)列單調(diào)性有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題. [典例感悟] [典例] (1)(2
13、018·宜昌模擬)已知-9,a1,a2,-1成等差數(shù)列,-9,b1,b2,b3,-1成等比數(shù)列,則b2(a1+a2)等于( ) A.30 B.-30 C.±30 D.15 (2)(2018·四川遂寧一診)已知數(shù)列{an}滿足an=若對(duì)于任意的n∈N*都有an>an+1,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是( ) A. B. C. D. [解析] (1)依題意a1+a2=-9+(-1)=-10, ∵b=(-9)×(-1)=9,又b2與-9,-1符號(hào)相同,即b2=-3,∴b2(a1+a2)=30. (2)因?yàn)閍n>an+1,所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,所以解得<λ<,故選B
14、. [答案] (1)A (2)B [方法技巧] 等差、等比數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題的求解策略 解題關(guān)鍵 抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解 運(yùn)用函數(shù) 性質(zhì) 數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質(zhì),如單調(diào)性、周期性等,可利用函數(shù)的性質(zhì)解題 [演練沖關(guān)] 1.(2019屆高三·西安八校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2+a7+a12=24,則S13=( ) A.52 B.78 C.104 D.208 解析:選C 依題意得3a7=24,a7=8,S13==13a7=104. 2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=
15、an2+bn(a,b∈R),且S25=100,則a12+a14=( ) A.16 B.8 C.4 D.不確定 解析:選B 由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn(a,b∈R),可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,S25==100,解得a1+a25=8,所以a12+a14=a1+a25=8. 3.(2018·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a,公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=.若對(duì)任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.(-8,-7) B.[-8,-7) C.(-8,-7] D.[-8,-7] 解析:選A 因?yàn)閧an}是首項(xiàng)為a,公差
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