2022高考數(shù)學二輪復習 專題二 函數(shù)與導數(shù) 2.2.3 導數(shù)的簡單應用、定積分學案 理

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1、2022高考數(shù)學二輪復習 專題二 函數(shù)與導數(shù) 2.2.3 導數(shù)的簡單應用、定積分學案 理 1．(2017·全國卷Ⅱ)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，則f(x)的極小值為(　　) A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 [解析]　由題意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]． ∵x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1＋∞)時，f′(x)>0，

2、f(x)單調(diào)遞增；x∈(－2,1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，∴f(x)極小值＝f(1)＝－1.故選A. [答案]　A 2．(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2sinx＋sin2x，則f(x)的最小值是________． [解析]　解法一：由f(x)＝2sinx＋sin2x，得f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2，令f′(x)＝0，得cosx＝或cosx＝－1，可得當cosx∈時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當cosx∈時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，所以當cosx＝時，f(x)取最小值，此時sinx＝±.又因為f(x)＝2sin

3、x＋2sinxcosx＝2sinx(1＋cosx)，1＋cosx≥0恒成立，∴f(x)取最小值時，sinx＝－，∴f(x)min＝2××＝－. 解法二：f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx＋2sinxcosx＝2sinx(1＋cosx)， ∴f2(x)＝4sin2x(1＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3. 令cosx＝t，t∈[－1,1]，設g(t)＝4(1－t)(1＋t)3， ∴g′(t)＝－4(1＋t)3＋12(1＋t)2(1－t)＝4(1＋t)2(2－4t)． 當t∈時，g′(t)>0，g(t)為增函數(shù)； 當t∈時，g′(t)<0，g(t)為減函數(shù)．

4、 ∴當t＝時，g(t)取得最大值，即f2(x)的最大值為，得|f(x)|的最大值為， 又f(x)＝2sinx＋sin2x為奇函數(shù)， ∴f(x)的最小值為－. [答案]?。? 3．(2018·全國卷Ⅲ)曲線y＝(ax＋1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為－2，則a＝________. [解析]　設f(x)＝(ax＋1)ex，則f′(x)＝(ax＋a＋1)ex，所以曲線在點(0,1)處的切線的斜率k＝f′(0)＝a＋1＝－2，解得a＝－3. [答案]　－3 4．(2018·北京卷)設函數(shù)f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex. (1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1

5、))處的切線與x軸平行，求a； (2)若f(x)在x＝2處取得極小值，求a的取值范圍． [解]　(1)因為f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex. f′(1)＝(1－a)e. 由題設知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1. 此時f(1)＝3e≠0. 所以a的值為1. (2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex. 若a>，則當x∈時，f′(x)<0； 當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0. 所以f(x)在x＝2處取得極小值． 若a≤，則當x∈(0,2)時，x－2<0，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0， 所以2不是f(x)的極小值點． 綜上可知，a的取值范圍是. 1.高考對導數(shù)的幾何意義的考查，多在選擇、填空題中出現(xiàn)，難度較小，有時出現(xiàn)在解答題第一問． 2．高考重點考查導數(shù)的應用，即利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，多在選擇、填空的后幾題中出現(xiàn)，難度中等．有時出現(xiàn)在解答題第一問． 3．近幾年全國課標卷對定積分及其應用的考查極少，題目一般比較簡單，但也不能忽略．