2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教案 理
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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教案 理 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析及學(xué)科素養(yǎng) 2018 Ⅰ卷 等差數(shù)列的基本運(yùn)算·T4 命題分析 (1)高考主要考查兩種基本數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列)、兩種數(shù)列求和方法(裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法)、兩類綜合(與函數(shù)綜合、與不等式綜合),主要突出數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用. (2)若以解答題形式考查,數(shù)列往往與解三角形在17題的位置上交替考查,試題難度中等;若以客觀題考查,難度中等的題目較多,但有時(shí)也出現(xiàn)在第12題或16題位置上,難度偏大,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起關(guān)注. 學(xué)科素養(yǎng) 主要是通過等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與
2、證明及基本運(yùn)算考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算兩大核心素養(yǎng). Ⅲ卷 等比數(shù)列的基本運(yùn)算及應(yīng)用·T17 2017 Ⅰ卷 等差數(shù)列的基本運(yùn)算·T4 Ⅱ卷 數(shù)學(xué)文化中的等比數(shù)列應(yīng)用·T3 等差數(shù)列與裂項(xiàng)求和·T15 Ⅲ卷 等差數(shù)列與等比數(shù)列的運(yùn)算·T9 等比數(shù)列的基本運(yùn)算·T14 2016 Ⅰ卷 等差數(shù)列的基本運(yùn)算·T3 等比數(shù)列的運(yùn)算及二次函數(shù)最值問題·T15 [悟通——方法結(jié)論] 兩組求和公式 (1)等差數(shù)列:Sn==na1+d; (2)等比數(shù)列:Sn==(q≠1). [全練——快速解答] 1.(2018·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若
3、3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由3S3=S2+S4, 得3=2a1+×d+4a1+×d,將a1=2代入上式,解得d=-3, 故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10. 故選B. 答案:B 2.(2017·高考全國(guó)卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項(xiàng)的和為( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍2,a3,a6成等比數(shù)列,所以a2a6=a,即(a1+d)(a
4、1+5d)=(a1+2d)2,又a1=1,所以d2+2d=0,又d≠0,則d=-2,所以a6=a1+5d=-9,所以{an}前6項(xiàng)的和S6=×6=-24,故選A. 答案:A 3.(2018·天津模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且8a2a4=a3a6,則=________. 解析:由8a2a4=a3a6可得8a=a3a6,故a6=8a3,設(shè)公比為q,則q3=8,q=2,故==. 答案: 4.(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m. 解析:(1)設(shè){an}
5、的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn=. 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1. 由Sm=63得2m=64,解得m=6. 綜上,m=6. 在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí),若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯,則均可化成關(guān)于a1和d(或q)的方程組求解,但要注意消元法及整體代換,以減少計(jì)算量. 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì) 授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第29頁(yè) [悟通
6、——方法結(jié)論] 1.等差數(shù)列、等比數(shù)列常用性質(zhì): 等差數(shù)列 等比數(shù)列 性質(zhì) (1)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq; (2)an=am+(n-m)d; (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差數(shù)列 (1)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq; (2)an=amqn-m; (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比數(shù)列(Sm≠0) 2.等差數(shù)列中利用中項(xiàng)求和. (1)若n為奇數(shù),則Sn=na. (2)若n為偶數(shù),則Sn=(a+a+1). 3.在等差數(shù)列中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí),有S
7、偶-S奇=nd,=;當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1時(shí),有S奇-S偶=an,=. 4.在等比數(shù)列中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí),=q. [全練——快速解答] 1.(2018·南寧模擬)等差數(shù)列{an}中,a3+a7=6,則{an}的前9項(xiàng)和等于( ) A.-18 B.27 C.18 D.-27 解析:由等差數(shù)列的性質(zhì),得a1+a9=a3+a7=6,所以數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和S9===27,故選B. 答案:B 2.(2016·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 解析:法一:∵{an}是等差數(shù)列,
8、設(shè)其公差為d, ∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3. 又∵a10=8,∴∴ ∴a100=a1+99d=-1+99×1=98. 法二:∵{an}是等差數(shù)列, ∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3. 在等差數(shù)列{an}中,a5,a10,a15,…,a100成等差數(shù)列,且公差d′=a10-a5=8-3=5. 故a100=3+(20-1)×5=98.故選C. 答案:C 3.(2018·長(zhǎng)沙模擬)等比數(shù)列{an}中,a5=6,則數(shù)列{log6an}的前9項(xiàng)和的值為( ) A.6 B.9 C.12 D.16 解析:因?yàn)閍5=6,所以log6a1+log6
9、a2+…+log6a9=log6(a1·a2·…·a9)=log6a=9log66=9. 答案:B 4.(2018·河北三市聯(lián)考)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S5=5a4-10,則數(shù)列{an}的公差為________. 解析:由S5=5a4-10,得5a3=5a4-10,則公差d=2. 答案:2 等差(比)數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用策略 解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解. 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明 授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第29頁(yè) [悟通——方法結(jié)論] 1.證明數(shù)列{an}是等差
10、數(shù)列的兩種基本方法: (1)利用定義,證明an+1-an(n∈N*)為一常數(shù); (2)利用等差中項(xiàng)性質(zhì),即證明2an=an-1+an+1(n≥2). 2.證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法: (1)利用定義,證明(n∈N*)為一常數(shù); (2)利用等比中項(xiàng)性質(zhì),即證明a=an-1an+1(n≥2,an≠0). (2018·高考全國(guó)卷Ⅰ)(12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,設(shè)bn=. (1)求; (2) ,并說明理由; (3) [學(xué)審題] 條件信息 想到方法 注意什么 由信息?nan+1=2(n+1)an 遞推關(guān)系變形an+1=an 判斷{bn}為等比數(shù)
11、列時(shí)要緊扣定義去推斷 由信息?求b1、b2、b3 想到先求a1、a2、a3,再求b1、b2、b3 由信息?判斷{bn}是否為等比數(shù)列 由等比數(shù)列的定義推斷=常數(shù) 由信息?求an 先求bn,再求an [規(guī)范解答] (1)由條件可得an+1=an. (2分) 將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12. (4分) 從而b1=1,b2=2,b3=4. (6分) (2){bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列. 由條件可得=,即bn+1=2bn, (8分) 又b1=1,所以{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列
12、. (10分) (3)由(2)可得=2n-1, 所以an=n·2n-1. (12分) 1.判定一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列,可以利用通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式,但不能將其作為證明方法. 2.(1)=q和a=an-1an+1(n≥2)都是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件,判定時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零. (2)學(xué)科素養(yǎng):利用定義判定或證明數(shù)列問題重要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)能力. [練通——即學(xué)即用] (2018·貴州適應(yīng)性考試)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n. (1)求a2,a3; (2)證明數(shù)列是等差數(shù)列,
13、并求{an}的通項(xiàng)公式. 解析:(1)由已知得a2-2a1=4, 則a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6. 由2a3-3a2=12得2a3=12+3a2,所以a3=15. (2)證明:由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),得=2,即-=2, 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列. 則=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n. 授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第129頁(yè) 一、選擇題 1.(2018·開封模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a5=10,S4=16,則數(shù)列{an}的公差為( ) A.1 B.2 C.3
14、 D.4 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)镾4==2(a1+a5-d)=2(10-d)=16,所以d=2,故選B. 答案:B 2.(2018·重慶模擬)在數(shù)列{an}中,an+1-an=2,a2=5,則{an}的前4項(xiàng)和為( ) A.9 B.22 C.24 D.32 解析:依題意得,數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,a1=a2-2=3,因此數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和等于4×3+×2=24,選C. 答案:C 3.(2018·益陽(yáng)、湘潭聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}中,a5=3,a4a7=45,則的值為( ) A.3 B.5 C.9 D.25 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公
15、比為q,則a4a7=·a5q2=9q=45,所以q=5,==q2=25.故選D. 答案:D 4.(2018·洛陽(yáng)模擬)在等差數(shù)列{an}中,若Sn為前n項(xiàng)和,2a7=a8+5,則S11的值是( ) A.55 B.11 C.50 D.60 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由2a7=a8+5,得2(a6+d)=a6+2d+5,得a6=5,所以S11=11a6=55,故選A. 答案:A 5.(2018·昆明模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差為2,且a4是a2與a8的等比中項(xiàng),則{an}的通項(xiàng)公式an=( ) A.-2n B.2n C.2n-1 D.2n+1 解析:由題意,得
16、a2a8=a,又an=a1+2(n-1),所以(a1+2)(a1+14)=(a1+6)2,解得a1=2,所以an=2n.故選B. 答案:B 6.(2018·長(zhǎng)沙中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4+a12-a8=8,a10-a6=4,則S23=( ) A.23 B.96 C.224 D.276 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,依題意得a4+a12-a8=2a8-a8=a8=8,a10-a6=4d=4,d=1,a8=a1+7d=a1+7=8,a1=1,S23=23×1+×1=276,選D. 答案:D 7.(2018·長(zhǎng)春模擬)等差數(shù)列{an}中,已知|a6|
17、=|a11|,且公差d>0,則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)n的值為( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:由d>0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,又|a6|=|a11|,所以-a6=a11,即-a1-5d=a1+10d,所以a1=-,則a8=-<0,a9=>0,所以前8項(xiàng)和為前n項(xiàng)和的最小值,故選C. 答案:C 8.(2018·惠州模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a9=a12+6,a2=4,則數(shù)列{}的前10項(xiàng)和為( ) A. B. C. D. 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a9=a12+6及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得a1+5d=12,又a2=4,∴a1=2,
18、d=2,∴Sn=n2+n,∴==-,∴++…+=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.選B. 答案:B 9.一個(gè)等差數(shù)列的前20項(xiàng)的和為354,前20項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32∶27,則該數(shù)列的公差d=( ) A.1 B.3 C.5 D.7 解析:法一:設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,由題意可得 法二:由已知條件,得,解得,又S偶-S奇=10d,所以d==3. 答案:B 10.(2018·惠州模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a6=2a3,則=( ) A. B. C. D. 解析:===.故選D. 答案:D 11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a
19、n2+bn(a,b∈R),且S25=100,則a12+a14=( ) A.16 B.8 C.4 D.不確定 解析:由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn(a,b∈R),可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,S25==100,解得a1+a25=8,所以a12+a14=a1+a25=8. 答案:B 12.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1<0,若存在自然數(shù)m≥3,使得am=Sm,則當(dāng)n>m時(shí),Sn與an的大小關(guān)系是( ) A.Sn<an B.Sn≤an C.Sn>an D.大小不能確定 解析:若a1<0,存在自然數(shù)m≥3, 使得am=Sm,則d>0. 因?yàn)閐<0時(shí),數(shù)列是遞
20、減數(shù)列, 則Sm<am,不存在am=Sm. 由于a1<0,d>0, 當(dāng)m≥3時(shí),有am=Sm, 因此am>0,Sm>0, 又Sn=Sm+am+1+…+an,顯然Sn>an. 答案:C 二、填空題 13.(2018·南寧模擬)在等比數(shù)列{an}中,a2a6=16,a4+a8=8,則=________. 解析:法一:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a2a6=16得aq6=16,∴a1q3=±4.由a4+a8=8,得a1q3(1+q4)=8,即1+q4=±2,∴q2=1.于是=q10=1. 法二:由等比數(shù)列的性質(zhì),得a=a2a6=16,∴a4=±4,又a4+a8=8,∴或.∵a=
21、a4a8>0,∴則公比q滿足q4=1,q2=1,∴=q10=1. 答案:1 14.(2018·合肥模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=2,且=4(an+1-an)(n∈N*),則其前9項(xiàng)和S9=________. 解析:由已知,得a=4anan+1-4a, 即a-4anan+1+4a=(an+1-2an)2=0, 所以an+1=2an, 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列, 故S9==210-2=1 022. 答案:1 022 15.若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=________.
22、解析:因?yàn)閍10a11+a9a12=2a10a11=2e5, 所以a10a11=e5. 所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20) =ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]=ln(a10a11)10 =10ln(a10a11)=10ln e5=50ln e=50. 答案:50 16.(2017·高考北京卷)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則=________. 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q, 則由a4=a1+3d,得d===3, 由b4=b1q3得q3
23、===-8,∴q=-2. ∴===1. 答案:1 三、解答題 17.(2018·南京模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2,記bn=anSn(n∈N*). (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析:(1)∵Sn=2n+1-2,∴當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=21+1-2=2; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n. 又a1=2=21,∴an=2n. (2)由(1)知,bn=anSn=2·4n-2n+1, ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=2(41+42+43+…+4n)-(22+23+…+2n+1)=2×-=
24、·4n+1-2n+2+. 18.(2018·貴陽(yáng)模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公比q>0,a1+a2=4,a3-a2=6. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若對(duì)任意的n∈N*,kan,Sn,-1都成等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)k的值. 解析:(1)∵a1+a2=4,a3-a2=6, ∴ ∵q>0,∴q=3,a1=1. ∴an=1×3n-1=3n-1,故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1. (2)由(1)知an=3n-1,Sn==, ∵kan,Sn,-1成等差數(shù)列,∴2Sn=kan-1,即2×=k×3n-1-1,解得k=3. 19.(2018·成都模擬)已知數(shù)列{
25、an}滿足a1=-2,an+1=2an+4. (1)證明:數(shù)列{an+4}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn. 解析:(1)證明:∵a1=-2,∴a1+4=2. ∵an+1=2an+4,∴an+1+4=2an+8=2(an+4), ∴=2, ∴{an+4}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1) ,可知an+4=2n,∴an=2n-4. 當(dāng)n=1時(shí),a1=-2<0,∴S1=|a1|=2; 當(dāng)n≥2時(shí),an≥0. ∴Sn=-a1+a2+…+an=2+(22-4)+…+(2n-4)=2+22+…+2n-4(n-1)=-4(n-1)=2n+1-4n+2
26、.又當(dāng)n=1時(shí),上式也滿足. ∴當(dāng)n∈N*時(shí),Sn=2n+1-4n+2. 20.(2018·南寧柳州聯(lián)考)已知a1=2,a2=4,數(shù)列{bn}滿足:bn+1=2bn+2且an+1-an=bn. (1)求證:數(shù)列{bn+2}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 解析:(1)證明:由題知,==2, ∵b1=a2-a1=4-2=2,∴b1+2=4, ∴數(shù)列{bn+2}是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)可得,bn+2=4·2n-1,故bn=2n+1-2. ∵an+1-an=bn, ∴a2-a1=b1, a3-a2=b2, a4-a3=b3, …… an-an-1=bn-1. 累加得,an-a1=b1+b2+b3+…+bn-1(n≥2), an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(2n-2) =2+-2(n-1) =2n+1-2n, 故an=2n+1-2n(n≥2). ∵a1=2=21+1-2×1,∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1-2n(n∈N*).
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