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1、2022高考數(shù)學一輪復習 第9章 解析幾何 專題研究1 曲線與方程練習 理
1.已知點A(-1,0),B(2,4),△ABC的面積為10,則動點C的軌跡方程是( )
A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0 B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0
C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0 D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0
答案 B
解析 可知AB的方程為4x-3y+4=0,又|AB|=5,設動點C(x,y).由題意可知×5×=10,所以4x-3y-16=0或4x-3y+24=0.故選B.
2.方程lg(x2+y2-1)=0所表示的曲線圖形是(
2、)
答案 D
3.動圓M經(jīng)過雙曲線x2-=1的左焦點且與直線x=2相切,則圓心M的軌跡方程是( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=4x D.y2=-4x
答案 B
解析 雙曲線x2-=1的左焦點F(-2,0),動圓M經(jīng)過F且與直線x=2相切,則圓心M經(jīng)過F且與直線x=2相切,則圓心M到點F的距離和到直線x=2的距離相等,由拋物線的定義知軌跡是拋物線,其方程為y2=-8x.
4.(2017·皖南八校聯(lián)考)設點A為圓(x-1)2+y2=1上的動點,PA是圓的切線,且|PA|=1,則P點的軌跡方程為( )
A.y2=2x B.(x-1)2+y
3、2=4
C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2
答案 D
解析 (直譯法)如圖,設P(x,y),圓心為M(1,0).連接MA,PM.
則MA⊥PA,且|MA|=1,
又因為|PA|=1,
所以|PM|==,
即|PM|2=2,所以(x-1)2+y2=2.
5.(2017·吉林市畢業(yè)檢測)設圓O1和圓O2是兩個定圓,動圓P與這兩個定圓都外切,則圓P的圓心軌跡可能是( )
A.①②③⑤ B.②③④⑤
C.①②④⑤ D.①②③④
答案 A
解析 當兩定圓相離時,圓P的圓心軌跡為①;當兩定圓外切時,圓P的圓心軌跡為②;當兩定圓相交時,圓P的圓心軌跡為③;
4、當兩定圓內(nèi)切時,圓P的圓心軌跡為⑤.
6.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個焦點作過A,B的橢圓,橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是( )
A.y2-=1(y≤-1) B.y2-=1
C.y2-=-1 D.x2-=1
答案 A
解析 由題意,得|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.故點F的軌跡是以A,B為焦點,實軸長為2的雙曲線下支.∵雙曲線中c=7,a=1,∴b2=48,∴軌跡方程為y2-=1(y≤-1).
7.△ABC的頂點為A(-5,0)、B(5,
5、0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1(x>3) D.-=1(x>4)
答案 C
解析 設△ABC的內(nèi)切圓與x軸相切于D點,則D(3,0).由于AC、BC都為圓的切線.
故有|CA|-|CB|=|AD|-|BD|=8-2=6.
由雙曲線定義知所求軌跡方程為-=1(x>3).
故選C.
8.(2017·寧波十校聯(lián)考)在直角坐標平面中,△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別為A(-1,0),B(1,0),平面內(nèi)兩點G,M同時滿足下列條件:①++=0,②||=||=||,③∥.則△ABC的頂點C的軌跡方程為(
6、)
A.+y2=1(y≠0) B.-y2=1(y≠0)
C.x2+=1(y≠0) D.x2-=1(y≠0)
答案 C
解析 根據(jù)題意,G為△ABC的重心,設C(x,y),則G(,),而M為△ABC的外心,∴M在AB的中垂線上,即y軸上,由∥,得M(0,),根據(jù)||=||,得1+()2=x2+(y-)2,即x2+=1,又C點不在x軸上,∴y≠0,故選C.
9.如圖,在平面直角坐標系xOy中,圓x2+y2=r2(r>0)內(nèi)切于正方形ABCD,任取圓上一點P,若=a+b(a,b∈R),若M(a,b),則動點M所形成的軌跡曲線的長度為( )
A.π B.π
C.π D.2π
7、
答案 B
解析 設P(x,y),則x2+y2=r2,A(r,r),B(-r,r).由=a+b,得代入x2+y2=r2,得(a-b)2+(a+b)2=1,即a2+b2=,故動點M所形成的軌跡曲線的長度為π.
10.已知拋物線y2=nx(n<0)與雙曲線-=1有一個相同的焦點,則動點(m,n)的軌跡方程是________.
答案 n2=16(m+8)(n<0)
解析 拋物線的焦點為(,0),在雙曲線中,8+m=c2=()2,n<0,即n2=16(m+8)(n<0).
11.長為3的線段AB的端點A,B分別在x,y軸上移動,動點C(x,y)滿足:=2,則動點C的軌跡方程為_______
8、_________.
答案 x2+y2=1
解析 設A(a,0),B(0,b),則a2+b2=9.又C(x,y),則由=2,得(x-a,y)=2(-x,b-y).
即即代入a2+b2=9,并整理,得x2+y2=1.
12.若過拋物線y2=4x的焦點作直線與其交于M,N兩點,作平行四邊形MONP,則點P的軌跡方程為________.
答案 y2=4(x-2)
解析 設直線方程為y=k(x-1),點M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y),由=,得(x1,y1)=(x-x2,y-y2).
得x1+x2=x,y1+y2=y(tǒng).
由聯(lián)立得x=x1+x2=.
y=y(tǒng)1+y2=,消
9、去參數(shù)k,得y2=4(x-2).
13.如圖所示,直角三角形ABC的頂點坐標A(-2,0),直角頂點B(0,-2),頂點C在x軸上,點P為線段OA的中點.
(1)求BC邊所在直線方程;
(2)M為直角三角形ABC外接圓的圓心,求圓M的方程;
(3)若動圓N過點P且與圓M內(nèi)切,求動圓N的圓心N的軌跡方程.
答案 (1)y=x-2 (2)(x-1)2+y2=9 (3)x2+y2=1
解析 (1)∵kAB=-,AB⊥BC,
∴kCB=.∴BC:y=x-2.
(2)在上式中,令y=0,得C(4,0).∴圓心M(1,0).
又∵|AM|=3,∴外接圓的方程為(x-1)2+y2=9.
10、
(3)∵P(-1,0),M(1,0),∵圓N過點P(-1,0),
∴PN是該圓的半徑.又∵動圓N與圓M內(nèi)切,
∴|MN|=3-|PN|,即|MN|+|PN|=3.
∴點N的軌跡是以M,P為焦點,長軸長為3的橢圓.
∴a=,c=1,b==.
∴軌跡方程為x2+y2=1.
14.已知動點P(x,y)與兩定點M(-1,0),N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)λ(λ≠0).
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)討論軌跡C的形狀.
答案 (1)x2-=1(λ≠0,x≠±1) (2)略
解析 (1)由題設知直線PM與PN的斜率存在且均不為零,所以kPM·kPN=·=λ.
整理,
11、得x2-=1(λ≠0,x≠±1).
(2)①當λ>0時,軌跡C為中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線(除去頂點);
②當-1<λ<0時,軌跡C為中心在原點,焦點在x軸上的橢圓(除去長軸兩個端點);
③當λ=-1時,軌跡C為以原點為圓心,1為半徑的圓除去點(-1,0),(1,0);
④當λ<-1時,軌跡C為中心在原點,焦點在y軸上的橢圓(除去短軸的兩個端點).
15.已知點A(-4,4),B(4,4),直線AM與BM相交于點M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為-2,點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的軌跡方程;
(2)Q為直線y=-1上的動點,過Q作曲線C的切線,切點分別為D,
12、E,求△QDE的面積S的最小值.
答案 (1)x2=4y(x≠±4) (2)4
解析 (1)設M(x,y),則kAM=,kBM=.
∵直線AM的斜率與直線BM的斜率的差為-2,
∴-=-2,∴x2=4y(x≠±4).
(2)設Q(m,-1).∵切線斜率存在且不為0,故可設一條切線的斜率為k,則切線方程為y+1=k(x-m).
聯(lián)立得方程組得x2-4kx+4(km+1)=0.
由相切得Δ=0,將k2-km-1=0代入,得x2-4kx+4k2=0,
即x=2k,從而得到切點的坐標為(2k,k2).
在關于k的方程k2-km-1=0中,Δ>0,
∴方程k2-km-1=0有兩個不相
13、等的實數(shù)根,分別為k1,k2,
則故QD⊥QE,S=|QD||QE|.
記切點(2k,k2)到Q(m,-1)的距離為d,
則d2=(2k-m)2+(k2+1)2=4(k2-km)+m2+k2m2+4km+4,
故|QD|=,
|QE|=,
S=(4+m2)
=(4+m2)≥4,
即當m=0,也就是Q(0,-1)時面積的最小值為4.
16.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,過左焦點傾斜角為45°的直線被橢圓截得的弦長為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若動直線l與橢圓E有且只有一個公共點,過點M(1,0)作l的垂線,垂足為Q,求點Q的軌跡方程.
答案 (1)+y
14、2=1 (2)x2+y2=2
解析 (1)因為橢圓E的離心率為,所以=.解得a2=2b2,故橢圓E的方程可設為+=1,則橢圓E的左焦點坐標為(-b,0),過左焦點傾斜角為45°的直線方程為l′:y=x+b.
設直線l′與橢圓E的交點為A,B,
由消去y,得3x2+4bx=0,解得x1=0,x2=-.
因為|AB|=|x1-x2|==,解得b=1.
∴a2=2,∴橢圓E的方程為+y2=1.
(2)①當切線l的斜率存在且不為0時,設l的方程為y=kx+m,聯(lián)立直線l和橢圓E的方程,得
消去y并整理,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.
因為直線l和橢圓E有且僅有一個交點
15、,
所以Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0.
化簡并整理,得m2=2k2+1.
因為直線MQ與l垂直,所以直線MQ的方程為y=-(x-1).
聯(lián)立得方程組解得
∴x2+y2====,
把m2=2k2+1代入上式得x2+y2=2.(*)
②當切線l的斜率為0時,此時Q(1,1)或(1,-1),符合(*)式.
③當切線l的斜率不存在時,此時Q(,0)或(-,0),符合(*)式.
綜上所述,點Q的軌跡方程為x2+y2=2.
1.(2018·河南洛陽二模)已知動圓M過定點E(2,0),且在y軸上截得的弦PQ的長為4.則動圓圓心M的軌跡C的方程是________
16、.
答案 y2=4x
解析 設M(x,y),PQ的中點為N,連MN,則|PN|=2,MN⊥PQ,
∴|MN|2+|PN|2=|PM|2.
又|PM|=|EM|,∴|MN|2+|PN|2=|EM|2,
∴x2+4=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.
∴動圓圓心M的軌跡C的方程為y2=4x.
2.已知直線l與平面α平行,P是直線l上一定點,平面α內(nèi)的動點B滿足PB與直線l成30°角,那么B點軌跡是( )
A.兩條直線 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
答案 C
解析 P是直線l上的定點,平面α與直線l平行,平面α內(nèi)的動點B滿足PB與直線l成30°角,因為空間中過
17、P與l成30°角的直線構成兩個相對頂點的圓錐,α即為平行于圓錐軸的平面,點B的軌跡可理解為α與圓錐側面的交線,所以點B的軌跡為雙曲線,故選C.
3.(2018·安徽安慶二模)已知拋物線x2=2py(p>0),F(xiàn)為其焦點,過點F的直線l交拋物線于A,B兩點,過點B作x軸的垂線,交直線OA于點C,如圖所示.求點C的軌跡M的方程.
答案 y=-
解析 依題意可得,直線l的斜率存在,故設其方程為y=kx+,又設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),
由?x2-2pkx-p2=0?x1·x2=-p2.
易知直線OA:y=x=x,直線BC:x=x2,
由得y==-,
即點C的
18、軌跡M的方程為y=-.
4.(2014·課標全國Ⅰ,文)已知點P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點.
(1)求M的軌跡方程;
(2)當|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積.
答案 (1)(x-1)2+(y-3)2=2
(2)x+3y-8=0,S△POM=
解析 (1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.
設M(x,y),則=(x,y-4),=(2-x,2-y).由題設知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.
由于點P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心,為半徑的圓.
由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上.
又P在圓N上,從而ON⊥PM.
因為ON的斜率為3,所以l的斜率為-.
故l的方程為y=-x+,即x+3y-8=0.
又|OM|=|OP|=2,O到l的距離為,|PM|=,所以△POM的面積為.