2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四單元 三角函數(shù)與解三角形 第29講 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用檢測(cè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四單元 三角函數(shù)與解三角形 第29講 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用檢測(cè) 1．在△ABC中，若sin2A＋sin2Bc)，則b－c＝2，cos A＝，則sin A＝，所以S△ABC＝bcsin A＝bc＝14，所以bc＝35. 所以b＝7，c＝5. 3．如圖，從氣球A上

2、測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于(C) A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 如圖，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m， 在Rt△ACD中，CD＝＝＝60 m， 在Rt△ABD中，BD＝＝＝ ＝60(2－)m， 所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m. 4．(2016·山東卷)△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，則A＝(C) A. B. C. D.

3、 因?yàn)閎＝c，所以B＝C. 又由A＋B＋C＝π得B＝－. 由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得 sin2A＝2sin2B(1－sin A)， 即sin2A＝2sin2(－)(1－sin A)， 即sin2A＝2cos2(1－sin A)， 即4sin2cos2＝2cos2(1－sin A)， 整理得cos2(1－sin A－2sin2)＝0， 即cos2(cos A－sin A)＝0. 因?yàn)?

4、則A、C兩點(diǎn)間的距離是　　千米． 在△ABC中，∠ACB＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得＝，解得AC＝. 6．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝2，連接CD，則△BDC的面積是　　，cos∠BDC＝　　. 依題意作出圖形，如圖所示， 則sin∠DBC＝sin∠ABC. 由題意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2， 則cos∠ABC＝，sin∠ABC＝. 所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC ＝×2×2×＝. 因?yàn)閏os∠DBC＝－cos∠ABC＝－， 所以CD＝＝. 由余弦定理，得cos

5、∠BDC＝＝. 7．(2018·華大新高考聯(lián)盟教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng))已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且2cos B(ccos A＋acos C)＝b. (1)證明：A，B，C成等差數(shù)列； (2)若△ABC的面積為，求b的最小值． (1)證明：因?yàn)?cos B(ccos A＋acos C)＝b， 所以由正弦定理得2cos B(sin Ccos A＋sin Acos C)＝sin B， 即2cos Bsin(A＋C)＝sin B， 在△ABC中，sin(A＋C)＝sin B，且sin B≠0， 所以cos B＝，因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝. 又因?yàn)锳＋B＋C

6、＝π，所以A＋C＝＝2B， 所以A，B，C成等差數(shù)列． (2)因?yàn)镾△ABC＝acsin B＝，所以ac＝6. 所以b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥ac＝6. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，取等號(hào)． 所以b的最小值為. 8．在△ABC中，A∶B＝1∶2，∠C的平分線CD把三角形面積分成3∶2的兩部分，則cos A＝(C) A. B. C. D．0 因?yàn)椤螩的平分線CD把三角形面積分成3∶2的兩部分， 所以AC∶BC＝3∶2，＝＝， 所以＝，所以cos A＝. 9．已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)

7、(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC面積的最大值為　　. 因?yàn)椋剑剑?R，a＝2， 又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C， 可化為(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c， 所以a2－b2＝c2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc. 所以＝＝＝cos A，所以A＝60°. 在△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60° ＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc， (當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取得“＝”) 所以S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝. 10．(2017·山東卷)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b＝3，·＝－6，S△ABC＝3，求A和a. 因?yàn)椤ぃ剑?，所以bccos A＝－6. 又S△ABC＝3，所以bcsin A＝6. 因此tan A＝－1. 又0