2022高考數學大一輪復習 第四章 平面向量 課下層級訓練25 平面向量的基本定理及向量的坐標運算（含解析）文 新人教A版

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1、2022高考數學大一輪復習 第四章 平面向量 課下層級訓練25 平面向量的基本定理及向量的坐標運算（含解析）文 新人教A版 1．(2019·河南鄭州聯(lián)考)設平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，則2a－3b等于(　　) A．(6,3)　　　　　　　 B．(－2，－6) C．(2,1) D．(7,2) B　[2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．] 2．已知點A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，則點B的坐標為(　　) A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) D　[設點B的坐標為(x，y)，則＝(x＋1，y－5)．由＝3

2、a，得解得故點B的坐標為(5,14)．] 3．已知平面直角坐標系內的兩個向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面內的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ為實數)，則實數m的取值范圍是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) D　[由題意知向量a，b不共線，故2m≠3m－2，即m≠2.] 4．(2018·安徽馬鞍山期末)已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若實數λ滿足a＋b＝λc，則λ＋m等于(　　) A．5　　　　 B．6　　　 C．7　　　　 D．8 B　[由平面向量的坐標運算

3、法則可得a＋b＝(5,5)，λc＝(λ，λm)，據此有解得λ＝5，m＝1，∴λ＋m＝6.] 5．(2019·貴州適應性考試)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，c＝(2,3)，若a＋λb與c共線，則實數λ＝(　　) A． B．－ C． D．－ B　[由已知得a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，因為向量a＋λb與c共線，設a＋λb＝mc，所以解得] 6．(2019·河南三市聯(lián)考)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與同方向的單位向量是__________. 　[＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴與同方向的單位向量為＝.] 7．如圖，已知□ABCD的邊BC，CD

4、上的中點分別是M，N，且＝e1，＝e2，若＝xe2＋ye1(x，y∈R)，則x＋y＝__________. 　[設＝a，＝b，則＝a，＝－b. 由題意得解得 ∴＝e2－e1. 故x＝，y＝－，∴x＋y＝.] 8．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實數x的值為__________. 　[因為a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)， v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)． 又因為u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0， 即10x＝5，解得x＝.]

5、 9．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點．設＝a，＝b，試用a，b為基底表示向量，，. 解　＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a， ＝＋＝－b＋＝b－a， ＝＋＝－b－＝a－b. 10．平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求滿足a＝mb＋nc的實數m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k. 解　(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以解得 (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，

6、 解得k＝－. [B級　能力提升訓練] 11．已知點A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，且點P在直線x－2y＝0上，則λ的值為(　　) A． B．－ C． D．－ B　[設P(x，y)，則由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋5. 又點P在直線x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.] 12．在平面直角坐標系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標平面內第一象限內的點，且∠AOC＝，|OC|＝2，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) A．2 B． C．2

7、 D．4 A　[因為|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因為＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.] 13．已知A(－3,0)，B(0，)，O為坐標原點，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，則實數λ的值為__________. 1　[由題意知＝(－3,0)，＝(0，)，則＝(－3λ，)，由∠AOC＝30°知，以x軸的非負半軸為始邊，OC為終邊的一個角為150°，所以tan 150°＝，即－＝－，所以λ＝1.] 14．(2019·浙江杭州五校聯(lián)考)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P為矩形內一點，且AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈

8、R)，則λ＋μ的最大值為__________. 　[建立如圖所示的平面直角坐標系，設P(x，y)，B(，0)，C(，)，D(0，)． ∵AP＝，∴x2＋y2＝. 點P滿足的約束條件為 ∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)， ∴(x，y)＝λ(，0)＋μ(0，)， ∴　∴x＋y＝λ＋μ. ∵x＋y≤＝ ＝， 當且僅當x＝y(tǒng)時取等號， ∴λ＋μ的最大值為.] 15．若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足＝＋. (1)求△ABM與△ABC的面積之比； (2)若N為AB的中點，AM與CN交于點O，設＝x＋y，求x，y的值． 解　(1)由＝＋，可知M，B，C三點共線．如圖， 設＝λ，則＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，所以λ＝， 所以＝，即△ABM與△ABC的面積之比為1∶4. (2)由＝x＋y，得＝x＋， ＝＋y， 由O，M，A三點共線及O，N，C三點共線 ??