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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講課時(shí)訓(xùn)練 選修4-5
1. 解不等式1<|x-1|<3.
解:原不等式可化為12時(shí),不等式化為x+1+x-2<4,
解得22x.
解:原不等式等價(jià)于x2-2x+4<-2x ①,
或x2-2x+
2、4>2x?、?
解①得解集為?,
解②得解集為{x|x∈R且x≠2}.
∴ 原不等式的解集為{x|x∈R且x≠2}.
4. 解不等式x2-|x|-2<0.
解:(解法1)當(dāng)x≥0時(shí),x2-x-2<0,
解得-1
3、≤4的x的最大值為3,求實(shí)數(shù)a的值.
解:因?yàn)閤的最大值為3,所以x≤3,即不等式為|2x+a|+3-x≤4,所以|2x+a|≤x+1,
所以所以
因?yàn)閤的最大值為3,所以1-a=3,即a=-2.
6. 已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|-|a2-2a|.若函數(shù)f(x)的圖象恒在x軸上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:f(x)的最小值為3-|a2-2a|,
由題設(shè),得|a2-2a|<3,解得a∈(-1,3).
7. 已知函數(shù)f(x)=|x|-|x-3|.
(1) 解關(guān)于x的不等式f(x)≥1;
(2) 若存在x0∈R,使得關(guān)于x的不等式m≤f(x0)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍
4、.
解:(1) 原不等式等價(jià)于不等式組①:或②:或③:不等式組①無解;解不等式組②得2≤x<3;解不等式組③得x≥3,所以原不等式的解集為[2,+∞).
(2) 由題意知m≤f (x)max,因?yàn)閒(x)=|x|-|x-3|≤|x-x+3|=3,所以f(x)max=3,所以m≤3,即m∈(-∞,3].
8. 已知函數(shù)f(x)=|1-x|-|2+x|.
(1) 求f(x)的最大值;
(2) |2t-1|≥f(x)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解:(1) f(x)=|1-x|-|2+x|≤|1-x+2+x|=3,
當(dāng)且僅當(dāng)x≤-2時(shí)等號(hào)成立,∴ f(x)max=3.
(2) 由|2
5、t-1|≥f(x)恒成立得|2t-1|≥f(x)max,
即|2t-1|≥3,2t-1≥3或2t-1≤-3,
解得t≥2 或 t≤-1,
∴ 實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞,-1]∪[2,+∞).
9. 已知關(guān)于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1(a>0).
(1) 當(dāng)a=1時(shí),求此不等式的解集;
(2) 若此不等式的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1) 當(dāng)a=1時(shí),得2|x-1|≥1, 即|x-1|≥,
解得x≥或x≤,
∴ 不等式的解集為∪.
(2) ∵ |ax-1|+|ax-a|≥|a-1|,
∴ 原不等式解集為R等價(jià)于|a-1|≥1.
∴ a≥2或a≤0
6、.
∵ a>0,∴ a≥2.
∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,+∞).
10. 設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-2|.
(1) 求不等式f(x)>2的解集;
(2) ?x∈R,f(x)≥t2-t,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解:(1) f(x)=
當(dāng)x<-時(shí),-x-3>2,x<-5,∴ x<-5;
當(dāng)-≤x<2時(shí),3x-1>2,x>1,∴ 12,x>-1,∴ x≥2.
綜上所述,不等式f(x)>2的解集為{x|x>1或x<-5}.
(2) f(x)min=-,若?x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,
則只需f(x)min=-≥t2-,解得≤t≤5
7、.
即t的取值范圍是.
11. 設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|-|x+1|.
(1) 求不等式f(x)≤0的解集D;
(2) 若存在實(shí)數(shù)x∈{x|0≤x≤2},使得+>a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1) 當(dāng)x≤-1時(shí),由f(x)=-x+2≤0得x≥2,所以x∈?;
當(dāng)-1時(shí),由f(x)=x-2≤0得x≤2,所以
8、∞,2).
第2課時(shí) 不等式證明的基本方法
1. 已知x≥1,y≥1,求證:x2y+xy2+1≤x2y2+x+y.
證明:左邊-右邊=(y-y2)x2+(y2-1)x-y+1=(1-y)[yx2-(1+y)x+1]=(1-y)(xy-1)(x-1),
∵ x≥1,y≥1,∴ 1-y≤0,xy-1≥0,x-1≥0.
從而左邊-右邊≤0,
∴ x2y+xy2+1≤x2y2+x+y.
2. (2017·蘇州期末)已知a,b,x,y都是正數(shù),且a+b=1,求證:(ax+by)(bx+ay)≥xy.
證明:因?yàn)閍,b,x,y都是正數(shù),
所以(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2
9、)+xy(a2+b2)
≥ab·2xy+xy(a2+b2)=(a+b)2xy.
又a+b=1,所以(ax+by)(bx+ay)≥xy.
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立.
3. 已知x,y,z∈R,且x+2y+3z+8=0.求證:(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥14.
證明:因?yàn)閇(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](12+22+32)
≥[(x-1)+2(y+2)+3(z-3)]2
=(x+2y+3z-6)2=142,
當(dāng)且僅當(dāng)==,即x=z=0,y=-4時(shí),取等號(hào),
所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥14.
4. 已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x
10、+1|,函數(shù)g(x)=f(x)+|x+1|的值域?yàn)镸.
(1) 求不等式f(x)≤3的解集;
(2) 若t∈M,求證:t2+1≥+3t.
(1) 解:依題意,得f(x)=于是得f(x)≤3?或或解得-1≤x≤1.即不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤1}.
(2) 證明:g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|≥|2x-1-2x-2|=3,
當(dāng)且僅當(dāng)(2x-1)(2x+2)≤0時(shí),取等號(hào),∴M=[3,+∞).
原不等式等價(jià)于t2-3t+1-==.
∵t∈M,∴t-3≥0,t2+1>0.
∴≥0.∴t2+1≥+3t.
5. (2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)二模
11、)已知a,b,c為正實(shí)數(shù),求證:++≥a+b+c.
證明:∵ a,b,c為正實(shí)數(shù),∴ a+≥2b,b+≥2c,c+≥2a,
將上面三個(gè)式子相加得a+b+c+++≥2a+2b+2c,
∴ ++≥a+b+c.
6. 設(shè)a1,a2,a3均為正數(shù),且a1+a2+a3=1,求證:++≥9.
證明:因?yàn)閍1,a2,a3均為正數(shù),且a1+a2+a3=1,所以++=(a1+a2+a3)≥3(a1a2a3)·3=9(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3時(shí)等號(hào)成立),所以++≥9.
7. 已知正數(shù)x,y,z滿足x+2y+3z=1,求++的最小值.
解:++=(x+2y+3z)
=1+4+9++++++
≥
12、14+2+2+2=36,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=時(shí)等號(hào)成立,
∴ ++的最小值為36.
8. 已知x>0,y>0,z>0且xyz=1,求證:x3+y3+z3≥xy+yz+zx.
證明:∵ x>0,y>0,z>0,
∴ x3+y3+z3≥3xyz.
同理x3+y3+1≥3xy,y3+z3+1≥3yz,x3+z3+1≥3xz.
將以上各式相加,得3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3zx.
∵ xyz=1,∴ x3+y3+z3≥xy+yz+zx.
9. 已知a,b,c均為正數(shù),且a+2b+4c=3.求++的最小值,并指出取得最小值時(shí)a,b,c的值.
解:∵ a+
13、2b+4c=3,∴ (a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.
∵ a,b,c為正數(shù),
∴ 由柯西不等式得[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]·≥(1++2)2.
當(dāng)且僅當(dāng)(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2時(shí),等式成立.
∴++≥,
∴ 2(c+1)+2(c+1)+4(c+1)=10,
∴ c=,b=,a=.
10. 已知a+b+c=1,a,b,c>0.求證:
(1) abc≤;
(2) a2+b2+c2≥.
證明:(1) a+b+c≥3·,而a+b+c=1?abc≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào).
(2) 由柯西不等式得a2+b2+c2≥(a+b+c)2=,由(1)知≤,
∴ a2+b2+c2≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào).
11. 已知函數(shù)f(x)=,g(x)=.若存在實(shí)數(shù)x使f(x)+g(x)>a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:存在實(shí)數(shù)x使f(x)+g(x)>a成立,
等價(jià)于f(x)+g(x)的最大值大于a.
∵ f(x)+g(x)=+
=×+1×,
由柯西不等式得,(×+1×)2≤(3+1)·(x+2+14-x)=64,
∴ f(x)+g(x)=+≤8,當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)取等號(hào).
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,8).