湖南省2022年中考數(shù)學總復習 第三單元 函數(shù)及其圖象 課時訓練15 二次函數(shù)的綜合問題練習

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1、湖南省2022年中考數(shù)學總復習 第三單元 函數(shù)及其圖象 課時訓練15 二次函數(shù)的綜合問題練習 15 二次函數(shù)的綜合問題 限時:30分鐘 夯實基礎 1.[xx·蘇州] 若二次函數(shù)y=ax2+1的圖象經(jīng)過點(-2,0),則關于x的方程a(x-2)2+1=0的實數(shù)根為 (　　) A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6 C.x1=,x2= D.x1=-4,x2=0 2.若關于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個根分別為x1=1,x2=2,那么拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線 (　　) A.x=1 B.x=2 C.x= D.x=- 3.[

2、xx·連云港] 已知學校航模組設計制作的火箭的升空高度h(m)與飛行時間t(s)滿足函數(shù)表達式h=-t2+24t+1.下列說法中正確的是 (　　) A.點火后9 s和點火后13 s的升空高度相同 B.點火后24 s火箭落于地面 C.點火后10 s的升空高度為139 m D.火箭升空的最大高度為145 m 4.[xx·河池二模] 如圖K15-1,四邊形OABC是邊長為1的正方形,OC與x軸正半軸的夾角為15°,點B在拋物線y=ax2(a<0)的圖象上,則a的值為 (　　) 圖K15-1 A.- B.- C.-2 D.- 5.[xx·萊蕪] 若函數(shù)y=ax2+2

3、ax+m(a<0)的圖象過點(2,0),則使函數(shù)值y<0成立的x的取值范圍是 (　　) A.x<-4或x>2 B.-42 D.0

4、-3,我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”.已知點A,B,C,D分別是“果圓”與坐標軸的交點,拋物線的表達式為y=x2-2x-3,AB為半圓的直徑,則這個“果圓”被y軸截得的弦CD的長為　　　　.? 圖K15-3 8.已知關于x的二次函數(shù)y=x2-(2m+3)x+m2+2. (1)若二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點,求實數(shù)m的取值范圍. (2)設二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為A(x1,0),B(x2,0),且滿足+=31+|x1x2|,求實數(shù)m的值. 能力提升 9.[xx·杭州] 四位同學在研究函數(shù)y=x2+bx+c(b,c是常數(shù))時,甲發(fā)現(xiàn)

5、當x=1時,函數(shù)有最小值;乙發(fā)現(xiàn)-1是方程x2+bx+c=0的一個根;丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為3;丁發(fā)現(xiàn)當x=2時,y=4.已知這四位同學中只有一位發(fā)現(xiàn)的結論是錯誤的,則該同學是 (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 10.在平面直角坐標系中,橫坐標與縱坐標都是整數(shù)的點(x,y)稱為整點.如果將二次函數(shù)y=-x2+8x-的圖象與x軸所圍成的封閉圖形染成紅色,則此紅色區(qū)域內部及其邊界上的整點共有　　　　個.? 11.如圖K15-4,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+x的對稱軸為直線x=2,頂點為A.點P為拋物線對稱軸上一點,連接OA,OP.當OA⊥OP時,點P的坐標為　　　　.?

6、 圖K15-4 12.若二次函數(shù)y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常數(shù))與y2=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常數(shù))滿足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉函數(shù)”. (1)請寫出兩個互為“旋轉函數(shù)”的函數(shù). (2)若函數(shù)y=x2-mx-2n+1與y=-x2-2nx+3互為“旋轉函數(shù)”,求(m-2n)2019的值. (3)已知函數(shù)y=x2-x-2的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,點A,B,C關于原點的對稱點分別為A1,B1,C1,試問:經(jīng)過點A1,B1,C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=x2-x-2互為“

7、旋轉函數(shù)”嗎?請說明理由. 13.[xx·陜西] 已知拋物線L:y=x2+x-6與x軸相交于A,B兩點(點A在點B的左側),并與y軸相交于點C. (1)求A,B,C三點的坐標,并求△ABC的面積; (2)將拋物線L向左或向右平移,得到拋物線L',則L'與x軸相交于A',B'兩點(點A'在點B'的左側),并與y軸相交于點C',要使△A'B'C'和△ABC的面積相等,求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達式. 拓展練習 14.[xx·株洲] 如圖K15-5,已知二次函數(shù)y=ax2-5x+c(a>0)的圖象與x軸相交于不同的兩點A(x1,0),

8、B(x2,0),且x1

9、0-2x.∵△EFM和△CFN都是等腰直角三角形,∴MF=EF=40-x,FN=FC=x.∴包裝盒的側面積=4MF·FN=4×x(40-x)=-8(x-20)2+3200.∴當x=20時,包裝盒的側面積最大. 7.3+　[解析] 連接AC,BC.∵拋物線的表達式為y=x2-2x-3,∴點D的坐標為(0,-3).∴OD的長為3.設y=0,則0=x2-2x-3.解得x=-1或3.∴A(-1,0),B(3,0).∴AO=1,BO=3.∵AB為半圓的直徑,∴∠ACB=90°.∵CO⊥AB,易得△ACO∽△CBO,∴=,∴CO2=AO·BO=3.∴CO=.∴CD=CO+OD=3+. 8.

10、解:(1)由題意,得[-(2m+3)]2-4×1×(m2+2)>0,解得m>-. (2)由根與系數(shù)的關系,得x1+x2=2m+3, x1x2=m2+2,因為+=31+|x1x2|, 所以(x1+x2)2-2x1x2=31+|x1x2|. (2m+3)2-2(m2+2)=31+m2+2, 整理,得m2+12m-28=0. 解得m1=2,m2=-14(舍去). ∴當m=2時,滿足+=31+|x1x2|. 9.B 10.25　[解析] 將二次函數(shù)化簡,得y=-(x-4)2+.令y=0,得x=或,所以在紅色區(qū)域內部及其邊界上的整點有(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6

11、,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2)共25個,故答案為25. 11.(2,-4)　[解析] ∵拋物線y=ax2+x的對稱軸為直線x=2,∴-=2.∴a=-.∴拋物線的表達式為y=-x2+x=-(x-2)2+1.∴頂點A的坐標為(2,1).設對稱軸與x軸的交點為E.如圖,在Rt△AOE和Rt△POE中,tan∠OAE=,tan∠EOP=.∵OA⊥OP,∴∠OAE=∠EOP.∴=.∵AE=

12、1,OE=2,∴=.解得PE=4.∴P(2,-4).故答案為(2,-4). 12.解:(1)答案不唯一,如:y=x2和y=-x2. (2)∵函數(shù)y=x2-mx-2n+1與y=-x2-2nx+3互為“旋轉函數(shù)”, ∴-m=-2n且-2n+1+3=0. 解得m=3,n=2.∴(m-2n)2019=(3-2×2)2019=-1. (3)經(jīng)過點A1,B1,C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=x2-x-2互為“旋轉函數(shù)”. 理由是:∵函數(shù)y=x2-x-2的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,∴A(-1,0),B(2,0),C(0,-2). ∵點A,B,C關于原點的對稱點分別為A1,B1,C1

13、, ∴A1(1,0),B1(-2,0),C1(0,2). 設過A1,B1,C1三點的二次函數(shù)的表達式為y1=a(x-1)·(x+2), 把點C1的坐標代入,得2=a(0-1)(0+2). 解得a=-1.∴y1=-(x-1)(x+2)=-x2-x+2. ∵y=x2-x-2,1+(-1)=0,-1=-1,2+(-2)=0, ∴經(jīng)過點A1,B1,C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=x2-x-2互為“旋轉函數(shù)”. 13.解:(1)令y=0,得x2+x-6=0.解得x1=-3,x2=2. ∵點A在點B的左側,∴A(-3,0),B(2,0). ∴AB=|2-(-3)|=5. ∵當x=0時,y=-6

14、,∴C(0,-6).∴S△ABC=×5×6=15. (2)y=x2+x-6=x+2-. 設平移后的拋物線解析式為y=(x+h)2-. 根據(jù)題意可知,A'B'=AB,要使△A'B'C'和△ABC的面積相等,只需高相等即可,故平移后的拋物線應過點(0,-6)或點(0,6). ①若過點(0,-6),則h2-=-6.解得h1=(舍去),h2=-.故此時滿足條件的拋物線解析式為y=x-2-=x2-x-6. ②若過點(0,6),則h2-=6.解得h1=,h2=-. 故此時滿足條件的拋物線解析式為y=x+2-=x2+7x+6或y=x-2-=x2-7x+6. 綜上所述,滿足條件的拋物線的函數(shù)表達

15、式為y=x2-x-6,y=x2+7x+6或y=x2-7x+6. 14.解:(1)∵對稱軸為x=-=-=,∴a=. (2)∵a=15, ∴15x2-5x+c=0有兩個不相等的實數(shù)根. ∴(-5)2-4×15c>0.∴c<. (3)如圖,過點A作AM⊥BD于M. ∵點D是y=ax2-5x+c的圖象與y軸的交點, ∴OD=c. 在Rt△BOD中,∠OBD=60°,OD=c, ∴OB=c,BD=c. ∴點B的坐標為c,0. 代入二次函數(shù)的解析式,得a×c2-5×c+c=0. ∴ac=12.∴c=. ∴BD=c=,OB=c=. ∵直線EF是y=ax2-5x+c的圖象的對稱軸, ∴xE=. ∴BE=xB-xE=-=. ∴AE=BE=,AB=. 在Rt△AMB中,∠OBD=60°,AB=, ∴AM=,BM=. ∴DM=BD-BM=-=. ∵∠ADB=∠AFE, ∴tan∠ADB=tan∠AFE. ∴=.∴=.∴a=2. ∵ac=12,∴c=6. ∴y=2x2-5x+6.