14、
2．證明線面平行的常用方法
(1)利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉化為證線線平行；
(2)利用面面平行的性質定理，把證明線面平行轉化為證面面平行．
3．證明面面平行的方法
證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個面內兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證面面平行轉化為證線面平行，再轉化為證線線平行．
4．證明線線垂直的常用方法
(1)利用特殊平面圖形的性質，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；
(2)利用勾股定理逆定理；
(3)利用線面垂直的性質，即要證線線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可．
5．證明線面垂直的常用方法
(1)利用
15、線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉化為證明線線垂直；
(2)利用面面垂直的性質定理，把證明線面垂直轉化為證面面垂直；
(3)利用常見結論，如兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
6．證明面面垂直的方法
證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線或添加輔助線解決.
真題感悟
1．(xx·遼寧)已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面．下列說法正確的是( )
A．若m∥α，n∥α，則m∥n
B．若m⊥α，n?α，則m⊥n
C
16、．若m⊥α，m⊥n，則n∥α
D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α
答案 B
解析 方法一 若m∥α，n∥α，則m，n可能平行、相交或異面，A錯；
若m⊥α，n?α，則m⊥n，因為直線與平面垂直時，它垂直于平面內任一直線，B正確；
若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，C錯；
若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n?α，D錯．
方法二 如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.
A項中，若m為A′B′，n為B′C′，滿足m∥α，n∥α，
但m與n是相交直線，故A錯．
B項中，m⊥α，n?α，
∴m⊥n，這是線面垂直的性質，故B正確．
C項
17、中，若m為AA′，n為AB，
滿足m⊥α，m⊥n，但n?α，故C錯．
D項中，若m為A′B′，n為B′C′，
滿足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D錯．
2．(xx·遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點．
(1)求證：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱錐D－BCG的體積．
附：錐體的體積公式V＝Sh，其中S為底面面積，h為高．
(1)證明 由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.
又G為AD的中點，所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC.
18、
又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
(2)解 在平面ABC內，作AO⊥BC，交CB的延長線于O.
由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.
又G為AD中點，因此G到平面BDC的距離h是AO長度的一半．
在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝，
所以VD－BCG＝VG－BCD＝S△DBC·h
＝×BD·BC·sin 120°·＝.
押題精練
1.如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點．有以下四個命題：
①PA∥平面MOB；
②MO∥平面PAC；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC.
19、
其中正確的命題是________(填上所有正確命題的序號)．
答案?、冖?
解析?、馘e誤，PA?平面MOB；②正確；③錯誤，否則，有OC⊥AC，這與BC⊥AC矛盾；④正確，因為BC⊥平面PAC.
2．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．
(1)證明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；
(2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？并證明你的結論．
(1)證明 如圖，因為ABCD－A1B1C1D1為正方體，
所以B1C1⊥面ABB1A1.
因為A1B?面ABB1A1，
所以B1C1⊥A1B.
又因為A1B⊥AB1，B1C1∩AB1
20、＝B1，
所以A1B⊥面ADC1B1.
因為A1B?面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.
(2)解 當點F為C1D1中點時，可使B1F∥平面A1BE.
證明如下：
取C1D1中點F，連接EF，B1F
易知：EF∥C1D，且EF＝C1D.
設AB1∩A1B＝O，連接OE，則B1O∥C1D且B1O＝C1D，
所以EF∥B1O且EF＝B1O，
所以四邊形B1OEF為平行四邊形．
所以B1F∥OE.
又因為B1F?面A1BE，OE?面A1BE.
所以B1F∥面A1BE.
(推薦時間：60分鐘)
一、選擇題
1．(xx·廣東)若空間中四條兩兩不同的直線l1，
21、l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結論一定正確的是( )
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1與l4既不垂直也不平行
D．l1與l4的位置關系不確定
答案 D
解析 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時l1∥l4，可以排除選項A和C.若l4＝DC1，也滿足條件，可以排除選項B.故選D.
2．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是( )
A．α⊥β，且m?α B．m∥n，且n⊥
22、β
C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β
答案 B
解析 根據(jù)定理、性質、結論逐個判斷．因為α⊥β，m?α?m，β的位置關系不確定，可能平行、相交、m在β面內，故A錯誤；由線面垂直的性質定理可知B正確；若α⊥β，m∥α，則m，β的位置關系也不確定，故C錯誤；若m⊥n，n∥β，則m，β的位置關系也不確定，故D錯誤．
3．ABCD－A1B1C1D1為正方體，下列結論錯誤的是( )
A．BD∥平面CB1D1 B．A1C⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1
答案 D
解析 因為ABCD－A1B1C1D1為正方體，所以DD1∥BB1且DD1＝BB1，
23、所以四邊形DD1B1B為平行四邊形，所以BD∥B1D1，因為BD?面CB1D1，B1D1?面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正確；因為AA1⊥面ABCD，BD?面ABCD，所以AA1⊥BD，因為ABCD為正方形，所以AC⊥BD，因為AC∩AA1＝A，所以BD⊥面A1ACC1，因為A1C?面A1ACC1，所以BD⊥A1C，故B正確．同理可證得B1D1⊥面A1ACC1，因為AC1?面A1ACC1，所以B1D1⊥AC1，同理可證CB1⊥AC1，因為B1D1∩CB1＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，故C正確．排除法應選D.
4．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝4
24、5°，∠BAD＝90°，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A－BCD.則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析 ∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴CD⊥平面ABD，則CD⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，
又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故選D.
5．
25、直線m，n均不在平面α，β內，給出下列命題：
①若m∥n，n∥α，則m∥α；②若m∥β，α∥β，則m∥α；③若m⊥n，n⊥α，則m∥α；
④若m⊥β，α⊥β，則m∥α.其中正確命題的個數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 對①，根據(jù)線面平行的判定定理知，m∥α；對②，如果直線m與平面α相交，則必與β相交，而這與α∥β矛盾，故m∥α；對③，在平面α內取一點A，設過A、m的平面γ與平面α相交于直線b.因為n⊥α，所以n⊥b，又m⊥n，所以m∥b，則m∥α；對④，設α∩β＝l，在α內作m′⊥β，因為m⊥β，所以m∥m′，從而m∥α.故四個命題都正確．
6
26、.在正三棱錐S－ABC中，M，N分別是SC，BC的中點，且MN⊥AM，若側棱SA＝2，則正三棱錐S－ABC外接球的表面積是( )
A．12π B．32π
C．36π D．48π
答案 C
解析 由MN⊥AM且MN是△BSC的中位線得BS⊥AM，
又由正三棱錐的性質得BS⊥AC，∴BS⊥面ASC.
即正三棱錐S－ABC的三側棱SA、SB、SC兩兩垂直，外接球直徑為SA＝6.
∴球的表面積S＝4πR2＝4π×32＝36π.選C.
二、填空題
7．已知兩條不同的直線m，n和兩個不同的平面α，β，給出下列四個命題：
①若m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥n；②若m∥α，n⊥
27、β，且α⊥β，則m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n.其中正確的個數(shù)為_________________．
答案 2
解析?、僦衜，n可能異面或相交，故不正確；②因為m∥α，n⊥β，且α⊥β成立時，m，n兩直線的關系可能是相交、平行、異面，故不正確；③因為m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正確；④分別垂直于兩個垂直平面的兩條直線一定垂直，正確．故③④正確．
8．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是________(寫出所有符合要求的圖形序號
28、)．
答案?、佗?
解析 對于①，注意到該正方體的面中過直線AB的側面與平面MNP平行，因此直線AB平行于平面MNP；對于②，注意到直線AB和過點A的一個與平面MNP平行的平面相交，因此直線AB與平面MNP相交；對于③，注意到此時直線AB與平面MNP內的一條直線MP平行，且直線AB位于平面MNP外，因此直線AB與平面MNP平行；對于④，易知此時AB與平面MNP相交．綜上所述，能得出直線AB平行于平面MNP的圖形的序號是①③.
9.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在
29、線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF.
答案 a或2a
解析 由題意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．
令CF⊥DF，設AF＝x，則A1F＝3a－x.
易知Rt△CAF∽Rt△FA1D，
得＝，
即＝，
整理得x2－3ax＋2a2＝0，
解得x＝a或x＝2a.
10．如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC(不含端點)上一動點．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足．設AK＝t，則t的取值范圍是____
30、____．
答案
解析 破解此題可采用兩個極端位置法，
即對于F位于DC的中點時，t＝1，
隨著F點到C點時，
∵CB⊥AB，CB⊥DK，
∴CB⊥平面ADB，
即有CB⊥BD，
對于CD＝2，BC＝1，
∴BD＝，
又AD＝1，AB＝2，因此有AD⊥BD，
則有t＝，
因此t的取值范圍是.
三、解答題
11．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點D是AB的中點，
(1)求證：AC⊥BC1；
(2)求證：AC1∥平面CDB1.
證明 (1)直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB
31、＝5，
∴AB2＝AC2＋BC2，
∴AC⊥BC.CC1⊥平面ABC，
AC?平面ABC，
∴AC⊥CC1，又BC∩CC1＝C，
∴AC⊥平面BCC1B1，
BC1?平面BCC1B1，
∴AC⊥BC1.
(2)設CB1與C1B的交點為E，連接DE，
∵D是AB的中點，E是C1B的中點，
∴DE∥AC1，
∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
12．如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分別為A1B1，AA1的中點，點F在棱AB上，且AF＝AB.
(1)求證：EF∥平面BC1D；
(2)在棱AC上是否存在
32、一個點G，使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1∶15，若存在，指出點G的位置；若不存在，請說明理由．
(1)證明 取AB的中點M，連接A1M.
因為AF＝AB，所以F為AM的中點．
又E為AA1的中點，所以EF∥A1M.
在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，M分別是A1B1，AB的中點，
所以A1D∥BM，A1D＝BM，
所以四邊形A1DBM為平行四邊形，所以A1M∥BD.
所以EF∥BD.
因為BD?平面BC1D，EF?平面BC1D，
所以EF∥平面BC1D.
(2)解 設AC上存在一點G，使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為1∶15，如圖所示．
33、則VE－AFG∶VABC－A1B1C1＝1∶16，
所以
＝＝×××＝×，
由題意，×＝，解得＝＝.
所以AG＝AC>AC，所以符合要求的點G不存在．
13．(xx·廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC.其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MF⊥CF.
(1)證明：CF⊥平面MDF；
(2)求三棱錐M－CDE的體積．
(1)證明 如圖，
因為PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以PD⊥AD.
又因為ABCD是矩形，CD⊥AD，
PD與CD交于點D，PD∩CD＝D，
所以AD⊥平面PCD.
又CF?平面PCD，
所以AD⊥CF，即MD⊥CF.
又MF⊥CF，MD∩MF＝M，
所以CF⊥平面MDF.
(2)解 因為PD⊥DC，PC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，
所以PD＝，由(1)知FD⊥CF，
在直角三角形DCF中，CF＝CD＝.
過點F作FG⊥CD，垂足為G，得FG＝FCsin 60°＝×＝，
所以DE＝FG＝，故ME＝PE＝－＝，
所以MD＝＝ ＝.
S△CDE＝DE·DC＝××1＝.
故VM－CDE＝MD·S△CDE＝××＝.
高考數(shù)學二輪復習 專題訓練五 第2講 空間中的平行與垂直 理
