（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù)教學(xué)案

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1、專題五 函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù) [江蘇卷5年考情分析] 小題考情分析 大題考情分析 常考點(diǎn) 1.函數(shù)的基本性質(zhì)(5年5考) 2.函數(shù)的零點(diǎn)問題(5年4考) 3.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(5年2考) 4.基本不等式(5年4考) 　　本部分內(nèi)容在高考解答題中為必考內(nèi)容，考查類型有四類：第一類考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)(2015年T19)，第二類考查函數(shù)與不等式零點(diǎn)問題(2016年T19)，第三類考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的極值、零點(diǎn)問題(2017年T20，2019年T19)，第四類考查函數(shù)的定義、零點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與函數(shù)的性質(zhì)(2018年T19)；題目總體難度較大，多體現(xiàn)分類討論思想和

2、考查推理論證的能力. 偶考點(diǎn) 1.一元二次不等式恒成立問題 2.線性規(guī)劃問題 第一講 | 小題考法——函數(shù) 考點(diǎn)(一) 函數(shù)的基本性質(zhì) 主要考查函數(shù)的三要素以及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的應(yīng)用，常結(jié)合　分段函數(shù)命題. [題組練透] 1．(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________． 解析：由函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)， 可知函數(shù)f(x)的周期是4， 所以f(15)＝f(－1)＝＝， 所以f(f(15))＝f＝cos＝. 答案： 2．(20

3、17·江蘇高考)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由f(x)＝x3－2x＋ex－， 得f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)， 所以f(x)是R上的奇函數(shù)． 又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)， 所以f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增． 因?yàn)閒(a－1)＋f(2a2)≤0， 所以f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)， 所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案： 3．(2019·

4、南通等七市一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝f(x)．當(dāng)0

5、_____． 解析：因?yàn)閍<0， 所以f(x)＝易知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在R上單調(diào)遞增． 若f(1)＋f(2)＋f(3)＋ … ＋f(672)＝0，則－＝，a＝－673，則當(dāng)x≥－2a時(shí)，f(x)≥9a2＝9×6732>2 019，當(dāng)x≤－時(shí)，f(x)≤0，所以3×673(2x－673)＝2 019，所以x＝337. 答案：337 [方法技巧] 函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用技巧 奇偶性 具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時(shí)可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上．尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)＝f(x) 單調(diào)性 可以比較

6、大小，求函數(shù)最值，解不等式，證明方程根的唯一性 周期性 利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解 對(duì)稱性 利用其軸對(duì)稱或中心對(duì)稱可將研究的問題，轉(zhuǎn)化到另一對(duì)稱區(qū)間上研究 考點(diǎn)(二) 基本初等函數(shù) 　　主要考查基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及由基本初等函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的 　性質(zhì)問題. [題組練透] 1．(2018·南通檢測(cè))已知冪函數(shù)f(x)＝xα，其中α∈.則使f(x)為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)的α的所有取值的集合為________． 解析：冪函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則α＝－1，1，3，f(x)在區(qū)

7、間(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，則α的所有值為1，3. 答案：{1，3} 2．已知函數(shù)y＝與函數(shù)y＝的圖象共有k(k∈N*)個(gè)公共點(diǎn)：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，則(xi＋yi)＝________． 解析：如圖，函數(shù)y＝與函數(shù)y＝的圖象都關(guān)于點(diǎn)(0，1)成中心對(duì)稱，所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(0，1)成中心對(duì)稱，且只有兩個(gè)交點(diǎn)， 所以xi=0,yi=2,則(xi＋yi)＝2. 答案：2 3．(2018·鎮(zhèn)江期末)不等式logax－ln2x＜4(a＞0且a≠1)對(duì)任意x∈(1，100)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________．

8、解析：不等式logax－ln2x＜4可化為－ln2x＜4， 即＜＋ln x對(duì)任意x∈(1，100)恒成立． 因?yàn)閤∈(1，100)，所以ln x∈(0，2ln 10)， 所以＋ln x≥4，故＜4， 解得ln a＜0或ln a＞，即0＜a＜1或a＞e. 答案：(0，1)∪ 4．(2019·南京鹽城二模)已知函數(shù)f(x)＝設(shè)g(x)＝kx＋1，且函數(shù)y＝f(x)－g(x)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________． 解析：由題意知，要使y＝f(x)－g(x)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，只需y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象在(－∞，0)和(0，＋∞)都相交且交點(diǎn)個(gè)數(shù)大于1

9、.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x3－12x＋3，f′(x)＝3x2－12.易知f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)<0.又g(x)＝kx＋1的圖象恒過(0，1)，所以易得過(0，1)且與f(x)＝x3－12x＋3(x>0)的圖象相切的切線的斜率為－9，所以k>－9. 當(dāng)x≤0時(shí)，作出f(x)＝|x＋3|的圖象(圖略)，數(shù)形結(jié)合易知k<.綜上可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍為. 答案： [方法技巧] 基本初等函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用技巧 (1)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)a的值不確定時(shí)，要注意分a>1和0

10、數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，其性質(zhì)的研究往往通過換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本初等函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷． (3)對(duì)于冪函數(shù)y＝xα的性質(zhì)要注意α>0和α<0兩種情況的不同. 考點(diǎn)(三) 函數(shù)的零點(diǎn)問題 主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題以及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍. [典例感悟] [典例]　(1)(2018·蘇錫常鎮(zhèn)一模)若函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝|f(x)|－的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． (2)(2018·鎮(zhèn)江期末)已知k為常數(shù)，函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有四個(gè)不同解，則實(shí)數(shù)k的取值構(gòu)成的集合為_______

11、_． [解析]　(1)當(dāng)x≥1時(shí)，y＝－， 則＝，即ln x＝x2， 令g(x)＝ln x－x2，x≥1， 則函數(shù)g(x)是連續(xù)函數(shù)且先增后減， g(1)＝－＜0，g(2)＝ln 2－＞0， g(4)＝ln 4－2＜0，由函數(shù)的零點(diǎn)判定定理可知g(x)＝ln x－x2有2個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)x＜1時(shí)，y＝ 函數(shù)的圖象與y＝的圖象如圖，則兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，綜上，函數(shù)y＝|f(x)|－有4個(gè)零點(diǎn)． (2)作函數(shù)y＝f(x)和y＝kx＋2的圖象，如圖所示，兩圖象除了(0，2)還應(yīng)有3個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)k≥0時(shí)，直線應(yīng)與曲線y＝f(x)(x>1)相切， 設(shè)切點(diǎn)為(x0，ln x

12、0)，則切線斜率為k＝，又k＝，則＝，解得x0＝e3，此時(shí)k＝； 當(dāng)k<0時(shí)，當(dāng)y＝kx＋2與曲線y＝相切于點(diǎn)(0，2)時(shí)，k＝－1，函數(shù)y＝f(x)和y＝kx＋2的圖象只有3個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意， 當(dāng)－1

13、數(shù)k的取值范圍是∪(－e，－1)． [答案]　(1)4　(2)∪(－e，－1) [方法技巧] 利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或范圍的方法 [演練沖關(guān)] 1．(2019·蘇州期末)設(shè)函數(shù)f(x)＝若方程f(x)－kx＝3有三個(gè)相異的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 解析：法一：方程f(x)－kx＝3，即f(x)＝kx＋3有三個(gè)相異的實(shí)根，即曲線y＝f(x)和直線y＝kx＋3有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出大致圖象如圖所示．又直線y＝kx＋3和y＝－2x(x<0)必有一個(gè)交點(diǎn)，所以k>－2，則直線y＝kx＋3與曲線y＝－x2＋2x(x≥0)有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程，得整理得x2＋

14、(k－2)x＋3＝0(x≥0)，由得k<2－2，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－2，2－2)． 法二：當(dāng)x<0且k≠－2時(shí)，方程f(x)－kx＝3可轉(zhuǎn)化為－2x－kx＝3，解為x＝－，當(dāng)x≥0時(shí)，方程f(x)－kx＝3可轉(zhuǎn)化為－x2＋2x－kx＝3，即x2＋(k－2)x＋3＝0(x≥0)，若Δ＝(k－2)2－12>0， 則x＝， 因?yàn)榉匠蘤(x)－kx＝3有三個(gè)相異的實(shí)根，所以解得－2

15、數(shù)．當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，f(x)＝，g(x)＝其中k>0.若在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方程f(x)＝g(x)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是________． 解析：當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，y＝f(x)＝?(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，結(jié)合f(x)是周期為4的奇函數(shù)，可作出f(x)在(0，9]上的圖象如圖所示． ∵ 當(dāng)x∈(1，2]時(shí)，g(x)＝－，又g(x)的周期為2， ∴ 當(dāng)x∈(3，4]∪(5，6]∪(7，8]時(shí)，g(x)＝－. 由圖可知，當(dāng)x∈(1，2]∪(3，4]∪(5，6]∪(7，8]時(shí)， f(x)與g(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)， ∴ 當(dāng)x∈(0，1]∪(2，3]

16、∪(4，5]∪(6，7]∪(8，9]時(shí)， f(x)與g(x)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)．又當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，y＝g(x)＝k(x＋2)(k>0)恒過定點(diǎn)A(－2，0)，由圖可知，當(dāng)x∈(2，3]∪(6，7]時(shí)，f(x)與g(x)的圖象無交點(diǎn)， ∴ 當(dāng)x∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]時(shí)，f(x)與g(x)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)．由f(x)與g(x)的周期性可知，當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，f(x)與g(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)． 當(dāng)y＝k(x＋2)與圓弧(x－1)2＋y2＝1(0＜x≤1)相切時(shí)， d＝＝1?k2＝(k>0)?k＝. 當(dāng)y＝k(x＋2)過點(diǎn)A(－2，0)與B(1，1)時(shí)，k＝. ∴ ≤k

17、＜. 答案： 3．(2019·揚(yáng)州期末)已知函數(shù)f(x)＝a＋3＋－|x＋a|有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，并且這三個(gè)零點(diǎn)構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值為________． 解析：令f(x)＝a＋3＋－|x＋a|＝0，得|x＋a|－－a＝3，設(shè)g(x)＝|x＋a|－－a，則函數(shù)g(x)＝不妨設(shè)f(x)＝0的三個(gè)根分別為x1，x2，x3，且x1

18、得6＋－2a＝3，解得a＝，滿足題意．②－1<－a≤4，即－4≤a<1，則f(x)＝0在(－∞，－a)上有兩個(gè)不同的解x1，x2，x3＝4，所以x1，x2是－x－－2a＝3在(－∞，－a)上的兩個(gè)解，即x1，x2是x2＋(2a＋3)x＋4＝0在(－∞，－a)上的兩個(gè)解，則Δ＝4a2＋12a－7>0，x1，2＝，所以x1＋x2＝－(2a＋3)，x1x2＝4，由x1，x2，x3成等差數(shù)列，且x14，即a<－4時(shí)，f(x)＝0最多有兩個(gè)解，不滿足題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為或－1－. 答案：或－1－

19、 (一) 主干知識(shí)要牢記 1．函數(shù)的定義域 (1)函數(shù)的定義域是研究函數(shù)問題的先決條件，它會(huì)直接影響函數(shù)的性質(zhì)，所以要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí)． (2)對(duì)于復(fù)合函數(shù)的定義域要注意： ①如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，則f(g(x))的定義域是使函數(shù)g(x)∈A的x的取值范圍． ②如果f(g(x))的定義域?yàn)锳，則函數(shù)f(x)的定義域是函數(shù)g(x)的值域． ③f(g(x))與f(h(x))聯(lián)系的紐帶是g(x)與h(x)的值域相同． 2．函數(shù)的值域 求函數(shù)值域的常用方法有觀察法、不等式

20、法、圖象法、換元法、單調(diào)性法等． 3．函數(shù)的圖象 函數(shù)的圖象包括作圖、識(shí)圖、用圖，其中作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換． 4．函數(shù)的單調(diào)性 單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì)，一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性．判斷函數(shù)單調(diào)性常用定義法、圖象法及導(dǎo)數(shù)法． 5．函數(shù)的奇偶性 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域上具有相同的單調(diào)性．判斷函數(shù)奇偶性的常用方法有定義法、圖象法及性質(zhì)法． 6．函數(shù)的

21、周期性 周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．若函數(shù)滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其一個(gè)周期T＝|a|，最小正數(shù)T叫做f(x)的最小正周期． (二) 二級(jí)結(jié)論要用好 1．函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論 (1)當(dāng)f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)＋g(x)為增(減)函數(shù)． (2)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù)． (3)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)的圖象必過原點(diǎn)，即有f(0)＝0.存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)：f(x)＝0. 2．抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的結(jié)論 (1)函數(shù)的周期性 ①

22、若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a. ②若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a. ③若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a. (2)函數(shù)圖象的對(duì)稱性 ①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，或f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱． ②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，或f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱． ③若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱．

23、 3．函數(shù)圖象平移變換的相關(guān)結(jié)論 (1)把y＝f(x)的圖象沿x軸左右平移|c|個(gè)單位(c＞0時(shí)向左移，c＜0時(shí)向右移)得到函數(shù)y＝f(x＋c)的圖象(c為常數(shù))． (2)把y＝f(x)的圖象沿y軸上下平移|b|個(gè)單位(b＞0時(shí)向上移，b＜0時(shí)向下移)得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象(b為常數(shù))． A組——抓牢中檔小題 1．(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)開_______． 解析：由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，所以函數(shù)f

24、(x)＝的定義域?yàn)閧x|x≥2}． 答案：{x|x≥2} 2．(2019·江蘇高考)函數(shù)y＝的定義域是________． 解析：要使函數(shù)有意義，需7＋6x－x2≥0， 即x2－6x－7≤0，即(x＋1)(x－7)≤0，解得－1≤x≤7. 故所求函數(shù)的定義域?yàn)閇－1，7]． 答案：[－1，7] 3．函數(shù)f(x)＝ln的值域是________． 解析：因?yàn)閨x|≥0，所以|x|＋1≥1. 所以0＜≤1.所以ln≤0， 即f(x)＝ln的值域?yàn)?－∞，0]． 答案：(－∞，0] 4．(2019·南京鹽城一模)已知y＝f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ex＋

25、1，則f(－ln 2)的值為________． 解析：法一：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)， f－(ln 2)＝－f(ln 2)＝－(eln 2＋1)＝－3. 法二：當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，所以當(dāng)x<0時(shí)， f(x)＝－f(－x)＝－(e－x＋1)，因?yàn)椋璴n 2<0， 所以f(－ln 2)＝－(eln 2＋1)＝－3. 答案：－3 5．已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)＝.若g(2)＝3，則g(－2)＝________． 解析：由題意可得g(2)＝＝3，解得f(2)＝1. 又f(x)是奇函數(shù)，則f(－2)＝－1， 所以g(－2)＝＝＝－1. 答案：－1 6．(2019·蘇北三市一模)

26、已知a，b∈R，函數(shù)f(x)＝(x－2)·(ax＋b)為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(2－x)>0的解集為________． 解析：因?yàn)閒(x)＝(x－2)(ax＋b)＝ax2＋(b－2a)x－2b為偶函數(shù)，所以b＝2a，f(x)＝ax2－4a＝a(x－2)(x＋2)，又f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以a<0，由二次函數(shù)的圖象可知f(x)>0的解集為(－2，2)．f(2－x)＝f(x－2)，而f(x－2)的圖象可看成是由f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以f(2－x)>0的解集為(0，4)． 答案：(0，4) 7．(2018·福建模擬)已知函數(shù)f(

27、x)＝有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)x<1時(shí)，令ln(1－x)＝0，解得x＝0，故f(x)在(－∞，1)上有1個(gè)零點(diǎn)， ∴f(x)在[1，＋∞)上有1個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)x≥1時(shí)，令－a＝0，得a＝≥1. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 8．(2018·蘇州模擬)設(shè)a＝log2，b＝log，c＝，則a，b，c按從小到大的順序排列為_________． 解析：因?yàn)閘og2log22＝1，0<<＝1，即a<0，b>1，0

28、已知函數(shù)f(x)＝若f(a－1)＝，則實(shí)數(shù)a＝________． 解析：當(dāng)a－1≤0，即a≤1時(shí)，f(a－1)＝log2(4－a)＝，a＝4－>1，舍去；當(dāng)a－1>0，即a>1時(shí)，2a－1－1＝，a＝1＋log2＝log23>1，所以實(shí)數(shù)a＝log23. 答案：log23 10．(2018·南京三模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù)．當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f(x)＝，則f的值為________． 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù)，所以f＝f＝f，因?yàn)楫?dāng)x∈[2，4]時(shí)，f(x)＝，所以f＝f＝＝log42＝. 答案： 11．(2019·蘇州期末)設(shè)函

29、數(shù)f(x)＝，若對(duì)任意x1∈(－∞，0)，總存在x2∈[2，＋∞)，使得f(x2)≤f(x1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析：對(duì)任意x1∈(－∞，0)，總存在x2∈[2，＋∞)，使得f(x2)≤f(x1)，即f(x)min(x∈[2，＋∞))≤f(x)min(x∈(－∞，0))． a＝0，f(x)＝，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)， 函數(shù)f(x)＝－∈(0，＋∞)， 當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，f(x)＝∈(0，1]，符合題意． a<0，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝≥0，此時(shí)最小值為0.當(dāng)x≥2時(shí)， f(x)＝－ax2>0，不滿足題意． a>0，當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝，易得≥2，即0<

30、a≤時(shí)，f(x)的最小值為0，a>時(shí)，f(x)的最小值為f(2)＝4a－1，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－＋ax2，f′(x)＝＋2ax＝，易得x＝時(shí)f(x)取極小值，且取最小值，可得f(x)的最小值為f＝3，由題意可得0時(shí)，3≥4a－1，結(jié)合圖象(圖略)，得

31、≥ex＋4對(duì)x<1恒成立．因?yàn)閑x＋4在(－∞，1)上的值域?yàn)?4，e＋4)，所以a≥e＋4. 法二：當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝a－ex>a－e；當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝x＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝2時(shí)，取“＝”，又函數(shù)f(x)的值域是[4，＋∞)，所以a－e≥4，即a≥e＋4. 答案： [e＋4，＋∞) 13．(2019·南京鹽城二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－5x，則不等式f(x－1)>f(x)的解集為________． 解析：當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，所以f(－x)＝x2＋5x，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－5x，所以f

32、(x)＝ 法一：當(dāng)x－1≥0時(shí)，x≥1，由f(x－1)>f(x)得，(x－1)2－5(x－1)>x2－5x，解得x<3，所以1≤x<3. 當(dāng)x－1<0時(shí)，x<1， ①0≤x<1時(shí)，由f(x－1)>f(x)得，－(x－1)2－5(x－1)>x2－5x， 解得－1f(x)得，－(x－1)2－5(x－1)>－x2－5x，解得x>－2， 所以－2f(x)的解集為{x|－2f(x)的解集可以理解為將f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后所得

33、函數(shù)f(x－1)的圖象在函數(shù)f(x)的圖象上方部分的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)取值的集合，由f(x)的解析式易得函數(shù)f(x－1)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－2，6)和(3，－6)，所以不等式的解集為{x|－20，且a≠2，則g(

34、x)在[a，＋∞)上無零點(diǎn)， 在(－∞，a)上存在零點(diǎn)x＝0和x＝－， ∴ ≥a，解得0

35、os ，則g＋g＋…＋g＝________． 解析：由題意得，f(－x)＝－f(x)＝－[f(x＋2)－1]?f(－x)＋f(x＋2)＝1， 故g(x)＋g(2－x)＝f(x)＋cos ＋f(2－x)＋cos＝1， 又f(6＋x)＝f(4＋x)＋1＝f(2＋x)＋2＝f(x)＋3＝－f(－x)＋3， 所以f(－x)＋f(6＋x)＝3，所以g(x)＋g(6－x)＝f(x)＋cos ＋f(6－x)＋cos＝3. 令S1＝g＋g＋…＋g， 則S1＝g＋g＋…＋g， 兩式相加得，2S1＝437×1，所以S1＝. 令S2＝g＋g＋…＋g， 則S2＝g＋g＋…＋g， 兩式相加得，2S2

36、＝437×3，所以S2＝. 又f(2)＝f(0)＋1＝1，g(2)＝f(2)＋cos π＝f(2)－1＝0， 故原式＝S1＋g(2)＋S2＝＋0＋＝874. 答案：874 2．(2019·南通等七市二模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，且在[2，4)上，f(x)＝則函數(shù)y＝f(x)－log5|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 解析：由f(x＋4)＝f(x)得奇函數(shù)f(x)的最小正周期為4，作出函數(shù)f(x)與y＝log5|x|的部分圖象如圖所示，根據(jù)圖象易知，函數(shù)y＝f(x)與y＝log5|x|的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)y＝f(x)－log5|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5.

37、 答案：5 3．(2018·無錫期末)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝－x2－2x－2.若存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________． 解析：由題意，存在a∈R，使得f(a)＝－g(b)， 令h(b)＝－g(b)＝b2＋2b＋2. 當(dāng)a≤－時(shí)，f(a)＝＝－＋＋1＝－＋2，因?yàn)閍≤－，所以－2≤<0，從而－7≤f(a)<1；當(dāng)a>－時(shí)，f(a)＝log，因?yàn)閍>－，所以>，從而f(a)<2. 綜上，函數(shù)f(a)的值域是(－∞，2)． 令h(b)<2，即b2＋2b＋2<2，解得－2

38、0) 4．(2018·蘇北四市三調(diào))已知函數(shù)f(x)＝的圖象恰好經(jīng)過三個(gè)象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)a＜0時(shí)，x≤0，y＝ax－1的圖象經(jīng)過第二、三象限；x>0，y＝x3－ax＋|x－2|>0在(0，＋∞)恒成立，所以圖象僅在第一象限，所以a＜0時(shí)顯然滿足題意；當(dāng)a≥0時(shí)，x≤0，y＝ax－1的圖象僅經(jīng)過第三象限，由題意知，x>0，y＝x3－ax＋|x－2|的圖象需經(jīng)過第一、四象限． y＝x3＋|x－2|與y＝ax在y軸右側(cè)的圖象有公共點(diǎn)(且不相切)，如圖， y＝x3＋|x－2|＝ 結(jié)合圖象設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x－x0＋2)，y′＝3x2－1，則有3x－

39、1＝， 解得x0＝1，所以臨界直線l0的斜率為2，所以a＞2時(shí)，符合．綜上，a＜0或a＞2. 答案：(－∞，0)∪(2，＋∞) 5．(2018·蘇州測(cè)試)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x，若對(duì)任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f2(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)x≥0時(shí)，定義在R上的偶函數(shù)f(x)＝2x，易得f(x)＝2|x|，x∈R.由f(x＋a)≥f2(x)得，2|x＋a|≥(2|x|)2，即|x＋a|≥|2x|對(duì)于x∈[a，a＋2]恒成立，即(3x＋a)(x－a)≤0對(duì)于x∈[a，a＋2]恒成立， 即解得a≤

40、－. 答案： 6．(2018·南京、鹽城、連云港二模)已知函數(shù)f(x)＝(t∈R)．若函數(shù)g(x)＝f(f (x)－1)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則t的取值范圍為________． 解析：當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)＝－3x2＋6x＝3x(2－x)，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，此時(shí)f(0)＝t. 當(dāng)t≥0時(shí)，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖①所示． 令f(x)＝0，得x＝0， 從而當(dāng)g(x)＝f(f(x)－1)＝0時(shí)，f(x)＝1， 由圖象①可知，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意； 當(dāng)t<0時(shí)，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖②所示． 令f(x)＝0，得x＝0，或x＝m(m<0)，且－

41、m3＋3m2＋t＝0， 從而當(dāng)g(x)＝f(f(x)－1)＝0時(shí)， f(x)－1＝0或f(x)－1＝m，即f(x)＝1或f(x)＝1＋m， 借助圖象②知，欲使得函數(shù)g(x)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)， 則m＋1≥0，從而－1≤m<0. 又因?yàn)閠(m)＝m3－3m2，而t′(m)＝3m2－6m>0， 故t(m)在區(qū)間[－1，0)上單調(diào)遞增，從而t∈[－4，0)． 答案： [－4，0) 第二講 | 小題考法——不等式 考點(diǎn)(一) 不等式的恒成立問題及存在性問題 　　主要考查恒成立問題或存在性問題以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. [題組練透] 1．設(shè)實(shí)數(shù)a≥1，使得不等式x|

42、x－a|＋≥a對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1，2]恒成立，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的范圍是________． 解析：(1)當(dāng)1≤a≤時(shí)，顯然符合題意； (2)當(dāng)a≥2時(shí)，原不等式可化為x(a－x)≥a－，取x＝1，成立；當(dāng)x∈(1，2]時(shí)，a≥＝x＋1－.而函數(shù)f(x)＝x＋1－在(1，2]上單調(diào)遞增，故a≥f(2)＝； (3)當(dāng)

43、＝0，若x＋y≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________． 解析：x＋4y－xy＝0，即x＋4y＝xy，等式兩邊同時(shí)除以xy，得＋＝1，由基本不等式可得x＋y＝(x＋y).＝＋＋5≥2＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y＝6時(shí)，等號(hào)成立，所以x＋y的最小值為9，因此m≤9. 答案：(－∞，9] 3．已知不等式(m－n)2＋(m－ln n＋λ)2≥2對(duì)任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________． 解析：條件“不等式(m－n)2＋(m－ln n＋λ)2≥2對(duì)任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立”可看作“點(diǎn)(m，m＋λ)，(n，ln n)兩點(diǎn)的距離的平方恒大于2

44、”，即“直線y＝x＋λ與曲線f(x)＝ln x上點(diǎn)之間的距離恒大于等于”．如圖，當(dāng)與直線y＝x＋λ平行的直線與曲線f(x)＝ln x相切時(shí)，兩平行線間的距離最短，f′(x)＝＝1，故切點(diǎn)A(1，0)，此切點(diǎn)到直線y＝x＋λ的距離為≥ ，解得λ≥1或λ≤－3(舍去，此時(shí)直線與曲線相交)．故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 4．(2019·南京鹽城一模)若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，則c的最大值為________． 解析：由ab＝a＋2b≥2，得ab≥8，則由abc＝a＋2b＋c，得c＝＝＝1＋≤1＋＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，b＝2時(shí)等號(hào)成立，所以

45、c的最大值為. 答案： 5．(2019·江蘇連云港期中)已知a為正實(shí)數(shù)，f(x)＝若?x1，x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：因?yàn)閍>0，所以拋物線y＝x2＋ax＋3的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，所以函數(shù)y＝x2＋ax＋3在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng)x＝0時(shí)有最小值為3.又函數(shù)y＝2x＋a在(－∞，0)上為增函數(shù)，若?x1，x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)，只需20＋a>3，解得a>2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) [方法技巧] 不等式恒成立問題或存在性問題的求解策略 (1)有關(guān)不等式恒成立問題，通常利用分離

46、變量法將其轉(zhuǎn)化，即將所求參數(shù)與變量x之間的函數(shù)關(guān)系用不等式連接起來，再求函數(shù)的最值，從而確定參數(shù)范圍．用分離變量法進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的好處是可以減少分類討論．若不等式中含有絕對(duì)值，須通過分類討論，轉(zhuǎn)化為一般的一元二次不等式，再求解． (2)存在性問題也需要轉(zhuǎn)化為最值問題，優(yōu)先考慮分離變量的做題思路． (3)二元問題的恒成立也可以構(gòu)造幾何意義，利用幾何法求解． 考點(diǎn)(二) 基本不等式 主要考查利用基本不等式求最值，常與函數(shù)等知識(shí)交匯命題. [題組練透] 1．(2019·常州期末)已知正數(shù)x，y滿足x＋＝1，則＋的最小值為________． 解析：法一：由正數(shù)x，y滿足x＋＝1，得

47、＝1－x，＝>0，則00，則00(a，b，c∈R)的解集為{x|3

48、知實(shí)數(shù)x，y滿足x>y>0，且x＋y≤2，則＋的最小值為________． 解析：法一：因?yàn)?≥2x＋2y，所以 4≥[(x＋3y)＋(x－y)]＝3＋＋≥3＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－1，y＝3－2時(shí)取等號(hào)， 故＋的最小值為. 法二：因?yàn)閤>y>0，x＋y≤2，所以0

49、n＝時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為. 答案： [方法技巧] 利用基本不等式求最值的方法 (1)知和求積的最值：“和為定值，積有最大值”．但應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：①具備條件——正數(shù)；②驗(yàn)證等號(hào)成立． (2)知積求和的最值：“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件． (3)構(gòu)造不等式求最值：在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值問題時(shí)，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解． (4)“a＋b，a2＋b2，ab，＋”之間的互化也是基本等式常見處理方法． 考點(diǎn)(三) 線性規(guī)劃問題 主要考查在約束條件下目標(biāo)函數(shù)最值的求法，以及

50、已知最優(yōu)解或可行域的情況求參數(shù)的值或范圍. [題組練透] 1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________． 解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示．由圖可知當(dāng)直線x＋y＝z過點(diǎn)A時(shí)z取得最大值． 由得點(diǎn)A(5，4)，∴zmax＝5＋4＝9. 答案：9 2．(2018·蘇州模擬)設(shè)變量x，y滿足則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最小值為________． 解析：作出不等式組 對(duì)應(yīng)的可行域，如圖中陰影部分所示．當(dāng)直線y＝－2x＋z過點(diǎn)C時(shí)，在y軸上的截距最小，此時(shí)z最小， 由得所以C， zmin＝2×＋＝. 答案： 3

51、．(2018·福州四校聯(lián)考)設(shè)x，y滿足約束條件其中a>0，若的最大值為2，則a的值為________． 解析：設(shè)z＝，則y＝x，當(dāng)z＝2時(shí)，y＝－x，作出x，y滿足的約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－x，易知此直線與區(qū)域的邊界線2x－2y－1＝0的交點(diǎn)為，當(dāng)直線x＝a過點(diǎn)時(shí)a＝，又此時(shí)直線y＝x的斜率＝－1＋的最小值為－，即z的最大值為2，符合題意，所以a的值為. 答案： 4．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋2b≤8c，＋≤，則的取值范圍為________． 解析：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋2b≤8c，＋≤， 所以令＝x，＝y(tǒng)， 得則 作出不等式組表示的

52、平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 令z＝＝3x＋8y，則y＝－x＋，由圖知當(dāng)直線y＝－x＋過點(diǎn)A時(shí)，截距最大，即z最大，當(dāng)直線y＝－x＋與曲線y＝相切時(shí)，截距最小，即z最?。夥匠探M得A(2，3)， ∴zmax＝3×2＋8×3＝30， 設(shè)直線y＝－x＋與曲線y＝的切點(diǎn)為(x0，y0)， 則′，即＝－， 解得x0＝3.∴切點(diǎn)坐標(biāo)為，∴zmin＝3×3＋8×＝27，∴27≤≤30. 答案：[27，30] [方法技巧] 解決線性規(guī)劃問題的3步驟 (一) 主干知識(shí)要記

53、牢 1．不等式的性質(zhì) (1)a＞b，b＞c?a＞c； (2)a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc； (3)a＞b?a＋c＞b＋c； (4)a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d； (5)a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd； (6)a＞b＞0，n∈N，n＞1?an＞bn，＞. 2．簡(jiǎn)單分式不等式的解法 (1)＞0?f(x)g(x)＞0，＜0?f(x)g(x)＜0. (2)≥0?≤0? (3)對(duì)于形如＞a(≥a)的分式不等式要采?。骸耙祈?xiàng)—通分—化乘積”的方法轉(zhuǎn)化為(1)或(2)的形式求解． (二) 二級(jí)結(jié)論要用好 1．一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2

54、＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是 2．基本不等式的重要結(jié)論 (1)≥(a＞0，b＞0)． (2)ab≤(a，b∈R)． (3) ≥≥(a＞0，b＞0)． 3．線性規(guī)劃中的兩個(gè)重要結(jié)論 (1)點(diǎn)M(x0，y0)在直線l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)?Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)． (2)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)在直線l：Ax＋By＋C＝0同側(cè)(或異側(cè))?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)．

55、 A組——抓牢中檔小題 1．當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝的最大值為________． 解析：因?yàn)閤＞0，所以f(x)＝＝≤＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)取等號(hào)． 答案：1 2．(2019·蘇北三市一模)已知a>0，b>0，且a＋3b＝－，則b的最大值為________． 解析：a＋3b＝－可化為－3b＝a＋≥2，即3b2＋2b－1≤0，解得0

56、b＝，即a＝且b＝時(shí)等號(hào)成立． 答案：2 4．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，原不等式為－4<0， 所以a＝2時(shí)不等式恒成立， 當(dāng)a－2≠0，即a≠2時(shí)，由題意得 即 解得－2

57、4 m3，高為1 m，得另一邊長(zhǎng)為 m. 記容器的總造價(jià)為y元， 則y＝4×20＋2×1×10 ＝80＋20≥80＋20×2 ＝160， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝2時(shí)等號(hào)成立． 因此，當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最小值160， 即容器的最低總造價(jià)為160元． 答案：160元 6．已知a>0, b>0，且＋＝，則ab的最小值是________． 解析：因?yàn)椋剑? ，所以ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)． 答案：2 7．已知關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為________． 解析：因?yàn)閤∈(a，＋∞)，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝4

58、＋2a，當(dāng)且僅當(dāng)x－a＝1時(shí)等號(hào)成立． 由題意可知4＋2a≥7，解得a≥，即實(shí)數(shù)a的最小值為. 答案： 8．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足＋＝1，且不等式x＋x＋≥≥4，故m2－3m>4，化簡(jiǎn)得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞) 9．已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：因?yàn)閒(x)＝

59、x2＋mx－1是開口向上的二次函數(shù)，所以函數(shù)的最大值只能在區(qū)間端點(diǎn)處取到，所以對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，只需 即 解得所以－

60、 β－sin αsin β＝， 即cos αcos β＝sin α， 由α，β均為銳角得cos α≠0，tan β>0， 所以tan α＝＝＝＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)2tan β＝，即tan β＝時(shí)，等號(hào)成立． 答案： 12．(2019·湖北宜昌模擬)已知x，y滿足不等式組若不等式ax＋y≤7恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：x，y滿足不等式組的平面區(qū)域如圖所示，由于對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，不等式ax＋y≤7恒成立，設(shè)z＝ax＋y，根據(jù)圖形，當(dāng)a≥0時(shí)，z＝ax＋y的最優(yōu)解為A(2，1)，可得2a＋1≤7，解得0≤a≤3；當(dāng)a<0時(shí)，z＝ax＋y的最優(yōu)解為B(－2，－

61、1)，則－2a－1≤7，解得－4≤a＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4，3]． 答案：[－4，3] 13．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足－y2＝1，則3x2－2xy的最小值是________． 解析：法一：因?yàn)椋瓂2＝1， 所以3x2－2xy＝＝， 令k＝∈， 則3x2－2xy＝＝， 再令t＝3－2k∈(2，4)，則k＝， 故3x2－2xy＝＝≥＝6＋4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)等號(hào)成立． 法二：因?yàn)椋瓂2＝1＝，所以令＋y＝t，則－y＝，從而則3x2－2xy＝6＋2t2＋≥6＋4，當(dāng)且僅當(dāng)t2＝時(shí)等號(hào)成立． 答案：6＋4 14．已知函數(shù)f(x)＝設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒

62、成立，則a的取值范圍是________． 解析：根據(jù)題意，作出f(x)的大致圖象，如圖所示． 當(dāng)x≤1時(shí)，若要f(x)≥恒成立，結(jié)合圖象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故對(duì)于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝－4(3＋a)≤0，解得a≥－；當(dāng)x>1時(shí)，若要f(x)≥恒成立，結(jié)合圖象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2時(shí)等號(hào)成立，所以a≤2.綜上，a的取值范圍是. 答案： B組——力爭(zhēng)難度小題 1．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x，若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，－1≤f(x)≤1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析：當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0，不等式成

63、立； 當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，不等式－1≤f(x)≤1，即 其中∈[1，＋∞)， 從而 解得－2≤a≤0. 答案：[－2，0] 2．△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，sin 2C＋cos(A＋B)＝0且c＝，a＞c，a＋b＝5.則△ABC的面積是________． 解析：由sin 2C＋cos(A＋B)＝0且A＋B＋C＝π， 得2sin Ccos C－cos C＝0，所以cos C＝0或sin C＝. 由c＝，a＞c得，cos C＝0不成立，所以sin C＝，所以C＝， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab＝13，所以

64、ab＝4， 故S△ABC＝absin C＝×4×＝. 答案： 3．(2019·湖南長(zhǎng)沙岳麓區(qū)模擬)若圓A：(x－1)2＋(y－4)2＝a上至少存在一點(diǎn)P落在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖，圓A與不等式組表示的平面區(qū)域有交點(diǎn)．因?yàn)閳AA的圓心(1，4)到直線3x－y－1＝0的距離為＝，聯(lián)立方程可得B(3，4)，D(1，2)，則圓心A與可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離的最大值為|AB|＝|AD|＝2，所以≤≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案： 4．如圖是某斜拉式大橋的部分平面結(jié)構(gòu)模型，其中橋塔AB，CD與橋面AC垂直，且AB

65、＝1 m，CD＝2 m，AC＝7 m．P為AC上的一點(diǎn)，則當(dāng)∠BPD達(dá)到最大時(shí)，AP的長(zhǎng)度為________ m. 解析：設(shè)AP＝x m(0≤x≤7)，則PC＝(7－x) m， 所以tan∠BPD＝tan(∠ABP＋∠PDC)＝＝＝.令x＋7＝t，7≤t≤14，則tan∠BPD＝＝＝，故當(dāng)t＝，即t＝10時(shí)，∠BPD最大，此時(shí)x＝3，即AP的長(zhǎng)度為3 m. 答案：3 5．(2018·江蘇高考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________． 解析：法一：如圖， ∵S△ABC＝

66、S△ABD＋S△BCD， ∴ac·sin 120°＝c×1×sin 60°＋a×1×sin 60°，∴ac＝a＋c.∴＋＝1. ∴4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2 ＋5＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即c＝2a時(shí)取等號(hào)． 故4a＋c的最小值為9. 法二：如圖，以B為原點(diǎn)，BD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則D(1，0)，A，C.又A，D，C三點(diǎn)共線， ∴＝， ∴ac＝a＋c.∴＋＝1. ∴4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2 ＋5＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即c＝2a時(shí)取等號(hào)． 故4a＋c的最小值為9. 答案：9 6．已知a>1，定義f(n)＝＋＋…＋，如果對(duì)任意的n≥2，n∈N*，不等式12f(n)＋7logab>7＋7loga＋1b恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________． 解析：由f(n)＝＋＋…＋，知f(n＋1)＝＋＋…＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋－＝>0，所以f(n)單調(diào)遞增，所以當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，f(n)的最小值為f(2)＝.要使得對(duì)任意的n≥2，n∈N*，不等式12f(n)＋7logab>7＋7loga＋1b恒成立，只需滿足12×＋7loga