(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測(三)導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用 理(重點生含解析)
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1、(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測(三)導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用 理(重點生,含解析) 1.函數(shù)f(x)=excos x的圖象在點(0,f(0))處的切線方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y+1=0 D.x-y-1=0 解析:選C 依題意,f(0)=e0cos 0=1,因為f′(x)=excos x-exsin x,所以f′(0)=1,所以切線方程為y-1=x-0,即x-y+1=0,故選C. 2.已知函數(shù)f(x)=x2-5x+2ln x,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A.和(1,+∞) B.(0,1)和(2,+∞)
2、
C.和(2,+∞) D.(1,2)
解析:選C 函數(shù)f(x)=x2-5x+2ln x的定義域是(0,+∞),且f′(x)=2x-5+==.由f′(x)>0,解得0
3、x∈(e,+∞)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,故f(x)在x=e處取得最大值f(e),f(2)-f(3)=-==<0,
∴f(2)
4、0+1)(0-x0),解得x0=2,故k=1+ln 2,選D. 5.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)>f(x),且f(x+3)為偶函數(shù),f(6)=1,則不等式f(x)>ex的解集為( ) A.(-2,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 解析:選B 因為f(x+3)為偶函數(shù), 所以f(3-x)=f(x+3), 因此f(0)=f(6)=1. 設(shè)h(x)=,則原不等式即h(x)>h(0). 又h′(x)==, 依題意f′(x)>f(x),故h′(x)>0, 因此函數(shù)h(x)在R上是增函數(shù), 所以由h(x)>
5、h(0),得x>0.故選B.
6.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=-f(x),當(dāng)x∈(0,2]時,f(x)=ln x-ax,當(dāng)x∈[-2,0)時,f(x)的最小值為3,則a的值等于( )
A.e2 B.e
C.2 D.1
解析:選A 因為定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=-f(x),
所以y=f(x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,
因為當(dāng)x∈[-2,0)時,f(x)的最小值為3,
所以當(dāng)x∈(0,2]時,f(x)=ln x-ax的最大值為-3.
又f′(x)=(0 6、0;
所以函數(shù)f(x)=ln x-ax在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
故f(x)max=f =ln-a×=-3,解得a=e2.
7.若函數(shù)f(x)=ln x-ax2-2x存在單調(diào)遞減區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析:f′(x)=-ax-2=,由題意知f′(x)<0有實數(shù)解,∵x>0,∴ax2+2x-1>0有實數(shù)解.當(dāng)a≥0時,顯然滿足;當(dāng)a<0時,只需Δ=4+4a>0,∴-1-1.
答案:(-1,+∞)
8.已知函數(shù)f(x)=ex-mx+1的圖象為曲線C,若曲線C存在與直線y=ex垂直的切線,則實數(shù)m的取值范圍是________.
解析 7、:函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=ex-m,設(shè)切點為(x0,ex0-mx0+1),即切線斜率k=
e x0-m,若曲線C存在與直線y=ex垂直的切線,則滿足(e x0-m)e=-1,
即e x0-m=-有解,
即m=e x0+有解,
∵e x0+>,∴m>.
答案:
9.已知x0為函數(shù)f(x)=(ea)x+3x的極值點,若x0∈(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析:f′(x)=aeax+3,則f′(x0)=3+aeax0=0,由于eax0>0,則a<0,此時x0=ln.令t=-,t>0,則x0=-ln t,構(gòu)造函數(shù)g(t)=-ln t(t>0),g′ 8、(t)=-ln t-=-(ln t+1),當(dāng)0 9、b∈R),
所以f′(x)=3ax2+2bx-3.
根據(jù)題意,得
即
解得所以f(x)=x3-3x.
(2)設(shè)切點為(x0,y0)(x0≠2),則y0=x-3x0.
因為f′(x0)=3x-3,
所以切線的斜率為3x-3,
則3x-3=,
即2x-6x+6+m=0.
因為過點M(2,m)(m≠2)可作曲線y=f(x)的三條切線,
所以方程2x-6x+6+m=0有三個不同的實根,
設(shè)函數(shù)g(x)=2x3-6x2+6+m,則函數(shù)g(x)有三個零點,且g′(x)=6x2-12x,
令g′(x)=0,得x=0或x=2.
g′(x),g(x)隨x的變化而變化的情況如下表:
10、
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
極大值
極小值
若函數(shù)g(x)有三個零點,
則需即解得-6 11、x)=2ln x+x-+2,
f′(1)=2,f(1)=,
∴切線l的方程為y-=2(x-1),即4x-2y-3=0.
(2)函數(shù)g(x)=aln x+x-+a,定義域為(0,+∞),
則g′(x)=1++=,令g′(x)=0,得x2+ax+1=0,其兩根為x1,x2,
且x1+x2=-a,x1x2=1,
故x2=,a=-.
g(x1)-g(x2)=g(x1)-g=aln x1+x1-+a-=2+2aln x1=2-2ln x1,
令h(x)=2-2ln x.
則[g(x1)-g(x2)]min=h(x)min,
又h′(x)=,
當(dāng)x∈(0,1]時,h′(x)≤0,
12、當(dāng)x∈(1,e]時,h′(x)<0,
即當(dāng)x∈(0,e]時,h(x)單調(diào)遞減,
∴h(x)min=h(e)=-,
故[g(x1)-g(x2)]min=-.
12.(2018·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=ln x-x,g(x)=mx3-mx(m≠0).
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若對任意的x1∈(1,2),總存在x2∈(1,2),使得f(x1)=g(x2),求實數(shù)m的取值范圍.
解:(1)易知切點為(1,-1),f′(x)=-1,切線的斜率k=f′(1)=0,故切線方程為y=-1.
(2)設(shè)f(x)在區(qū)間(1,2)上的值域為A,g(x)在區(qū) 13、間(1,2)上的值域為B,則由題意可得A?B.
∵f(x)=ln x-x,
∴f′(x)=-1=<0在(1,2)上恒成立,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,
∴值域A為(ln 2-2,-1).
又g′(x)=mx2-m=m(x+1)(x-1),
當(dāng)m>0時,g′(x)>0在x∈(1,2)上恒成立,
則g(x)在(1,2)上是增函數(shù),此時g(x)在區(qū)間(1,2)上的值域B為,
則
解得m≥-(ln 2-2)=3-ln 2.
當(dāng)m<0時,g′(x)<0在x∈(1,2)上恒成立,
則g(x)在(1,2)上是減函數(shù),此時g(x)在區(qū)間(1,2)上的值域B為,
則解得m 14、≤(ln 2-2)=ln 2-3.
∴實數(shù)m的取值范圍是
∪.
二、強化壓軸考法——拉開分
1.已知函數(shù)f(x)=xsin x,x1,x2∈,且f(x1)<f(x2),那么( )
A.x1-x2>0 B.x1+x2>0
C.x-x>0 D.x-x<0
解析:選D 由f(x)=xsin x得f′(x)=sin x+xcos x=cos x(tan x+x),當(dāng)x∈時,f′(x)>0,即f(x)在上為增函數(shù),又f(-x)=-xsin(-x)=xsin x,因而f(x)為偶函數(shù),∴當(dāng)f(x1)<f(x2)時,有f(|x1|)<f(|x2|),∴|x1|<|x2|,x- 15、x<0,故選 D.
2.(2018·西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2,若f(x)恰有兩個不同的零點,則a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析:選C 函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=-2ax=.當(dāng)a≤0時,f′(x)>0恒成立,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)不存在兩個不同的零點.當(dāng)a>0時,由f′(x)=0,得x=,當(dāng)0 16、足-ln 2a->0,即ln 2a<-1,所以0<2a<,即00對任意的x>1恒成立,則m的最大值為( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:選B 法一:因為f(x)=x+xln x,且f(x)-m(x-1)>0對任意的x>1恒成立,等價于m<在(1,+∞)上恒成立,
等價于m 17、單調(diào)遞增,此時g(x)min=g(x0)===x0,因此m 18、2,
顯然g(e)<0,g(e2)>0,所以e 19、相切的直線l′與曲線C的切點為(1,0),所以|PQ|min==,所以m2-m≤2,解得-1≤m≤2,所以m的最大值為2.故選B.
5.設(shè)函數(shù)f(x)=ex+a+x,g(x)=ln(x+3)-4e-x-a,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù)x0,使得f(x0)-g(x0)=2成立,則實數(shù)a的值為( )
A.-2+ln 2 B.1+ln 2
C.-1-ln 2 D.2+ln 2
解析:選D 由已知得f(x)-g(x)=ex+a+x-ln(x+3)+4e-x-a,
設(shè)h(x)=ex+a+4e-x-a,u(x)=x-ln(x+3),
所以h(x)=ex+a+4e-x-a≥2=4 20、,當(dāng)且僅當(dāng)ex+a=2時等號成立.
u′(x)=1-=(x>-3),
令u′(x)>0,得x>-2;
令u′(x)<0,得-3 21、
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選A 設(shè)h(x1)=|MN|,由題意知h(x1)=x2-x1,x1≥1,
由MN∥x軸可得g(x2)=f (x1),
即x2=e x1-1-(x1-1)2+1,
所以h(x1)=x2-x1=ex1-1-(x1-1)2-x1+1,h′(x1)=e x1-1-x1,h″(x1)=e x1-1-1,
因為h″(x1)≥h″(1)=0,
所以h′(x1)在[1,+∞)上是增函數(shù),
所以h′(x1)≥h′(1)=0,
因此h(x1)在[1,+∞)上是增函數(shù),所以h(x1)≥h(1)=1,故選A.
7.若對任意的x∈,e為自然對數(shù)的底數(shù), 22、總存在唯一的y∈[-1,1],使得ln x-x+1+a=y(tǒng)2ey成立,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析:選B 設(shè)f(x)=ln x-x+1+a,
則f′(x)=-1=.
因為x∈,所以f′(x)≥0,f(x)在上單調(diào)遞增,所以f(x)∈.
設(shè)g(y)=y(tǒng)2ey,y∈[-1,1],
則g′(y)=y(tǒng)(y+2)ey.
由g′(y)<0,得-1≤y<0;
由g′(y)>0,得0 23、+1+a=y(tǒng)2ey成立,等價于f(x)的值域是g(y)的不含極值點的單值區(qū)間的子集,
故?,所以0時,f(-x)+f(x+3)=0;當(dāng)x∈(0,3)時,f(x)=,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),且e≈2.72,則方程6f(x)-x=0在[-9,9]上的解的個數(shù)為( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析:選D 依題意,當(dāng)x∈(0,3)時,f′(x)=,令f′(x)=0得x=e,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(e,3)上單調(diào)遞減,故在區(qū)間(0,3)上,f(x)max=f(e)=1.又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(-x)+f(x+3)=0,即f(x+3)=f(x),f(0)=0.由6f(x)-x=0,得f(x)=.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=在區(qū)間[-9,9] 上的圖象如圖所示.由圖可知,函數(shù)y=f(x)與y=的圖象有7個交點,即方程6f(x)-x=0的解的個數(shù)為7.故選D.
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