《(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 高考5個(gè)大題 題題研訣竅 數(shù)列問題重在“歸”——化歸講義 理(普通生含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 高考5個(gè)大題 題題研訣竅 數(shù)列問題重在“歸”——化歸講義 理(普通生含解析)(10頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 高考5個(gè)大題 題題研訣竅 數(shù)列問題重在“歸”——化歸講義 理(普通生,含解析)
[技法指導(dǎo)——遷移搭橋]
化歸的常用策略
利用化歸思想可探索一些一般數(shù)列的簡單性質(zhì).等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個(gè)特殊的基本數(shù)列,高考中通??疾榈氖欠堑炔?、等比數(shù)列問題,應(yīng)對的策略就是通過化歸思想,將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列.
[典例] (2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn=.
(1)求b1
2、,b2,b3;
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由;
(3)求{an}的通項(xiàng)公式.
[快審題]
求什么
想什么
判斷數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,想到判斷等比數(shù)列的方法.
求{an}的通項(xiàng)公式,想到求bn的通項(xiàng)公式.
給什么
用什么
給出nan+1=2(n+1)an,用化歸方法化為=的形式.
[穩(wěn)解題]
(1)由條件可得
an+1=an.
將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.
將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.
從而b1=1,b2=2,b3=4.
(2)數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.
理由如下:
3、
由條件可得=,
即bn+1=2bn,
又b1=1,
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.
(3)由(2)可得=2n-1,
所以an=n·2n-1.
[題后悟道] 等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算模型
(1)分析已知條件和求解目標(biāo),確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題.如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等,確定解題的邏輯次序.
(2)注意細(xì)節(jié).在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中,如果等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于1的可能,在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等.
[針對訓(xùn)練]
已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和
4、為Sn,滿足a=Sn+Sn-1(n≥2),a1=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)bn=(1-an)2-a(1-an),若bn+1>bn對任意n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1)因?yàn)閍=Sn+Sn-1(n≥2),
所以a=Sn+1+Sn.
兩式相減,得a-a=an+1+an.
因?yàn)閍n>0,所以an+1-an=1.
又a1=1,所以{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.
所以an=n.
(2)因?yàn)閎n=(1-an)2-a(1-an),且由(1)得an=n,
所以bn=(1-n)2-a(1-n)=n2+(a-2)n+1-a,
所以bn+1=(n+
5、1)2+(a-2)(n+1)+1-a=n2+an.
因?yàn)閎n+1>bn恒成立,
所以n2+an>n2+(a-2)n+1-a,
解得a>1-2n,所以a>-1.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,+∞).
A組——“6+3+3”考點(diǎn)落實(shí)練
一、選擇題
1.(2019屆高三·武漢調(diào)研)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,則a1=( )
A.-2 B.-1
C. D
6、.
解析:選B 由S2=3a2+2,S4=3a4+2,
得a3+a4=3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,
解得q=-1(舍去)或q=,
將q=代入S2=3a2+2中,得a1+a1=3×a1+2,
解得a1=-1.
2.已知數(shù)列{an}滿足=,且a2=2,則a4等于( )
A.- B.23
C.12 D.11
解析:選D 因?yàn)閿?shù)列{an}滿足=,所以an+1+1=2(an+1),即數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,公比為2,則a4+1=22(a2+1)=12,解得a4=11.
3.(2019屆高三·西安八校聯(lián)考)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S6>S7>S5
7、,則滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為( )
A.10 B.11
C.12 D.13
解析:選C 由S6>S7>S5,得S7=S6+a7S5,所以a7<0,a6+a7>0,所以S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,所以S12S13<0,即滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為12,故選C.
4.?dāng)?shù)列{an}中,a1=2,a2=3,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),那么a2 019=( )
A.1 B.-2
C.3 D.-3
解析:選A 因?yàn)閍n+1=an-an-1(n≥2),所以an=an-
8、1-an-2(n≥3),
所以an+1=an-an-1=(an-1-an-2)-an-1=-an-2(n≥3).
所以an+3=-an(n∈N*),所以an+6=-an+3=an,
故{an}是以6為周期的周期數(shù)列.
因?yàn)? 019=336×6+3,
所以a2 019=a3=a2-a1=3-2=1.故選A.
5.(2018·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知f(x)=數(shù)列{an}(n∈N*)滿足an=f(n),且{an}是遞增數(shù)列,則a的取值范圍是( )
A.(1,+∞) B.
C.(1,3) D.(3,+∞)
解析:選D 因?yàn)閍n=f(n),且{an}是遞增數(shù)列,
所以則
9、得a>3.故選D.
6.若數(shù)列{an}滿足a1=1,且對于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,則++…++等于( )
A. B.
C. D.
解析:選C 由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,
則a2-a1=1+1,
a3-a2=2+1,
a4-a3=3+1,
…,
an-an-1=(n-1)+1,
以上等式相加,得an-a1=1+2+3+…+(n-1)+n-1,
把a(bǔ)1=1代入上式得,an=1+2+3+…+(n-1)+n=,
==2,
則++…++=2++…++=2=.
二、填空題
7.(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前
10、n項(xiàng)和.若Sn=2an+1,則S6=________.
解析:∵Sn=2an+1,∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1+1,
∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
即an=2an-1.
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2a1+1,得a1=-1.
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1為-1,公比q為2的等比數(shù)列,
∴Sn===1-2n,
∴S6=1-26=-63.
答案:-63
8.古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”意思是:“一女子善于織布,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述的已知條件,可
11、求得該女子前3天所織布的總尺數(shù)為________.
解析:設(shè)該女子第一天織布x尺,
則=5,解得x=,
所以該女子前3天所織布的總尺數(shù)為=.
答案:
9.(2019屆高三·福建八校聯(lián)考)在數(shù)列中,n∈N*,若=k(k為常數(shù)),則稱為“等差比數(shù)列”,下列是對“等差比數(shù)列”的判斷:
①k不可能為0;
②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;
③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;
④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0.
其中所有正確判斷的序號是________.
解析:由等差比數(shù)列的定義可知,k不為0,所以①正確,當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0,即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí),等差數(shù)列不是等差比數(shù)列,所以②錯(cuò)誤
12、;當(dāng)是等比數(shù)列,且公比q=1時(shí),不是等差比數(shù)列,所以③錯(cuò)誤;數(shù)列0,1,0,1,…是等差比數(shù)列,該數(shù)列中有無數(shù)多個(gè)0,所以④正確.
答案:①④
三、解答題
10.(2018·全國卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解:(1)設(shè){an}的公差為d,
由題意得3a1+3d=-15.
又a1=-7,所以d=2.
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-9.
(2)由(1)得Sn==n2-8n=(n-4)2-16,
所以當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16.
11.(2018
13、·成都第一次診斷性檢測)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2=3,S4=16,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
∵a2=3,S4=16,
∴a1+d=3,4a1+6d=16,
解得a1=1,d=2.
∴an=2n-1.
(2)由題意,bn==,
∴Tn=b1+b2+…+bn
=
=
=.
12.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且滿足Sn-2an=n-4.
(1)證明{Sn-n+2}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)證明
14、:當(dāng)n=1時(shí),由Sn-2an=n-4,得a1=3.
∴S1-1+2=4.
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-2an=n-4可化為Sn=2(Sn-Sn-1)+n-4,
即Sn=2Sn-1-n+4,
∴Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2].
∴{Sn-n+2}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.
(2)由(1)知,Sn-n+2=2n+1,
∴Sn=2n+1+n-2.
于是Tn=S1+S2+…+Sn
=22+1-2+23+2-2+…+2n+1+n-2
=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n
=+-2n
=2n+2+-4.
∴數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn為2n+2+-4.
15、
B組——大題專攻補(bǔ)短練
1.(2018·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式.
(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若Sm=63,求m.
解:(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,則Sn=.
由Sm=63,得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解.
若an=2n-1,則Sn==2n-1.
由Sm=63,得2m=64,解得m=6.
綜上,m=6.
2.(2018·濰坊
16、統(tǒng)考)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-λ(λ>0,n∈N*).
(1)證明:數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求an;
(2)若λ=4,bn=(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n.
解:(1)∵Sn=2an-λ,當(dāng)n=1時(shí),得a1=λ,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-λ,
∴Sn-Sn-1=2an-2an-1,
即an=2an-2an-1,∴an=2an-1,
∴數(shù)列{an}是以λ為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
∴an=λ·2n-1.
(2)∵λ=4,∴an=4·2n-1=2n+1,
∴bn=
∴T2n=22+3+24+5+26+7+…+22n+2n+1
17、
=(22+24+…+22n)+(3+5+…+2n+1)
=+
=+n(n+2),
∴T2n=+n2+2n-.
3.(2018·廈門質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=,n∈N*.
(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)設(shè)T2n=-+-+…+-,求T2n.
解:(1)證明:由an+1=,得==+,
所以-=.
又a1=1,則=1,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列.
(2)設(shè)bn=-=,
由(1)得,數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,
所以-=-,
即bn==-×,
所以bn+1-bn=-=-×=-.
又b1=-×=-×=-,
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為
18、-,公差為-的等差數(shù)列,
所以T2n=b1+b2+…+bn=-n+×=-(2n2+3n).
4.(2018·石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=an+.
(1)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)由an+1=an+,可得=+,
又bn=,∴bn+1-bn=,
由a1=1,得b1=1,
累加可得(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=++…+,
即bn-b1==1-,
∴bn=2-.
(2)由(1)可知an=2n-,
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,
則Tn=+++…+,①
Tn=+++…+,②
①-②得Tn=+++…+-=-=2-,
∴Tn=4-.
易知數(shù)列{2n}的前n項(xiàng)和為n(n+1),
∴Sn=n(n+1)-4+.