（浙江專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題5 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形檢測

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1、（浙江專用）2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題5 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形檢測 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點 正弦、余弦定理 1.理解正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)過程. 2.掌握正弦定理、余弦定理并能靈活運用. 2018浙江,13 三角形邊和角的求法 三角恒等變換 ★★★ 解三角形及其綜合應(yīng)用 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決與三角形有關(guān)的幾何問題以及和測量有關(guān)的實際問題. 2016浙江,16 三角形角的求法 三角形的面積 ★★★ 2015浙江,16 三角形邊和角的求法 三角形的面積

2、 2014浙江,18 三角形角和 面積的求法 三角恒等變換 【考點集訓(xùn)】 考點一　正弦、余弦定理 1.(2018浙江紹興高三3月適應(yīng)性模擬,6)在△ABC中,內(nèi)角C為鈍角,sin C=,AC=5,AB=3,則BC=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.2 B.3 C.5 D.10 答案　A　 2.(2018浙江嵊州高三期末質(zhì)檢,14)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若cos(A+C)=,a=2,b=4,則sin A=　　　　,c=　　　　.? 答案　;3 考點二　解三角形及其綜合應(yīng)用 1.(2018浙江湖州、衢州、麗水第一學(xué)期質(zhì)

3、檢,15)在銳角△ABC中,AD是BC邊上的中線,若AB=3,AC=4,△ABC的面積是3,則AD=　　　　.? 答案　 2.(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m后到達B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=　　　　m.? 答案　100 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法　有關(guān)三角形面積的計算 1. (2018浙江杭州高三教學(xué)質(zhì)檢,13)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=,b=3,sin C=2sin A,則sin A=　　　　

4、;設(shè)D為AB邊上一點,且=2,則△BCD的面積為　　　　.? 答案　;2 2.(2018浙江金華十校高考模擬(4月),18)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B≠. (1)證明:c=2b; (2)若△ABC的面積S=5b2-a2,求tan A的值. 解析　(1)證明:由sin A=sin(B-C)+2sin 2B,知sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B, 展開化簡得,cos Bsin C=2sin Bcos B, 又因為B≠,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b. (2)因

5、為△ABC的面積S=5b2-a2,所以有bcsin A=5b2-a2, 由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,① 所以a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A, 代入①得b2sin A=4b2cos A,∴tan A=4. 過專題 【五年高考】 A組　自主命題·浙江卷題組 考點一　正弦、余弦定理 　(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=,b=2,A=60°,則sin B=　　　　,c=　　　　.? 答案　;3 考點二　解三角形及其綜合應(yīng)用 1.(2017浙江,11,4分)我國古代數(shù)學(xué)

6、家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π,理論上能把π的值計算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”,將π的值精確到小數(shù)點后七位,其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6,S6=　　　　.? 答案　 2.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)證明:A=2B; (2)若△ABC的面積S=,求角A的大小. 解析　(1)證明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos

7、 B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,B∈(0,π),故0

8、中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2. (1)求tan C的值; (2)若△ABC的面積為3,求b的值. 解析　(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C. 又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得tan C=2. (2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=. 又因為sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=. 由正弦定理得c=b, 又因為A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3. 評析　本題主要考查三

9、角函數(shù)、正弦定理等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力. 4.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知tan=2. (1)求的值; (2)若B=,a=3,求△ABC的面積. 解析　(1)由tan=2,得tan A=, 所以==. (2)由tan A=,A∈(0,π),得 sin A=,cos A=. 又由a=3,B=及正弦定理得b=3. 由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=. 設(shè)△ABC的面積為S,則S=absin C=9. 評析　本題主要考查三角恒等變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力. 5.(20

10、14浙江,18,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B. (1)求角C的大小; (2)若sin A=,求△ABC的面積. 解析　(1)由題意得 -=sin 2A-sin 2B, 即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B, sin=sin. 由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得 2A-+2B-=π, 即A+B=, 所以C=. (2)由c=,sin A=,=,得a=, 由a

11、in Acos C+cos Asin C=, 所以△ABC的面積S=acsin B=. 評析　本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力. B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點一　正弦、余弦定理　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 1.(2018課標全國Ⅱ理,6,5分)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,則AB=(　　) A.4 B. C. D.2 答案　A　 2.(2017山東理,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形,且滿足sin B(1+2cos C)

12、=2sin Acos C+cos Asin C,則下列等式成立的是(　　) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案　A　 3.(2018課標全國Ⅰ文,16,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為　　　　.? 答案　 4.(2017課標全國Ⅱ文,16,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=　　　　.? 答案　 5.(2018課標全國Ⅰ理,17,12分)在平面四邊形ABCD中,∠A

13、DC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2,求BC. 解析　(1)在△ABD中,由正弦定理得=. 由題設(shè)知,=,所以sin∠ADB=. 由題設(shè)知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==. (2)由題設(shè)及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=. 在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25. 所以BC=5. 方法總結(jié)　正、余弦定理的應(yīng)用原則 (1)正弦定理是一個連比等式,在運用此定理時,只要知道其中一對的比值或等量關(guān)系就可以通過該定理解決問題,在解題時要學(xué)

14、會靈活運用. (2)運用余弦定理時,要注意整體思想的應(yīng)用. (3)在利用正、余弦定理判斷三角形形狀時,等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,以免漏解. (4)在利用正弦定理求三角形解的個數(shù)問題時,可能會出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,所以解答此類問題時需要進行分類討論,以免漏解或增解. 6.(2015課標Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的點,AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍. (1)求; (2)若AD=1,DC=,求BD和AC的長. 解析　(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD, S△ADC=AC·ADsin∠CAD. 因為S△ABD=2S△

15、ADC,∠BAD=∠CAD, 所以AB=2AC. 由正弦定理可得==. (2)因為S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 考點二　解三角形及其綜合應(yīng)用 1.(2018課標全國Ⅲ文,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為,則C=(　　) A. B. C. D. 答案　C　 2.(20

16、14課標Ⅱ,4,5分)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=(　　) A.5 B. C.2 D.1 答案　B　 3.(2018北京文,14,5分)若△ABC的面積為(a2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B=　　　　;的取值范圍是　　　　.? 答案　;(2,+∞) 4.(2015課標Ⅰ,16,5分)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是　　　　　　　　.? 答案　(-,+) 5.(2018天津文,16,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsin A=acos. (1)求角B的大小; (2)設(shè)

17、a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值. 解析　本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,兩角差的正弦與余弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力. (1)在△ABC中,由正弦定理可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos,得asin B=acos,即sin B=cos,可得tan B=.又因為B∈(0,π),可得B=. (2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=. 由bsin A=acos,可得sin A=. 因為a

18、sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=. 所以sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=×-×=. 6.(2017課標全國Ⅲ理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2. (1)求c; (2)設(shè)D為BC邊上一點,且AD⊥AC,求△ABD的面積. 解析　本題考查解三角形. (1)由已知可得tan A=-,所以A=. 在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0. 解得c=-6(舍去)或c=4. (2)由題設(shè)可得∠CAD=, 所以∠BA

19、D=∠BAC-∠CAD=. 故△ABD面積與△ACD面積的比值為=1. 又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC=2, 所以△ABD的面積為. 思路分析　(1)由sin A+cos A=0,可求得tan A=-,注意到A是三角形內(nèi)角,得A=,再由余弦定理求c.(2)由題意知∠CAD=,∠BAD=,于是可求得的值,再由S△ABC=×4×2sin∠BAC=2得解. 一題多解　(2)1題多解1:由余弦定理得cos C=,在Rt△ACD中,cos C=,∴CD=,∴AD=,DB=CD=,∴S△ABD=S△ACD=×2××sin C=×=. 1題多解2:∠BAD=,由余弦定理得cos C=,

20、∴CD=, ∴AD=,∴S△ABD=×4××sin∠DAB=. 1題多解3:過B作BE垂直AD,交AD的延長線于E,在△ABE中,∠EAB=-=,AB=4,∴BE=2,∴BE=CA,從而可得△ADC≌△EDB,∴BD=DC,即D為BC中點,∴S△ABD=S△ABC=××2×4×sin∠CAB=. C組　教師專用題組 考點一　正弦、余弦定理 1.(2017課標全國Ⅰ文,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=, 則C=(　　)　　　　　　 　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D.

21、答案　B　 2.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,則AC=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A　 3.(2016課標全國Ⅱ,13,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=　　　　.? 答案　 4.(2015天津,13,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為3,b-c=2,cos A=-,則a的值為　　　　.? 答案　8 5.(2015福建,12,4分)若銳角△ABC的面積為10,且A

22、B=5,AC=8,則BC等于　　　　.? 答案　7 6.(2015廣東,11,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=,sin B=,C=,則b=　　　　.? 答案　1 7.(2015重慶,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分線AD=,則AC=　　　　.? 答案　 8.(2014天津,12,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,則cos A的值為　　　　.? 答案　- 9.(2014廣東,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bcos C+

23、ccos B=2b,則=　　　　.? 答案　2 10.(2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,則△ABC的面積等于　　　　.? 答案　2 11.(2014江蘇,14,5分)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C,則cos C的最小值是　　　　.? 答案　 12.(2014課標Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則△ABC面積的最大值為　　　　.? 答案　 13.(2017山東文,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊

24、分別為a,b,c.已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a. 解析　本題考查向量數(shù)量積的運算及解三角形. 因為·=-6,所以bccos A=-6, 又S△ABC=3,所以bcsin A=6, 因此tan A=-1,又0

25、所以AB===5. (2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C), 于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin B·sin, 又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-. 因為0

26、若b2+c2-a2=bc,求tan B. 解析　(1)證明:根據(jù)正弦定理,可設(shè)===k(k>0). 則a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入+=中,有+=,變形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 所以sin Asin B=sin C. (2)由已知,b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理,有 cos A==. 所以sin A==. 由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以

27、sin B=cos B+sin B, 故tan B==4. 評析　本題考查的知識點主要是正、余弦定理以及兩角和的正弦公式. 16.(2014湖南,18,12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=. (1)求cos∠CAD的值; (2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的長. 解析　(1)在△ADC中,由余弦定理,得 cos∠CAD===. (2)設(shè)∠BAC=α,則α=∠BAD-∠CAD. 因為cos∠CAD=,cos∠BAD=-, 所以sin∠CAD===, sin∠BAD===. 于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD) =

28、sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD =×-×=. 在△ABC中,由正弦定理,得=, 故BC===3. 考點二　解三角形及其綜合應(yīng)用 1.(2014江西,4,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,則△ABC的面積是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.3 B. C. D.3 答案　C　 2.(2014重慶,10,5分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C滿足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面積S滿足1≤S≤2,記a,b,c分別為A,B,C所對的邊,則下列不等式一定成

29、立的是(　　) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 答案　A　 3.(2017課標全國Ⅲ文,15,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=　　　　.? 答案　75° 4.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,則=　　　　.? 答案　1 5.(2014山東,12,5分)在△ABC中,已知·=tan A,當A=時,△ABC的面積為　　　　.? 答案　 6.(2018北京理,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)

30、求∠A; (2)求AC邊上的高. 解析　(1)在△ABC中,因為cos B=-,所以sin B==. 由正弦定理得sin A==. 由題設(shè)知<∠B<π,所以0<∠A<.所以∠A=. (2)在△ABC中, 因為sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=, 所以AC邊上的高為asin C=7×=. 方法總結(jié)　處理解三角形相關(guān)的綜合題目時,首先要掌握正弦、余弦定理,其次結(jié)合圖形分析哪些邊、角是已知的,哪些邊、角是未知的,然后將方程轉(zhuǎn)化為只含有邊或角的方程,最后通過解方程求出邊或角. 7.(2017課標全國Ⅰ理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的

31、對邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為. (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周長. 解析　本題考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換,考查學(xué)生利用三角形面積公式進行運算求解的能力. (1)由題設(shè)得acsin B=,即csin B=. 由正弦定理得sin Csin B=. 故sin Bsin C=. (2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-, 即cos(B+C)=-. 所以B+C=,故A=. 由題設(shè)得bcsin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=

32、9,得b+c=. 故△ABC的周長為3+. 思路分析　(1)首先利用三角形的面積公式可得acsin B=,然后利用正弦定理,把邊轉(zhuǎn)化成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及題目中給出的6cos Bcos C=1,結(jié)合兩角和的余弦公式求出B+C,進而得出A,然后利用三角形的面積公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,進而得出△ABC的周長. 方法總結(jié)　解三角形的綜合應(yīng)用. (1)應(yīng)用正弦定理、余弦定理主要是將條件轉(zhuǎn)化為僅有邊或僅有角的形式,以便進一步化簡計算,例如:將csin B=變形為sin Csin B=. (2)三

33、角形面積公式:S=absin C=acsin B=bcsin A. (3)三角形的內(nèi)角和為π.這一性質(zhì)經(jīng)常在三角化簡中起到消元的作用,例如:在△ABC中,sin(B+C)=sin A. 8.(2017課標全國Ⅱ理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cos B; (2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b. 解析　本題考查了三角公式的運用和余弦定理的應(yīng)用. (1)由題設(shè)及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B). 上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,

34、 解得cos B=1(舍去),cos B=. (2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac. 又S△ABC=2,則ac=. 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4. 所以b=2. 解后反思　在余弦定理和三角形面積公式的運用過程中,要重視“整體運算”的技巧.如本題中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的轉(zhuǎn)化就說明了這一點. 9.(2017北京理,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a. (1)求sin C的值; (2)若a=7

35、,求△ABC的面積. 解析　本題考查正、余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的面積公式. (1)在△ABC中,因為∠A=60°,c=a, 所以由正弦定理得sin C==×=. (2)因為a=7,所以c=×7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×, 解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC的面積S=bcsin A=×8×3×=6. 解后反思　根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點,利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在求解面積時,經(jīng)常用余弦定理求出兩邊乘積. 10.(2016課標全國Ⅰ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,

36、c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長. 解析　(1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absin C=. 又C=,所以ab=6.(8分) 由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7. 故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.(10分) 所以△ABC的周長為5+.

37、(12分) 評析　本題重點考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式,同時,對三角恒等變換的公式也有所考查.在解題過程中,要注意先將已知條件中的“邊”與“角”的關(guān)系,通過正弦定理轉(zhuǎn)化為“角”之間的關(guān)系,再運用三角函數(shù)知識求解. 11.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac. (1)求∠B的大小; (2)求cos A+cos C的最大值. 解析　(1)由余弦定理及題設(shè)得cos B===. 又因為0<∠B<π,所以∠B=.(6分) (2)由(1)知∠A+∠C=. cos A+cos C=cos A+cos =cos A-cos A+sin A =cos

38、 A+sin A =cos.(11分) 因為0<∠A<, 所以當∠A=時,cos A+cos C取得最大值1.(13分) 思路分析　第(1)問條件中有邊的平方和邊的乘積,顯然應(yīng)選用余弦定理求解.第(2)問用三角形內(nèi)角和定理將原三角函數(shù)式化為只含一個角的三角函數(shù)式,再注意角的取值范圍,問題得解. 評析　本題考查余弦定理、三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì).屬中檔題. 12.(2015四川,19,12分)如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角. (1)證明:tan=; (2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.

39、 解析　(1)證明:tan===. (2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B. 由(1),有tan+tan+tan+tan =+++ =+. 連接BD. 在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A, 在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C, 所以AB2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A. 則cos A===. 于是sin A===. 連接AC.同理可得 cos B===, 于是sin B===. 所以tan+tan+tan+tan =+ =+ =. 評析

40、　本題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、推理論證能力,考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 13.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長. 解析　設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90, 所以a=3. 又由正弦定理得sin B===, 由題設(shè)知0

41、 14.(2015湖南,17,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角. (1)證明:B-A=; (2)求sin A+sin C的取值范圍. 解析　(1)證明:由a=btan A及正弦定理,得==,所以sin B=cos A,即sin B=sin. 又B為鈍角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=. (2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0, 所以A∈. 于是sin A+sin C=sin A+sin =sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1 =-2+. 因為0

42、<-2+≤. 由此可知sin A+sin C的取值范圍是. 評析　本題以解三角形為背景,考查三角恒等變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),對考生思維的嚴謹性有較高要求. 15.(2015陜西,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,b)與n=(cos A,sin B)平行. (1)求A; (2)若a=,b=2,求△ABC的面積. 解析　(1)因為m∥n,所以asin B-bcos A=0, 由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0, 又sin B≠0,從而tan A=, 由于0

43、=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0, 因為c>0,所以c=3. 故△ABC的面積為bcsin A=. 解法二:由正弦定理,得=, 從而sin B=, 又由a>b,知A>B,所以cos B=. 故sin C=sin(A+B)=sin =sin Bcos+cos Bsin=. 所以△ABC的面積為absin C=. 16.(2014陜西,16,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c. (1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比數(shù)列,求c

44、os B的最小值. 解析　(1)證明:∵a,b,c成等差數(shù)列, ∴a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac. 由余弦定理得 cos B==≥=, 當且僅當a=c時等號成立. ∴cos B的最小值為. 評析　本題考查了等差、等比數(shù)列,正、余弦定理,基本不等式等知識;考查運算求解能力. 17.(2014大綱全國,17,10分)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知3acos C=2cc

45、os A,tan A=,求B. 解析　由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A. 故3tan Acos C=2sin C, 因為tan A=,所以cos C=2sin C, tan C=.(6分) 所以tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) =(8分) =-1, 即B=135°.(10分) 18.(2014北京,15,13分)如圖,在△ABC中,∠B=,AB=8,點D在BC邊上,且CD=2,cos∠ADC=. (1)求sin∠BAD; (2)求BD,AC的長. 解析　(1)在△ADC中,因為cos∠ADC=, 所

46、以sin∠ADC=. 所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B =×-×=. (2)在△ABD中,由正弦定理得 BD===3. 在△ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B =82+52-2×8×5×=49. 所以AC=7. 評析　本題考查了正、余弦定理等三角形的相關(guān)知識;考查分析推理、運算求解能力. 19.(2014安徽,16,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (1)求a的值; (2)求sin的值. 解析　(1)因為A

47、=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B. 由正、余弦定理得a=2b·. 因為b=3,c=1,所以a2=12,a=2. (2)由余弦定理得cos A===-. 由于0

48、　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　A　 2.(2019屆浙江嘉興9月基礎(chǔ)測試,8)在△ABC中,已知cos A=,cos B=,c=4,則a=(　　) A.12 B.15 C. D. 答案　D　 3.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,10)若△ABC沿著三條中位線折起后能夠拼接成一個三棱錐,則稱這樣的△ABC為“和諧三角形”,設(shè)△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,則下列條件不能夠確定該△ABC為“和諧三角形”的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.A∶B∶C=7∶20∶25 B.sin A∶sin B∶sin C=7∶20∶25 C.cos A∶

49、cos B∶cos C=7∶20∶25 D.tan A∶tan B∶tan C=7∶20∶25 答案　B　 4.(2018浙江臺州第一次調(diào)考(4月),7)在△ABC中,邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,若a2=b2+c2-bc,sin C=2cos B,則(　　) A.A= B.B= C.c=b D.c=2a 答案　D　 二、填空題(單空題4分,多空題6分,共24分) 5.(2019屆衢州、湖州、麗水三地教學(xué)質(zhì)量檢測,14)已知△ABC的面積為,∠A=60°,D是邊AC上一點,AD=2DC,BD=2,則AB=　　　　,cos C=　　　　.? 答案　2; 6.(2019屆

50、浙江名校新高考研究聯(lián)盟第一次聯(lián)考,14)在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,A=60°,且△ABC外接圓的半徑為,則a=　　　　,若b+c=3,則△ABC的面積為　　　　.? 答案　3; 7.(2018浙江名校協(xié)作體,14)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若c=2b,sin C=,則sin B=　　　　;若2a2+b2+c2=4,則△ABC面積的最大值是　　　　.? 答案　; 8.(2018浙江嘉興教學(xué)測試(4月),14)設(shè)△ABC的三邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,已知a2+2b2=c2,則=　　　　;tan B的最大值為　　　　.? 答

51、案　-3; 三、解答題(共20分) 9.(2019屆金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考,18)如圖,在△ABC中,已知點D在邊AB上,AD=3DB,cos A=,cos∠ACB=,BC=13. (1)求cos B的值; (2)求CD的長. 解析　(1)在△ABC中,cos A=,A∈(0,π), 所以sin A===. 同理可得sin∠ACB=. 所以cos B=cos[π-(∠A+∠ACB)]=-cos(∠A+∠ACB) =sin Asin∠ACB-cos Acos∠ACB =×-×=. (2)在△ABC中,由正弦定理得AB===20. 又AD=3DB,所以BD=AB=5

52、. 在△BCD中,由余弦定理得CD= = =9. 10.(2018浙江杭州二中期中,18)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知tan C=. (1)求角C的大小; (2)若△ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2的取值范圍. 解析　(1)∵tan C=,即=, ∴sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C, 即sin Ccos A-sin Acos C=sin Bcos C-sin Ccos B, 即sin(C-A)=sin(B-C), ∴C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(舍去), ∴2C=A+B,∴C=. (2)由(1)知C=,故設(shè)A=α+,B=-α+,其中-<α<,外接圓半徑為R, a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B. 故a2+b2=sin2A+sin2B= (1-cos 2A)+ (1-cos 2B) ==1+cos 2α. ∵-<α<, ∴-<2α<, ∴-