(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 特訓(xùn)“2+1+2”壓軸滿分練(四)理(重點(diǎn)生含解析)

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1、(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 特訓(xùn)“2+1+2”壓軸滿分練(四)理(重點(diǎn)生,含解析) 1.已知函數(shù)f(x)=-1-nln x(m>0,0≤n≤e)在區(qū)間[1,e]內(nèi)有唯一零點(diǎn),則的取值范圍為(  ) A.     B. C. D. 解析:選A f′(x)=--=-,當(dāng)n=0時(shí),f′(x)=-<0,當(dāng)0<n≤e時(shí),令f′(x)=0,則x=-<0,所以函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,由函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]內(nèi)有唯一零點(diǎn), 得即即 或即又m>0,0≤n≤e, 所以(1)或(2) 所以m,n滿足的可行域如圖(1)或圖(2)中的陰影部分所示,則=表示點(diǎn)(m,n)

2、與點(diǎn)(-1,-2)所在直線的斜率, 當(dāng)m,n滿足不等式組(1)時(shí),的最大值在點(diǎn)(1,e)處取得,為=+1, 當(dāng)m,n滿足不等式組(2)時(shí),的最小值在A點(diǎn)處取得,根據(jù)得所以最小值為,故選A. 2.已知P為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)右支上的任意一點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A,B分別位于第一、四象限,O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)=時(shí),△AOB的面積為2b,則雙曲線C的實(shí)軸長為(  ) A. B. C. D. 解析:選A 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 由=, 得(x-x1,y-y1)=(x2-x,y2-y),

3、 則x=x1+x2,y=y(tǒng)1+y2, 所以-=1. 易知點(diǎn)A在直線y=x上,點(diǎn)B在直線y=-x上, 則y1=x1,y2=-x2, 所以-=1, 即b22-a22=a2b2, 化簡可得a2=x1x2. 由漸近線的對(duì)稱性可得sin∠AOB=sin 2∠AOx====, 所以△AOB的面積為|OA||OB|sin∠AOB=××sin∠AOB = × × =x1x2 × × =a2×× =a2××=ab=2b, 得a=,所以雙曲線C的實(shí)軸長為. 3.已知數(shù)列{an}共16項(xiàng),且a1=1,a8=4.記關(guān)于x的函數(shù)fn(x)=x3-anx2+(a-1)x,n∈N*.若x=an+

4、1(1≤n≤15)是函數(shù)fn(x)的極值點(diǎn),且曲線y=f8(x)在點(diǎn)(a16,f8(a16))處的切線的斜率為15,則滿足條件的數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為________. 解析:fn′(x)=x2-2anx+a-1=[x-(an+1)][x-(an-1)],令fn′(x)=0,得x=an+1或x=an-1,所以an+1=an+1或an-1=an+1(1≤n≤15),所以|an+1-an|=1(1≤n≤15),又f8′(x)=x2-8x+15,所以a-8a16+15=15,解得a16=0或a16=8, 當(dāng)a16=0時(shí),a8-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=3, 得ai

5、+1-ai(1≤i≤7,i∈N*)的值有2個(gè)為-1,5個(gè)為1; 由a16-a8=(a9-a8)+(a10-a9)+…+(a16-a15)=-4, 得ai+1-ai(8≤i≤15,i∈N*)的值有6個(gè)為-1,2個(gè)為1. 所以此時(shí)數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為CC=588, 同理可得當(dāng)a16=8時(shí),數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為CC=588. 綜上,數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為2CC=1 176. 答案: 1 176 4.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為A,離心率為,點(diǎn)B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),△ABF1面積的最大值為. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F1的直線l與橢圓

6、C相交于不同的兩點(diǎn)M,N,線段MN的中垂線為l′.若直線l′與直線l相交于點(diǎn)P,與直線x=2相交于點(diǎn)Q,求的最小值. 解:(1)由已知得e==,即a2=2c2. ∵a2=b2+c2,∴b=c. 設(shè)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0(y0≠0), 則S△ABF1=(a-c)·|y0|≤(a-c)b=, 即(b-b)b=-1,∴b=1,a=. ∴橢圓C的方程為+y2=1. (2)由(1)可知F1(-1,0), 由題意知直線l的斜率不為0,故設(shè)直線l:x=my-1, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(xP,yP),Q(2,yQ). 聯(lián)立,得消去x, 得(m2+2)y2-2my-1=0,

7、 此時(shí)Δ=8(m2+1)>0, ∴y1+y2=,y1y2=-. 由弦長公式,得|MN|=|y1-y2| = =2·. 又yP==,∴xP=myP-1=, ∴|PQ|=|xP-2|=·, ∴==·=(+)≥2, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即m=±1時(shí)等號(hào)成立, ∴當(dāng)m=±1,即直線l的斜率為±1時(shí),取得最小值2. 5.已知函數(shù)f(x)=xln x+ax+1,a∈R. (1)當(dāng)x>0時(shí),若關(guān)于x的不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍; (2)當(dāng)n∈N*時(shí),證明:<(ln 2)2+2+…+2<. 解:(1)由f(x)≥0,得xln x+ax+1≥0(x>0), 即-a≤ln x+恒

8、成立,即-a≤min. 令F(x)=ln x+(x>0),則F′(x)=-=, ∴函數(shù)F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增, ∴函數(shù)F(x)=ln x+的最小值為F(1)=1, ∴-a≤1,即a≥-1, ∴a的取值范圍是[-1,+∞). (2)證明:∵為數(shù)列的前n項(xiàng)和,為數(shù)列的前n項(xiàng)和, ∴只需證明<2<即可. 由(1)知,當(dāng)a=-1時(shí),xln x-x+1≥0,即ln x≥1-, 令x=>1,得ln >1-=, ∴2>2>. 現(xiàn)證明2<, 即2ln <== - .(*) 現(xiàn)證明2ln x<x-(x>1), 構(gòu)造函數(shù)G(x)=x--2ln x(x>1), 則G′(x)=1+-=>0, ∴函數(shù)G(x)在(1,+∞)上是增函數(shù), 即G(x)>G(1)=0, 即2ln x<x-成立. 令x= ,則(*)式成立. 綜上,得<2<. 對(duì)數(shù)列,,分別求前n項(xiàng)和,得<(ln 2)2+2+…+2<.

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