2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪（文） 第三章 3-5兩角和與差的三角函數(shù)值《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪（文） 第三章 3-5兩角和與差的三角函數(shù)值《教案》 1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β))； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β))； tan(α－β)＝　(T(α－β))； tan(α＋β)＝　(T(α＋β))． 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin α

2、cos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. 3．在準確熟練地記住公式的基礎上，要靈活運用公式解決問題：如公式的正用、逆用和變形用等．如T(α±β)可變形為 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1. 【思考辨析】 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)存在實數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　) (2)在銳角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不確定．(　×　) (3)公式

3、tan(α＋β)＝可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對任意角α，β都成立．(　×　) (4)存在實數(shù)α，使tan 2α＝2tan α.(　√　) (5)設sin 2α＝－sin α，α∈(，π)，則tan 2α＝.(　√　) 1．(xx·浙江改編)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α＝ . 答案?。? 解析　∵sin α＋2cos α＝， ∴sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝. 化簡得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝＝－. 2．若＝，則tan 2α＝

4、 . 答案　 解析　由＝，等式左邊分子、分母同除cos α得，＝，解得tan α＝－3， 則tan 2α＝＝. 3．(xx·課標全國Ⅱ)設θ為第二象限角，若tan＝，則sin θ＋cos θ＝ . 答案?。? 解析　∵tan＝，∴tan θ＝－， 即且θ為第二象限角， 解得sin θ＝，cos θ＝－. ∴sin θ＋cos θ＝－. 4．(xx·課標全國Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值為 ． 答案　1 解析　∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ) ＝sin[(x＋φ)＋φ

5、]－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x， ∴f(x)的最大值為1. 題型一　三角函數(shù)公式的基本應用 例1　(1)設tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的兩根，則tan(α＋β)的值為 ． (2)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝， cos(－)＝，則cos(α＋)＝ . 答案　(1)－3　(2) 解析　(1)由根與系數(shù)的關系可知 tan α＋tan

6、 β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝＝＝－3. (2)cos(α＋) ＝cos[(＋α)－(－)] ＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)． ∵0<α<， 則<＋α<， ∴sin(＋α)＝. 又－<β<0， 則<－<， 則sin(－)＝. 故cos(α＋)＝×＋×＝. 思維升華　三角函數(shù)公式對使公式有意義的任意角都成立．使用中要注意觀察角之間的和、差、倍、互補、互余等關系． 　(1)若α∈(，π)，tan(α＋)＝，則sin α＝ . (2)計算：－sin 10°(－tan 5°)＝ . 答案　(

7、1)　(2) 解析　(1)∵tan(α＋)＝＝， ∴tan α＝－＝， ∴cos α＝－sin α. 又∵sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＝. 又∵α∈(，π)，∴sin α＝. (2)原式＝－sin 10°· ＝－ ＝ ＝ ＝ ＝. 題型二　三角函數(shù)公式的靈活應用 例2　(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值為 ． (2)化簡：＝ . (3)求值：＝ . 答案　(1)　(2)cos 2x　(3) 解析　(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－

8、20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝. (2)原式＝ ＝＝ ＝＝cos 2x. (3)原式＝＝ ＝tan(45°＋15°)＝. 思維升華　運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多種變形等．公式的逆用和變形應用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉化的能力． 　(1)已知α∈(0，π

9、)，化簡：＝ . (2)在△ABC中，已知三個內角A，B，C成等差數(shù)列，則tan＋tan＋tantan的值為 ． 答案　(1)cos α　(2) 解析　(1)原式＝ . 因為α∈(0，π)，所以cos>0， 所以原式＝ ＝(cos＋sin)·(cos－sin)＝cos2－sin2＝cos α. (2)因為三個內角A，B，C成等差數(shù)列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan ＝， 所以tan ＋tan ＋tan tan ＝tan＋tan tan ＝＋tan tan ＝. 題型三　三角函數(shù)公式運用中角的變換 例3　(1)已知α，β均為銳

10、角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.則sin(α－β)＝ ，cos β＝ . (2)(xx·課標全國Ⅱ改編)已知sin 2α＝，則cos2＝ . 答案　(1)－　　(2) 解析　(1)∵α，β∈(0，)，從而－<α－β<. 又∵tan(α－β)＝－<0， ∴－<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝. ∵α為銳角，sin α＝，∴cos α＝. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×(－)＝. (2)因為cos2＝ ＝＝， 所以cos2

11、＝＝＝. 思維升華　1.解決三角函數(shù)的求值問題的關鍵是把“所求角”用“已知角”表示．(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；(2)當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”． 2．常見的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等． 　(1)設α、β都是銳角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，則cos β＝ . (2)已知cos(α－)＋sin α＝，則sin(α＋)的值是 ． 答案　(1)　

12、(2)－ 解析　(1)依題意得sin α＝＝， cos(α＋β)＝±＝±. 又α，β均為銳角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因為>>－， 所以cos(α＋β)＝－. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝. (2)∵cos(α－)＋sin α＝， ∴cos α＋sin α＝， (cos α＋sin α)＝， sin(＋α)＝， ∴sin(＋α)＝， ∴sin(α＋)＝－sin(＋α)＝－. 高考中的三角函數(shù)求值、化簡問題 典例：(1)若tan 2θ＝－2，π<

13、2θ<2π，則＝ . (2)(xx·課標全國Ⅰ改編)設α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，則2α－β＝ . (3)已知α為第二象限角，sin α＋cos α＝，則cos 2α＝ . (4)＝ . 思維點撥　(1)注意和差公式的逆用及變形． (2)“切化弦”，利用和差公式、誘導公式找α，β的關系． (3)可以利用sin2α＋cos2α＝1尋求sin α±cos α與sin αcos α的聯(lián)系． (4)利用和角公式將已知式子中的角向特殊角轉化． 解析　(1)原式＝＝， 又tan 2θ＝＝－2，即tan2θ－tan θ

14、－＝0， 解得tan θ＝－或tan θ＝. ∵π<2θ<2π，∴<θ<π.∴tan θ＝－， 故原式＝＝3＋2. (2)由tan α＝得＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)． ∵α∈(0，)，β∈(0，)， ∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)， ∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α， ∴2α－β＝. (3)方法一　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝， ∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－. 又∵α為第二象限角且sin α＋cos α＝>0

15、， ∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)， ∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)， ∴2α為第三象限角， ∴cos 2α＝－＝－. 方法二　由sin α＋cos α＝兩邊平方得1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－. ∵α為第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝ ＝＝. 由得 ∴cos 2α＝2cos2α－1＝－. (4)原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. 答案　(1)3＋2　(2)　(3)－　(4) 溫馨提醒　(1)三角函數(shù)的求值化簡要結合式子特征，靈活運用或變形使用公式．(2)三角求值要注意角的變

16、換，掌握常見的配角技巧． 方法與技巧 1．巧用公式變形： 和差角公式變形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1?tan x·tan y)；倍角公式變形：降冪公式cos2α＝，sin2α＝， 配方變形：1±sin α＝2， 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2. 2．重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適

17、當?shù)娜枪胶愕茸冃危? 失誤與防范 1．運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升次、降次的靈活運用，要注意“1”的各種變通． 2．在(0，π)范圍內，sin(α＋β)＝所對應的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值時，往往要估計角的范圍后再求值. A組　專項基礎訓練 (時間：40分鐘) 1．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan＝ . 答案　 解析　因為α＋＋β－＝α＋β， 所以α＋＝(α＋β)－，所以 tan＝tan ＝＝. 2．若θ∈[，]，sin 2θ＝，則sin θ＝ . 答案　 解析　

18、由sin 2θ＝和sin2θ＋cos2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝＋1＝()2， 又θ∈[，]，∴sin θ＋cos θ＝. 同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝. 3．已知tan α＝4，則的值為 ． 答案　 解析?。?， ∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos2α得＝. 4．(xx·重慶)4cos 50°－tan 40°＝ . 答案　 解析　4cos 50°－tan 40°＝ ＝＝ ＝＝＝. 5．已知cos(x－)＝－，則cos x＋cos(x－)的值是 ． 答案　－1 解析　c

19、os x＋cos(x－)＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝(cos x＋sin x)＝cos(x－)＝－1. 6．＝ . 答案　 解析?。? ＝＝＝. 7．已知α、β均為銳角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，則tan α＝ . 答案　1 解析　根據(jù)已知條件： cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0， 即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0. 又α、β為銳角，則sin

20、 β＋cos β>0， ∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 8.＝ . 答案?。? 解析　原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝－4. 9．已知 － ＝－2tan α，試確定使等式成立的α的取值集合． 解　因為 － ＝ － ＝－ ＝ ＝， 所以＝－2tan α＝－. 所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0. 故α的取值集合為{α|α＝kπ或2kπ＋<α<2kπ＋π或2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}． 10．已知α∈，且sin ＋cos ＝. (1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．

21、解　(1)因為sin ＋cos ＝， 兩邊同時平方，得sin α＝. 又<α<π，所以cos α＝－. (2)因為<α<π，<β<π， 所以－π<－β<－，故－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝. cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－×＋×＝－. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘) 1．函數(shù)y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分圖象如圖所示，設P是圖象的最高點，A，B是圖象與x軸的交點，記∠APB＝θ，則sin 2θ的值是 ． 答案　 解析　由周期公式可知函數(shù)

22、周期為2，∴AB＝2.過P作PD⊥AB于D，由函數(shù)的最大值為1，知PD＝1，根據(jù)函數(shù)的圖象，可得AD＝，BD＝.在Rt△APD和Rt△BPD中，sin∠APD＝，cos∠APD＝，sin∠BPD＝，cos∠BPD＝.所以sin θ＝sin(∠APD＋∠BPD)＝，cos θ＝cos(∠APD＋∠BPD)＝，故sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝. 2．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，則tan α的值為 ． 答案　 解析　∵α∈，且sin2α＋cos 2α＝， ∴sin2α＋cos2α－sin2α＝，∴cos2α＝， ∴cos α＝或－(舍去)， ∴α＝

23、，∴tan α＝. 3．若tan θ＝，θ∈(0，)，則sin(2θ＋)＝ . 答案　 解析　因為sin 2θ＝＝＝， 又由θ∈(0，)，得2θ∈(0，)， 所以cos 2θ＝＝， 所以sin(2θ＋) ＝sin 2θcos＋cos 2θsin＝×＋×＝. 4．已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值； (2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求證：[f(β)]2－2＝0. (1)解　∵f(x)＝sin＋cos ＝sin＋sin＝2sin， ∴T＝2π，f(x)的最小值為－2. (2)證

24、明　由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝， cos βcos α－sin βsin α＝－， 兩式相加得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤，∴β＝， ∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0. 5．已知f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)·sin(x－)． (1)若tan α＝2，求f(α)的值； (2)若x∈[，]，求f(x)的取值范圍． 解　(1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sin· cos ＝＋sin 2x＋sin ＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x ＝(sin 2x＋cos 2x)＋. 由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝. cos 2α＝＝＝－. 所以，f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝. (2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋ ＝sin＋. 由x∈，得≤2x＋≤. 所以－≤sin≤1,0≤f(x)≤， 所以f(x)的取值范圍是.