（江蘇專版）2018年高考數學二輪復習 第2部分 八大難點突破 難點5 復雜數列的通項公式與求和問題學案

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1、 難點五　復雜數列的通項公式與求和問題 (對應學生用書第71頁) 數列在高考中占重要地位，應當牢記等差、等比的通項公式，前n項和公式，等差、等比數列的性質，以及常見求數列通項的方法，如累加、累乘、構造等差、等比數列法、取倒數等．數列求和問題中，對于等差數列、等比數列的求和主要是運用公式；而非等差數列、非等比數列的求和問題，一般用倒序相加法、通項化歸法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等．數列的求和問題多從數列的通項入手，通過分組、錯位相減等轉化為等差或等比數列的求和問題，考查等差、等比數列求和公式及轉化與化歸思想的應用，屬中檔題． 一、數列的通項公式 數列的通項公式在數列中占有重要

2、地位，是數列的基礎之一，在高考中，等差數列和等比數列的通項公式，前n項和公式以及它們的性質是必考內容，一般以填空題的形式出現(xiàn)，屬于低中檔題，若數列與函數、不等式、解析幾何、向量、三角函數等知識點交融，難度就較大，也是近幾年命題的熱點． 1．由數列的遞推關系求通項 由遞推關系求數列的通項的基本思想是轉化，常用的方法： (1)an＋1－an＝f (n)型，采用疊加法． (2)＝f (n)型，采用疊乘法． (3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，轉化為等比數列解決． 2．由Sn與an的關系求通項an Sn與an的關系為：an＝ 【例1】　(2017·江蘇省南京市迎一模模擬)已

3、知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＋n＝2an(n∈N*)． (1)證明：數列{an＋1}為等比數列，并求數列{an}的通項公式； (2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，數列{bn}的前n項和為Tn，求滿足不等式＞2 010的n的最小值． [解]　(1)證明：當n＝1時，2a1＝a1＋1，∴a1＝1. ∵2an＝Sn＋n，n∈N*，∴2an－1＝Sn－1＋n－1，n≥2， 兩式相減得an＝2an－1＋1，n≥2，即an＋1＝2(an－1＋1)，n≥2， ∴數列{an＋1}為以2為首項，2為公比的等比數列， ∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1，n∈N*； (2)bn＝

4、(2n＋1)an＋2n＋1＝(2n＋1)·2n， ∴Tn＝3·2＋5·22＋…＋(2n＋1)·2n， ∴2Tn＝3·22＋5·23＋…＋(2n＋1)·2n＋1， 兩式相減可得－Tn＝3·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n＋1)·2n＋1， ∴Tn＝(2n－1)·2n＋1＋2， ∴＞2 010可化為2n＋1＞2 010， ∵210＝1 024,211＝2 048 ∴滿足不等式＞2 010的n的最小值為10. [點評]　利用an＝Sn－Sn－1求通項時，注意n≥2這一前提條件，易忽略驗證n＝1致誤，當n＝1時，a1若適合通項，則n＝1的情況應并入n≥2時的通項；否則an應

5、利用分段函數的形式表示． 二、數列的求和 常見類型及方法 (1)an＝kn＋b，利用等差數列前n項和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比數列前n項和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，數列{bn}，{cn}是等比數列或等差數列，采用分組求和法求{an}的前n項和； (4)an＝bn·cn，數列{bn}，{cn}分別是等比數列和等差數列，采用錯位相減法求和． 【例2】　(揚州市2017屆高三上學期期末)已知數列{an}與{bn}的前n項和分別為An和Bn，且對任意n∈N*，an＋1－an＝2(bn＋1－bn)恒成立． (1)若An＝n2，b1＝2，求Bn； (

6、2)若對任意n∈N*，都有an＝Bn及＋＋＋…＋＜成立，求正實數b1的取值范圍； (3)若a1＝2，bn＝2n，是否存在兩個互不相等的整數s，t(1＜s＜t)，使，，成等差數列？若存在，求出s，t的值；若不存在，請說明理由. 【導學號：56394102】 [解]　(1)因為An＝n2，所以an＝ 即an＝2n－1， 故bn＋1－bn＝(an＋1－an)＝1，所以數列{bn}是以2為首項，1為公差的等差數列， 所以Bn＝n·2＋·n·(n－1)·1＝n2＋n. (2)依題意Bn＋1－Bn＝2(bn＋1－bn)，即bn＋1＝2(bn＋1－bn)，即＝2， 所以數列{bn}是以b1

7、為首項，2為公比的等比數列，所以an＝Bn＝×b1＝b1(2n－1)， 所以＝， 因為＝ ＝ 所以＋＋＋…＋ ＝，所以＜恒成立， 即b1＞3，所以b1≥3. (3)由an＋1－an＝2(bn＋1－bn)得：an＋1－an＝2n＋1， 所以當n≥2時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝2n＋2n－1＋…＋23＋22＋2＝2n＋1－2， 當n＝1時，上式也成立， 所以An＝2n＋2－4－2n，又Bn＝2n＋1－2， 所以＝＝2－， 假設存在兩個互不相等的整數s，t(1＜s＜t)，使，，成等差數列， 等價于，，成

8、等差數列，即＝＋， 即＝1＋，因為1＋＞1，所以＞1，即2s＜2s＋1， 令h(s)＝2s－2s－1(s≥2，s∈N*)，則h(s＋1)－h(huán)(s)＝2s－2＞0所以h(s)遞增， 若s≥3，則h(s)≥h(3)＝1＞0，不滿足2s＜2s＋1，所以s＝2， 代入＝＋得2t－3t－1＝0(t≥3)， 當t＝3時，顯然不符合要求； 當t≥4時，令φ(t)＝2t－3t－1(t≥4，t∈N*)，則同理可證φ(t)遞增，所以φ(t)≥φ(4)＝3＞0， 所以不符合要求． 所以，不存在正整數s，t(1＜s＜t)，使，，成等差數列． [點評]　裂項相消法求和就是將數列中的每一項裂成兩項或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項，保留了哪些項．從而達到求和的目的．要注意的是裂項相消法的前提是數列中的每一項均可分裂成一正一負兩項，且在求和過程中能夠前后相互抵消． 4