高三數(shù)學(xué) 集合與充要條件

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. ------------------------------------------author ------------------------------------------date 高三數(shù)學(xué) 集合與充要條件 高三數(shù)學(xué) 集合與充要條件 精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義 講義編號(hào) 09sh5sx005768 學(xué)員編號(hào)： hsh10

2、 年 級(jí)：高三 課 時(shí) 數(shù)： 3 學(xué)員姓名： 藏漪雯 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師： 潘文波 學(xué)科組長(zhǎng)簽名及日期 2009-10-14江燕 教務(wù)長(zhǎng)簽名及日期 課 題 35集合與充要條件 授課時(shí)間：2009-10-17 備課時(shí)間： 2009-10-14 教學(xué)目標(biāo) 1. 集合的概念，表示方法 2. 集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算 3. 子集與推出關(guān)系，充要條件的應(yīng)用 重點(diǎn)、難點(diǎn) 子集與推出關(guān)系，充要條件的應(yīng)用。

3、考點(diǎn)及考試要求 集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算。子集與推出關(guān)系，充要條件的應(yīng)用，分類(lèi)討論思想解題，數(shù)形結(jié)合的方法解題。 教學(xué)內(nèi)容 一、知識(shí)點(diǎn)講解 1.集合的有關(guān)概念 集合的三要素：確定性，互異性，無(wú)序性。 2.元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系 （1）元素與集合：“∈”或“”. （2）集合與集合之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系. 3.集合的運(yùn)算 （1）交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集，記為A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}. （2）并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的并集，記為

4、A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}. （3）補(bǔ)集：一般地，設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集（即AS），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做子集A在全集S中的補(bǔ)集（或余集），記為S A，即S A={x|x∈S且xA}. 4.邏輯聯(lián)結(jié)詞 （1）命題：可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題. （2）邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞. （3）簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫做復(fù)合命題. （4）真值表：表示命題真假的表叫真值表. 5.四種命題 （1）四種命題 原命題：如果p，那么q（或若p則q）；逆命題：若q則p

5、； 否命題：若p則q；逆否命題：若q則p. （2）四種命題之間的相互關(guān)系 這里，原命題與逆否命題，逆命題與否命題是等價(jià)命題. 6. 充要條件： 例1：在①1{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}{0,1,2};④{0}上述四個(gè)關(guān)系中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ ） (A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè) 變式1：下列八個(gè)關(guān)系式①{0}=，②=0，③{}，④{}，(5){0}，(6)0，（7）{0}， （8）{}，其中正確的個(gè)數(shù)：（ ） A.4

6、 B.5 C.6 D.7 2設(shè)集合,則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是（ ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8 3. 已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，x?R｝，則M?N＝（ ） A．? B. {x|x31} C.｛x|x>1｝ D. {x| x31或x<0} 4. 方程組的解集是（ ） A . B. C. D

7、. 例2: 以實(shí)數(shù)，，， ，為元素所組成的集合最多含有（ ） A：2個(gè)元素 B：3個(gè)元素 C：4個(gè)元素 D：5個(gè)元素 變式：若ab0.則可能取的值組成的集合是[ ] A．{3} 　　　　　　　　　　　B．{3，2，1} C．{3，1，－1} 　　　　　　　　　　　D．{3，－1} 例3：（1）已知集合A={x|},B={ A={x|}}，且=B，求m的取值范圍。 （2）已知集合與滿足，求所取的一切值. 變式1：已知M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}則M∩N是[ ] A．{0，1} 　

8、　　　　　　　　　　　　　　　B．{(0，1)} C．{1} 　　　　　　　　　　　　　　　　D．以上均不對(duì) 2：設(shè)集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立}，則下列關(guān)系中成立的是 （ ） A.PQ B.QP C.P=Q D.P∩Q=Q 3：若，，試確定集合的關(guān)系. 4：已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值. 例4：命題“若m＞0，則關(guān)于x的方程x2+x－m=0有實(shí)數(shù)根”與它的逆命題、否命

9、題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________________. 變式1：給出命題“已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，若a=b，c=d，則a+c=b+d”，對(duì)其原命題、逆命題、否命題、逆否命題而言，真命題有（ ） A.0個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 2： 命題p:若a、b∈R，則|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要條件； 命題q:函數(shù)y=的定義域是（－∞，－1］∪［3，+∞），則（ ） A.“p或q”為假 B.“p且q”為真 C. p真q假 D. p假q真 例5：集合，，求使成立的

10、實(shí)數(shù)的取值范圍. 變式1：已知A＝｛x｜x2－3 x＋2≤0｝，B＝｛x｜x2－（a＋1）x＋a≤0｝． （1）若AB，求a 的取值范圍； （2）若BA，求a 的取值范圍； （3）若AB中只含有一個(gè)元素，求a 的數(shù)值 2：已知不等式 對(duì)于所有的 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍 3：已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解：由得x2+（m－1）x+1=0. ①；∵A∩B≠，∴方程①在區(qū)間［0，2］上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.首先

11、，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1. 當(dāng)m≥3時(shí)，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有負(fù)根，不符合要求； 當(dāng)m≤－1時(shí)，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有兩個(gè)互為倒數(shù)的正根.故必有一根在區(qū)間（0，1］內(nèi)，從而方程①至少有一個(gè)根在區(qū)間［0，2］內(nèi). 綜上所述，所求m的取值范圍是（－∞，－1］. ★ 4：若B={x|x2－3x+2＜0}，請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使A={x|x2－（a+a2）x+a3＜0}滿足：A∩B=A？若存在，請(qǐng)求出a相應(yīng)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明你的理由. 解：∵B={x|1＜x＜2}，若存在實(shí)數(shù)a，使A∩

12、B=A，則A={x|（x－a）（x－a2）＜0}. （1）若a=a2，即a=0或a=1時(shí)，此時(shí)A={x|（x－a）2＜0}=，滿足A∩B=A，∴a=0或a=1. （2）若a2＞a，即a＞1或a＜0時(shí)，A={x|0＜x＜a2}，要使A∩B=A，則1≤ a≤，∴1＜a≤；（3）若a2＜a，即0＜a＜1時(shí)，A={x|a＜x＜a2}，要使A∩B=A，則1≤a≤2，∴a∈.； 綜上所述，當(dāng)1≤a≤或a=0時(shí)滿足A∩B=A，即存在實(shí)數(shù)a，使A={x|x2－（a+a2）x+ a3＜0}且A∩B=A成立. 例6：（1）設(shè)條件p:關(guān)于x的方程:(1-m2)x2+2mx-1=0的兩根一個(gè)小 于0

13、,一個(gè)大于1,若p是q的必要不充分條件，則條件q可 設(shè)計(jì)為 ( ) A.m∈(-1,1) B.m∈(0,1) C.m∈(-1,0) D.m∈(-2,1) （20.設(shè)兩直線為l1:A1x+B1 y+C1=0, l2:A2x+B2 y+C2=0,(A2B2C2≠0)，則是l1∥l2的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 變式1：.如果甲是乙的必要不充分條件，乙是丙的充要條件，丙是丁的必要非充分條件，則丁是甲的 ( ) A.充分不必

14、要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 2：.關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是 ( ) A.0≤a≤1 B.a<1 C.a≤1 D.02或m<0. 8.C 當(dāng)A2B2C2≠0時(shí),l1∥l2. 9.A 因丁丙乙甲，故丁甲(傳遞性) 10.C 若Δ=0則4-4a=0,a=1滿足條件，當(dāng)Δ>0時(shí),4

15、-4a>0a<1.綜合即得. 3：已知條件p:A={x|x2+ax+1≤0},條件q:B={x|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 由條件知B=［1,2］,∵AB且A≠B,或者A= , 故方程x2+ax+1=0無(wú)實(shí)根或者兩根滿足:1≤x1,x2≤2,當(dāng)Δ<0時(shí),a 2-4<0-2

16、A． B． C． D． 2．已知集合M={x|x=3m+1,mZ},N={y|y=3n+2, nZ},若x0M，y0N,則x0y0與集合M，N的關(guān)系是（ ） A．x0y0M但N B．x0y0 N但M C．x0y0M且N D．x0y0M且N 3．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},M={3,4,5},N={1,3,6},則集合{2,7}=（ ） A．MN B． C． D．MN 4．關(guān)于x的不等式|x-1|>m的解集為R的充要條件

17、是（ ） A．m＜0 B．m≤-1 C．m≤0 D．m≤1 5．集合M={ m|m=2a-1,aZ }與N={ n|n=4b1,bZ }之間的關(guān)系是（ ） A． MN B．MN C． M= N D．M 6．已知集合A={ y|y=,x＞1`},B={ y|y=, x＞1 },則AB等于（ ） A．{y|0＜y＜} B．{y|y>0} C． D．R 7．不等式|x|(1-2x) ＞0的解集是（ ） A． B．

18、C． D． 8．設(shè)p、q為簡(jiǎn)單命題，則“p且q”為假是“p或q”為假的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 9．如果命題“”為假命題，則（ ） A．p、q均為真命題 B．p、q均為假命題 C．p、q中至少有一個(gè)為真命題 D．p、q中至多有一個(gè)為真命題 10．條件p：|x+1>2|，條件：，則的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C充要條件 D．既不充分又不必要條件 11．已知集合M={}，N={}

19、，P={}，則下列關(guān)系式中成立的是（ ） A．PNM B．P=NM C. PN=M． D．P=N=M 12．已知集合，，若MN=N，則實(shí)數(shù)的值是（ ） A．1 B．-1 C．1或-1 D．0、1或-1 二、 填空題（每小題4分，共16分） 13．滿足集合AB={1，2}的A、B的對(duì)數(shù)有_____對(duì)。 14．設(shè)A={}，用列舉法表示A為_(kāi)____。 15．已知集合M={}，集合P={}，則MP=的充要條件是_____。 16．有系列四個(gè)命題： ①命題“若xy=1”, 則

20、“x,y互為倒數(shù)”的逆命題； ②命題“面積相等的三角形全等”的否命題； ③④命題“若有實(shí)根”的逆否命題； 命題“若，則”的逆否命題。 其中是真命題的是________（填上你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)）。 三、 解答題（本大題共6小題，共74分） 17．（12分）用反證法證明：若，且，則x、y、z中至少有一個(gè)不小于0。 18．（14分）某校高中部先后舉行了數(shù)理化三科競(jìng)賽，學(xué)生中至少參加一科競(jìng)賽的有：數(shù)學(xué)807人，物理739人，化學(xué)437人，至少參加其中兩科的有：數(shù)學(xué)與化學(xué)371人，物理與化學(xué)267人，三科都參加的有213人，試計(jì)算參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)。 19．（12分）設(shè)集合A

21、=，B=，若AB=，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 20．（12分）已知a<1，解關(guān)于x的不等式。 21．（12分）已知關(guān)于x的不等式的解集為M。 ①當(dāng)a=4時(shí)，求集合M； ②當(dāng)3且5，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 22．（12分）給出下列兩個(gè)命題： P：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增 Q：不等式的解集為，若P、Q有且只有一個(gè)正確，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 參考答案 一、 選擇題：1.D 2 .B. 3.B 4.A 5.C 6.B 7.B 8.B 9.C 10.A 11.A 12.D 二、 填空

22、題：13、9 14、 15、或 16、①、②、③ 三、 解答題 17．（本題12分） 證明： 假設(shè)、、均小于0，即： ----① ； ----② ； ----③； ①+②+③相加得， 這與矛盾， 則假設(shè)不成立，∴、、中至少有一個(gè)不小于0。 18．解：由公式或如圖填數(shù)字計(jì)算 Card(ABC)= Card(A)+ Card(B)+ Card(C)- Card(AB) - Card(AC) - Card(CB)+ Card(ABC) 19

23、．解： ， 實(shí)數(shù)a的取值范圍是： 20．解：不等式可化為． ∵，∴，故原不等式可化為， 故當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為 故當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為． 21．解：（Ⅰ）當(dāng)a = 4時(shí)，原不等式可以化為，即 故 M為 （Ⅱ）由3∈M得： ①，且 ② 由①②得： 22．解：依題意，P正確的a的取值范圍為0