新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)基本不等式及其應(yīng)用

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí) 基本不基本不等式及其應(yīng)用等式及其應(yīng)用第1頁(yè)/共46頁(yè)311.1.1xyxx若，則的最小值是21111111121131111213.xyxxxxxxxxyxx 因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，解析即時(shí)，等號(hào)成立所以的最小值是：第2頁(yè)/共46頁(yè)4 11lglg42lgl.gxyxyxy已知，且，則的最大值是211lg0lg0lglg()42100lglg4.xyxylgxlgyxyxyxy因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)取“ ”，所以的最解大值是析：第3頁(yè)/共46頁(yè)3.233.ababab若實(shí)數(shù) 、 滿足，則的最小值是62332 332 36.a

2、baba bab因?yàn)?，所以解釋?zhuān)旱?頁(yè)/共46頁(yè)62302.40.xyxyxy已知 ， ，且，則的最小值是2362322(1)6(23)xyxyxyxyxy因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 所以當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)析：取等號(hào)解第5頁(yè)/共46頁(yè)4).1(.59axyxxyya已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù) ，恒成立，則正實(shí)數(shù) 的最小值為21()1121()9912(1)134.4.axyxyaaxyyxaaaxyxyaaaaaa 因?yàn)椋?且， 所以， 所以，即所以 的最小析值為解：第6頁(yè)/共46頁(yè)利用基本不等式利用基本不等式的轉(zhuǎn)化求最值的轉(zhuǎn)化求最值【例1】已知x0，y0，且2x8yxy0，求xy的最小值及此時(shí)x、y的值

3、第7頁(yè)/共46頁(yè)8228018282()()10+8210+2=18822821126.12618.xyxyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy因?yàn)?，所以 ，所以 當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)，等號(hào)成立又 ，所以 ， 故當(dāng) ， 時(shí)， 的最【小值是解析】第8頁(yè)/共46頁(yè) 本題是一個(gè)二元條件最值問(wèn)題，看似平淡，但思想方法深刻、解法靈活多樣，本解法是其中之一對(duì)于xy與xy在同一等式中出現(xiàn)的問(wèn)題往往可以利用基本不等式“ ”將它們聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行放縮，以此來(lái)求取值范圍是非常有效的2xyxy第9頁(yè)/共46頁(yè)52(1)1xxyxx 求函數(shù) 【變的式練習(xí)1】最大值104145402 4=4451

4、21231.xttttyttttttytxx 令 ，則，則 ，因?yàn)?，所?，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ， 時(shí)取 ，故函數(shù)的最大【解值為析】第10頁(yè)/共46頁(yè)注意基本不 等注意基本不 等式的適用條件式的適用條件224sin2.sinyxx【求】的最小值例第11頁(yè)/共46頁(yè)222222222222222222224131sinsinsinsinsin1sinsin1sin11sin2 sin2sinsin1sin1sin2.sin33sin133.sinsin4sin5.sinyxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxx方法 ： ，當(dāng)，即時(shí)，可以取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，的最小值是又當(dāng)時(shí)， ，即的最小值是所以

5、函數(shù) 的最【】小值是解析第12頁(yè)/共46頁(yè)2222min42sin01441.011040,1415.3sin01.40,215.txtyttytyttytttytttxtyttty 方法 ：令 ，則， ，所以 當(dāng)時(shí)， ，即 在上是減函數(shù)，所以當(dāng) 時(shí)， 的最小值是方法 ：令 ，則因?yàn)楹瘮?shù) 在上是減函數(shù)，所以，當(dāng) 時(shí)，第13頁(yè)/共46頁(yè)22222“2”44sin2 sin4sinsin4sin2xyxyyxxyxxx 本題是利用基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題用基本不等式時(shí)，要注意 正、定、等 三要素缺一不可！下面的解法太有誘惑力了：，因此 的最小值是 ，為什么不對(duì)呢？因?yàn)榈忍?hào)只有在 才能取到，而這是

6、不可能的！這類(lèi)問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)方法求解是非常有效的第14頁(yè)/共46頁(yè) 2212212122bcRf xxxxbxcg xxf x已知 、，在區(qū)間，上，函數(shù) 與函數(shù)在同一點(diǎn)取得相同的最小值，求在區(qū)間【變，上的式練習(xí) 】最大值第15頁(yè)/共46頁(yè) 22221111213113.4( )()24xxg xxxxxxxxxg xf xg xbcbf xxbxcx因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，“”成立，即的最小值為【因?yàn)榕c在同一點(diǎn)處取得相同最小值，而的圖象是開(kāi)口向上的解析】拋物線，第16頁(yè)/共46頁(yè) 221122124234.41(1)3.2224.f xbcbbcf xxxxf x且，所以只能在頂點(diǎn)處取得最小值

7、，所以，即 時(shí)， ，所以 所以 又，所以當(dāng) 時(shí)，的最大值為第17頁(yè)/共46頁(yè)利用基本不等式利用基本不等式解實(shí)際問(wèn)題解實(shí)際問(wèn)題【例3】某種汽車(chē)的購(gòu)車(chē)費(fèi)用是10萬(wàn)元，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)約為0.9萬(wàn)元，維修費(fèi)第一年是0.2萬(wàn)元，以后逐年遞增0.2萬(wàn)元，問(wèn)這種汽車(chē)使用多少年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最?。康?8頁(yè)/共46頁(yè)*2()0.20.20.20.220.20.2100.9100.1210101213 (101010)103.10 x xyxxxxxxxxyxxxxxxxxyN設(shè)使用年的年平均費(fèi)用為 萬(wàn)元，由已知條件可知年維修費(fèi)構(gòu)成一個(gè)以萬(wàn)元為首項(xiàng)， 萬(wàn)元為公差的等差數(shù)列，因此使用 年的總維

8、修費(fèi)用為萬(wàn)元，所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào) 所以當(dāng) 時(shí)， 取最小值答：這種汽車(chē)使用 年時(shí)，【解析】年平均費(fèi)用最小第19頁(yè)/共46頁(yè) 解決應(yīng)用題時(shí)，先要認(rèn)真閱讀題目，理解題意，處理好題目中的數(shù)量關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法加以解決 第20頁(yè)/共46頁(yè)【變式練習(xí)3】2008年5月12日四川省汶川縣發(fā)生了8.0級(jí)大地震，牽動(dòng)了全國(guó)各地人民的心為了安置廣大災(zāi)民，抗震救災(zāi)指揮部決定建造一批簡(jiǎn)易房(每套長(zhǎng)方體狀，房高2.5米)，前后墻用2.5米高的彩色鋼板，兩側(cè)用2.5米高的復(fù)合鋼板，兩種鋼板的價(jià)格都用長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算(即鋼板的高均為2.5米，用鋼板的長(zhǎng)度乘以單價(jià)就是這

9、塊鋼板的價(jià)格)，每米單價(jià)：彩色鋼板為450元，復(fù)合鋼板為200元第21頁(yè)/共46頁(yè)房頂用其他材料建造，每平方米材料費(fèi)為200元每套房材料費(fèi)控制在32000元以?xún)?nèi)，試計(jì)算：(1)設(shè)房前面墻的長(zhǎng)為x，兩側(cè)墻的長(zhǎng)為y，所用材料費(fèi)為P，試用x，y表示P；(2)求簡(jiǎn)易房面積S的最大值是多少？并求S最大時(shí)，前面墻的長(zhǎng)度應(yīng)設(shè)計(jì)為多少米？第22頁(yè)/共46頁(yè) 124502200200900400200900400200.2320002009004002002 900 400PxyxyxyxyPxyxySxyPPSxySS，即 依題意， ，且，則可得 【解析】，第23頁(yè)/共46頁(yè)2200120032000()61

10、60001010090040010020.3100203SSPSSSSxyxyxSS得，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)， 取最大值答：簡(jiǎn)易房面積 的最大值為平方米，此時(shí)前面墻的長(zhǎng)度應(yīng)設(shè)計(jì)為米第24頁(yè)/共46頁(yè)11.(3)3_yxxx 函數(shù) 的值域是(，15，) 13333231232354(15)yxxxyxxyx ，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)取“”；當(dāng)時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)取“”，所以函數(shù)的值域是 ，析】，【解第25頁(yè)/共46頁(yè)2.若log2xlog2y4，則xy的最小值為 _.222logloglog4162848.xyxyxyxyxyxyxy因?yàn)?，所以 ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，“【”成立故 的】最小值為解析8第

11、26頁(yè)/共46頁(yè)6 223,7.3.af xxxxA已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則此函數(shù)的最小值是第27頁(yè)/共46頁(yè) 223,7734.42022-24 22262646.af xxxxAaaxf xxxxxx 函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，所以 因?yàn)?，所以?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故此函數(shù)的解最小值是析：第28頁(yè)/共46頁(yè) 220041.1112loglog4.xyxyxyxy已知，且 求 的最小值；求的最大值第29頁(yè)/共46頁(yè) 11111()(4)44525925941163119.xyxyxyyxyxxyxyyxxyxyxy因?yàn)?， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即 ， 時(shí)取等號(hào)所以 的最小【解值為析】第30頁(yè)/共46頁(yè)

12、22222222212 loglogloglog (4)41 41log () log4421611482loglog4.xyxyx yxyxyxyxy ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ， 時(shí)取等號(hào)所以的最大值為第31頁(yè)/共46頁(yè) 422.4812213.45.xxf xf xxabf abb設(shè)函數(shù)求的最大值及此時(shí)的 的值；證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù) 、 ，恒有 第32頁(yè)/共46頁(yè) 42216 2148281616162 2884 222 22282232 2.2xxxxxxxxxf xxxf x 【解，+當(dāng)且僅當(dāng) .即 時(shí)，的最大值為析】第33頁(yè)/共46頁(yè) 2222221923(3)3443()3322133.4

13、12 2.2 23213.4bbbbbbbf xabf abb證明：因?yàn)?，所以 的最小值為由知，的最大值為而，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù) 、 ，恒有 第34頁(yè)/共46頁(yè) 本節(jié)內(nèi)容是不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，主要從三個(gè)方面考查：一是利用基本不等式求兩個(gè)正數(shù)的和的最小值，或積的最大值，或者將一個(gè)式子轉(zhuǎn)化為可以利用基本不等式求最值的問(wèn)題；二是利用基本不等式比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(或代數(shù)式)的大小或證明不等式(放縮法等)；三是將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題構(gòu)造成函數(shù)模型，利用基本不等式來(lái)解決第35頁(yè)/共46頁(yè) 12“”1 2 3 xyxyxyxy利用基本不等式時(shí)，要注意 正、定、等 三要素正，即 ， 都是正數(shù)；定 ，即不等式另一邊為定值；等

14、，即當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取 第36頁(yè)/共46頁(yè)2sin0sinsin2 22 2sin2sin22sinxyxxyxxxxx如：當(dāng)時(shí)，雖然有 ，但并不是 的最小值，因?yàn)椴豢赡艹闪⒂秩纾翰⒉灰欢ㄓ?，因?yàn)?的符號(hào)沒(méi)有確定第37頁(yè)/共46頁(yè) 22“”00121xyxyxyxyxy利用基本不等式時(shí)，要注意 積定和最小，和定積最大 這一口訣，并適當(dāng)運(yùn)用拆、拼、湊等技巧但應(yīng)注意，一般不要出現(xiàn)兩次不等號(hào)例如：已知，且 ，求 的最小值第38頁(yè)/共46頁(yè)10011216.22002213113216.xyxyxyxyxyxxyyxyxy方法 ：因?yàn)?，?，所以當(dāng) 時(shí)，的最小值為方法 ：因?yàn)?，由，得，所?的最小值為第

15、39頁(yè)/共46頁(yè)3121212224 2214 2.xyxyxyxyxyxy方法 ：因?yàn)?，所以，所以 ，所以 的最小值為第40頁(yè)/共46頁(yè)123221221221xyxyxyxyxyxyxyxy三種方法似乎都有道理，但結(jié)果卻不一樣，哪一種對(duì)呢？其實(shí)三種都不對(duì)方法 、方法 都是誤用了等號(hào)成立的條件；方法 中， 是當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“”，而是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”， 與不可能同時(shí)成立，所以錯(cuò)了第41頁(yè)/共46頁(yè)00121212()() 323232 222 22112132 2.xyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxxyyxyxy本題比較好的方法是：因?yàn)?，?，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“ ” 成立，所以 的最小值為 第42頁(yè)/共46頁(yè) 2223122()2130242.xyxyxyxyxxxxyxyyx記住下列結(jié)論，對(duì)解題是有幫助的：；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng) 、 同號(hào)時(shí)， 第43頁(yè)/共46頁(yè) 40031_2_.ababa bababababab當(dāng)兩個(gè)正數(shù) 、 的和 與積出現(xiàn)在同一個(gè)式子中時(shí)，可以利用基本不等式互相轉(zhuǎn)化來(lái)求取值范圍如：已知，且 ，則；就可以這樣來(lái)求：第44頁(yè)/共46頁(yè) 221323(3)(1)0.1099)23()2()4() 12066)ababababababababababababababab因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以 ，所以 ，所以 ，第45頁(yè)/共46頁(yè)