新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)歸納法

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí)新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)理第一輪總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)歸數(shù)學(xué)歸納法納法第1頁(yè)/共50頁(yè)21xx212*“11(1)111.nnxxxxxnnxN用數(shù)學(xué)歸納法證明，”，驗(yàn)證成立時(shí)，左邊的項(xiàng)是解析：當(dāng)n=1時(shí)，左邊式子是二次式，為1+x+x2.第2頁(yè)/共50頁(yè)2.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k+1邊形的內(nèi)角和f(k+1)=f(k)+_.解析：由凸k邊形到凸k+1邊形，增加了一個(gè)三角形，故f(k+1)=f(k)+p .p第3頁(yè)/共50頁(yè)21*1 11211211122221()12121112221-2211122221-22113.nnkkkkkknnnknknkn N 用數(shù)

2、學(xué)歸納法證明：的過(guò)程如下： 當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；假設(shè)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等式成立由此可知，對(duì)任何自然數(shù) ，等式都成立上述證明錯(cuò)在何處？1nknk 由時(shí)等式成立，推導(dǎo)時(shí)等式成立，未用歸納假設(shè)第4頁(yè)/共50頁(yè)4.一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題，如果驗(yàn)證n=1時(shí)命題成立，并在假設(shè)n=k(k1)時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了n=k+2時(shí)命題成立，那么論證過(guò)程到此為止只說(shuō)明該命題對(duì)_一切正奇數(shù)都成立解析：上述論證過(guò)程，只說(shuō)明對(duì)n=1,3,5,7，命題成立，并不能說(shuō)明命題對(duì)n=2,4,6，這些偶數(shù)能否成立，故這樣的論證只能說(shuō)明命題對(duì)一切正奇數(shù)都成立第5頁(yè)/共50頁(yè)5 . 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證

3、明 對(duì) 任 意 n N*， 有34n+2+52n+1能被14整除的過(guò)程中，當(dāng)n=k+1時(shí)，34 ( k + 1 ) + 2+ 52 ( k + 1 ) + 1應(yīng) 該 變 形 為_(kāi).解析： 因?yàn)閚=k+1時(shí)的證明過(guò)程，要用歸納假設(shè)n=k時(shí)，34k+2+52k+1能被14整除，所以34(k+1)+2+52(k+1)+1=8134k+2+2552k+1=25(34k+2+52k+1)+5634k+2.25(34k+2+52k+1)+5634k+2第6頁(yè)/共50頁(yè)數(shù)學(xué)歸納法在證數(shù)學(xué)歸納法在證明等式中的應(yīng)用明等式中的應(yīng)用【例1】是否存在常數(shù)a、b、c使得等式。122+232+n(n+1)2= (an2+

4、bn+c)對(duì)一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論.(1)12n n第7頁(yè)/共50頁(yè), , 243 424411. 937010abcnnabcaabcbabcc1 2 3假設(shè)存在常數(shù) 、 、 使得等式對(duì)一切正整數(shù) 都成立，則對(duì)等式都成立，即，解得【解析】第8頁(yè)/共50頁(yè)(1)12n n22(1)(31110)(1)(2)12k kkkkk2(1)(31110)12k kkk第9頁(yè)/共50頁(yè)(1)12k k (1)(2)12kk(1)(2)12kk(1)(2)12kk(1)12n n第10頁(yè)/共50頁(yè) 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，要清楚等式兩邊的結(jié)構(gòu)，特別是由nk到nk1等式兩邊發(fā)生了怎樣的變化，項(xiàng)數(shù)增

5、加了多少項(xiàng)，這是正確解答問(wèn)題的關(guān)鍵 第11頁(yè)/共50頁(yè)【變式練習(xí)1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 111111111234212122nnnnn第12頁(yè)/共50頁(yè)【證明】 (1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊= ，命題成立 (2)假設(shè)n=k時(shí)，命題成立， 即 .那么當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊12111111234212111122nnnnn111111112342122122111111222122kkkkkkkkk 第13頁(yè)/共50頁(yè)數(shù)學(xué)歸納法在證明數(shù)學(xué)歸納法在證明整除問(wèn)題中的應(yīng)用整除問(wèn)題中的應(yīng)用 【例2】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(3x)n(nN*)能夠被x2整除 第14頁(yè)/共50頁(yè) 111 (3)(

6、2)2121 (3)21 (3)(2)1kknxxxnnkxxxxf xf xxk當(dāng) 時(shí)， 能夠被 整除，所以 時(shí)命題成立；假設(shè)當(dāng) 時(shí)，命題成立，即 能夠被 整除，則可設(shè) ，其中是 的 次【證明】多項(xiàng)式第15頁(yè)/共50頁(yè) 1*211 (3)1 (3)(3)1 (3)1 (2) 1 (3)(3)(2)(2)(3)(2)(2) 1 (3)2121 (3) (N )2kknnkxxxxxf xxx xf xxx xf xxx f xxxnx則當(dāng) 時(shí)， ，能夠被 整除綜合知， 能夠被 整除第16頁(yè)/共50頁(yè) 整除問(wèn)題的證明一般是將nk1時(shí)的結(jié)論設(shè)法用nk時(shí)的結(jié)論表示，然后應(yīng)用歸納假設(shè)證明nk1時(shí)命題成

7、立第17頁(yè)/共50頁(yè)*(31) 71(N )92nnn用數(shù)學(xué)歸納法證明： 能夠被【變式練習(xí) 】整除第18頁(yè)/共50頁(yè) *(31) 71()111(3 1 1) 7 1 27912(31) 71()99Znkf nnnNnfnnkf kkkNf kmm設(shè)當(dāng) 時(shí)，能夠被 整除，所以 時(shí)命題成立；假設(shè)當(dāng) 時(shí)，命題成立，即能夠被 整除，【則可設(shè)，證，明】gg第19頁(yè)/共50頁(yè) 1*21(1)(34) 71 =(31) 71 9(23) 799(23) 79(23) 7 (23) 7Z912(31) 71(N )9kkkkkknnkf kkkkmkmkmknn則當(dāng) 時(shí)， = =， ，能夠被 整除綜合知，

8、 能夠被 整除ggggggg第20頁(yè)/共50頁(yè)數(shù)學(xué)歸納法在證明數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式中的應(yīng)用不等式中的應(yīng)用 (.3)mxx mmx 111已知 為正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，【例 】第21頁(yè)/共50頁(yè) 當(dāng)x=0或m=1時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)x -1，且x0時(shí)，(1+x)m1+mx(*)對(duì)m2,mN*成立”.(1)當(dāng)m=2時(shí)，左邊=12xx2，右邊=12x.因?yàn)閤0，所以x20，即左邊右邊，不等式(*)成立；【證明】第22頁(yè)/共50頁(yè) (2)假設(shè)當(dāng)m=k(k2, kN*)時(shí)，不等式(*)成立，即(1+x)k1+kx.則當(dāng)m=k+1時(shí)，因?yàn)閤-1，所以1+x0.

9、又因?yàn)閤0, k0，所以kx20.于是在不等式(1+x)k 1+kx兩邊同乘以1+x,得(1+x)(1+x)k(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x，所以(1+x)k+11+(k+1)x.即當(dāng)m=k+1時(shí)，不等式(*)也成立. 綜上(1)(2)所述，所證不等式成立.【證明】第23頁(yè)/共50頁(yè) 用數(shù)學(xué)歸納法證明函數(shù)中的不等式，首先要弄清楚誰(shuí)是變量，作為函數(shù)，自變量x是變量，但在歸納法的應(yīng)用中，與自然數(shù)有關(guān)的量才是數(shù)學(xué)歸納法要研究的變量；其次在應(yīng)用歸納假設(shè)時(shí)，要對(duì)不等式作適當(dāng)?shù)姆趴s轉(zhuǎn)化，確保向目標(biāo)前進(jìn).第24頁(yè)/共50頁(yè) 1112(2011)33.3nnnnnaaqSsn

10、s已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公【變式練習(xí)比，是它的前南京期末項(xiàng)和求證：卷3】 11313 +1313131321. *nnnnnnnSSnnSnnn由已知，得，等價(jià)于，即解析：第25頁(yè)/共50頁(yè) 11133*321133 33 2163232111*32131.kkknnnnnkknkkkkknknSnSn 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，所以成立； 假設(shè)當(dāng)時(shí)， 成立，即， 那么當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)， 成立綜合，得成立所以第26頁(yè)/共50頁(yè)數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用問(wèn)題中的應(yīng)用 11111*2342344(N42)nnnnnnnnnnabababababnaaabbbab在數(shù)列、中

11、， ， ，且 ，成等差數(shù)列， ，成等比數(shù)列，求 ， ， 及 ， ， ，由此猜測(cè)，的通項(xiàng)公式，并證明【例 】你的結(jié)論第27頁(yè)/共50頁(yè)11223344226912162025.(1)(1) .1nnnnnnnbaaab babababan nbnn由條件得 ， ，由此可得： ， ， ， ， ， 猜測(cè)： ， 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 時(shí)，由上可得結(jié)【解析】論成立第28頁(yè)/共50頁(yè)22122112(1)(1) .122(1)(1)(1)(2)(2) .1(1)(1)kkkkkkkknnnkak kbknkabakk kkkabkbnkan nbn假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，那么當(dāng) 時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立由

12、，可知，對(duì)一切正整數(shù)【解析】都成立第29頁(yè)/共50頁(yè) 數(shù)學(xué)歸納法在解決有關(guān)數(shù)列問(wèn)題時(shí)發(fā)揮著很大的作用數(shù)列是關(guān)于自然數(shù)的命題，由數(shù)列的遞推關(guān)系，可以對(duì)結(jié)果進(jìn)行推測(cè)和猜想，對(duì)猜想的結(jié)論進(jìn)行合理證明，數(shù)學(xué)歸納法是最佳的工具本題聯(lián)系等差數(shù)列、等比數(shù)列，考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、推理、論證的能力第30頁(yè)/共50頁(yè) 1*1112341429()1421nnnnnnaaaa aanaaaaaN已知數(shù)列滿足，且求 ， ， ， 的值；由猜想的通項(xiàng)公式，并【變式練習(xí) 】給出證明111234142992124471319.357nnnnnnnnaa aaaaaaaaa解（）由得， 求得，析：

13、第31頁(yè)/共50頁(yè) *1*65221165()211112265442161615212111nkknannknkkaknkakakkkkkknkn NN猜想證明：當(dāng)時(shí)，猜想成立設(shè)當(dāng)時(shí)時(shí)，猜想成立，即則當(dāng)時(shí)，有，所以當(dāng)時(shí)猜想也成立，綜合，猜想對(duì)任何都成立第32頁(yè)/共50頁(yè)數(shù)學(xué)歸納法在幾何數(shù)學(xué)歸納法在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用問(wèn)題中的應(yīng)用 .( ). nnf nnn22平面內(nèi)有 個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)求證：這 個(gè)圓把平面分成個(gè)【】部分例5第33頁(yè)/共50頁(yè)成兩部分，因此平面區(qū)域在原基礎(chǔ)上增加了2k塊,于是f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2【

14、證明】第34頁(yè)/共50頁(yè)第35頁(yè)/共50頁(yè) 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是第二步中由k到k+1的變化情況.通過(guò)幾何說(shuō)理，來(lái)完成算式推理，借助于幾何特征和圖形的直觀性來(lái)建立k與k+1的遞推關(guān)系.第36頁(yè)/共50頁(yè)( )( ).nnf nf nn平面內(nèi)有 條直線，其中沒(méi)有兩條平行也沒(méi)有任何三條相交于同一點(diǎn)，設(shè)這 條直線將平面分成的區(qū)域?yàn)?，求與 的關(guān)系式，并用數(shù)學(xué)歸【變式練習(xí) 】納法證明5 nfnfn 1122422 237當(dāng)時(shí)，一條直線把平面分成兩部分，所以；當(dāng)時(shí)，兩條直線把平面分成 個(gè)部分，所以；當(dāng)時(shí)，三條直線把平面分成【解析】個(gè)部分，第37頁(yè)/共50頁(yè)1(1) 1.2n n111 1122

15、結(jié)論，成立；第38頁(yè)/共50頁(yè) 1( )(1) 12111(1)(1).nkkf kk knkkkkkkkk 設(shè)時(shí)結(jié)論條線當(dāng)時(shí)條線來(lái) 條線個(gè)點(diǎn)這 個(gè)點(diǎn)條線將區(qū)兩區(qū)礎(chǔ)塊假，成立，即直把平面分成部分，那么，第直與原直有交，交把第直分成段，每一段原域分成部分，因此平面域在原基上增加了第39頁(yè)/共50頁(yè)(1)( )11(1) 1 (1)21=(1)(2) 1.21 .f kf kkk kkkknk 當(dāng)時(shí)結(jié)論結(jié)論對(duì)數(shù)于是 即，成立由知，任意正整都成立第40頁(yè)/共50頁(yè)1.一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，若nk(kN*)時(shí)，命題成立，可以推出nk1時(shí)，該命題也成立現(xiàn)在已知n5時(shí)該命題不成立，則當(dāng)n4時(shí)該命題_.根

16、據(jù)逆否命題與原命題是等價(jià)【解析】的作答不成立第41頁(yè)/共50頁(yè)2.設(shè)f(n)n+f(1)+f(2)+f(n1)，用數(shù)學(xué)歸納法證明“n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)”時(shí)，第一步要證的等式是_. 2+1 =22ff第42頁(yè)/共50頁(yè)1111233112 -1_._3nnknkn用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，從 到 ，左邊增加了項(xiàng)12223434812knnknk由 到 ，增加 項(xiàng)；由 到 ，增加 項(xiàng)；由 到 ，增加 項(xiàng)，推出從 到 左邊增加了【解析】項(xiàng)2k第43頁(yè)/共50頁(yè)4.圓內(nèi)有n條兩兩相交的弦將圓最多分為f(n)個(gè)區(qū)域，通過(guò)計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，由此猜想f(n

17、)= _. 212243741122341(2)2fffff nnnn 計(jì)算得，猜想【解析】21(2)2nn第44頁(yè)/共50頁(yè) *11112.315nf nnf nn N設(shè)，試比較與的大小 1,2131.13nf nnnf nnn當(dāng)時(shí)； 當(dāng)時(shí) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)，解析：顯然成立；第45頁(yè)/共50頁(yè) *2(3)111112221121nk kkf kknkf kkkkkkkknkN 假設(shè)當(dāng)，時(shí)，即， 那么，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式也成立第46頁(yè)/共50頁(yè) 數(shù)學(xué)歸納法是演繹推理中的完全歸納法，也叫科學(xué)歸納法.從觀察一些特殊簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，根據(jù)它們所體現(xiàn)的共同性質(zhì)，運(yùn)用不完全歸納法作出一般命題的

18、猜想，然后從理論上證明這種猜想，這一過(guò)程稱為“歸納猜想證明”過(guò)程，它是一個(gè)完整的思維過(guò)程.數(shù)學(xué)歸納法將這一過(guò)程進(jìn)行了抽象概括，構(gòu)建了自己的證明體系.一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某個(gè)正整數(shù)n0的所有第47頁(yè)/共50頁(yè) 正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用下面兩個(gè)步驟來(lái)完成：(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*, kn0)時(shí)，命題成立，再證明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.這種證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法. 數(shù)學(xué)歸納法是一種適應(yīng)于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法，它的表述嚴(yán)格而有規(guī)范，兩個(gè)步驟缺一不可，第一步是遞推的基礎(chǔ).第48頁(yè)/共50頁(yè)第二步是遞推的依據(jù).第二步中，歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用，在“n=k+1”時(shí)，必須要用到歸納假設(shè)這個(gè)條件否則會(huì)犯推理的邏輯錯(cuò)誤.第二步的關(guān)鍵是在推證中，一要依據(jù)假設(shè)，二要符合推證的結(jié)論.第49頁(yè)/共50頁(yè)