2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（全國(guó)卷3含解析）(1)

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1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（全國(guó)卷3） 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。 2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1. 已知集合，，則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意先解出集合A,進(jìn)而得

2、到結(jié)果。 詳解：由集合A得, 所以 故答案選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。 2. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算展開(kāi)即可。 故選D. 點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。 3. 中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 A. A B. B C. C D. D 【答案】A 【解析】分析：觀察圖形可

3、得。 詳解：觀擦圖形圖可知，俯視圖為 故答案為A. 點(diǎn)睛：本題主要考擦空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。 4. 若，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由公式可得。 詳解： 故答案為B. 點(diǎn)睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題。 5. 若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】分析：由公式計(jì)算可得 詳解：設(shè)設(shè)事件A為只用現(xiàn)金支付，事件

4、B為只用非現(xiàn)金支付， 則 因?yàn)? 所以 故選B. 點(diǎn)睛：本題主要考查事件的基本關(guān)系和概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。 6. 函數(shù)的最小正周期為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析:將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可 詳解：由已知得 的最小正周期 故選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和最小正周期公式，屬于中檔題 7. 下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：確定函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（1，0）關(guān)于x=1對(duì)稱點(diǎn)，代入選項(xiàng)驗(yàn)證即可。 詳解：函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（1，0），（1，0）關(guān)

5、于x=1對(duì)稱的點(diǎn)還是（1，0），只有過(guò)此點(diǎn)。 故選項(xiàng)B正確 點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)的圖像，屬于中檔題。 8. 直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可 詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn) ,則 點(diǎn)P在圓上 圓心為（2，0），則圓心到直線距離 故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為 則 故答案選A. 點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題。 9

6、. 函數(shù)的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】D 【解析】分析：由特殊值排除即可 詳解：當(dāng)時(shí)，，排除A,B. ,當(dāng)時(shí)，,排除C 故正確答案選D. 點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的圖像，考查了特殊值排除法，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系，屬于中檔題。 10. 已知雙曲線的離心率為，則點(diǎn)到的漸近線的距離為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由離心率計(jì)算出，得到漸近線方程，再由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即可。 詳解： 所以雙曲線的漸近線方程為 所以點(diǎn)（4，0）到漸近線的距離 故選D 點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的

7、離心率，漸近線和點(diǎn)到直線距離公式，屬于中檔題。 11. 的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若的面積為，則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由面積公式和余弦定理進(jìn)行計(jì)算可得。 詳解：由題可知 所以 由余弦定理 所以 故選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理。 12. 設(shè)，，，是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得。 詳解：如圖

8、所示， 點(diǎn)M為三角形ABC的重心，E為AC中點(diǎn)， 當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大 此時(shí)， , 點(diǎn)M為三角形ABC的重心 中，有 故選B. 點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計(jì)算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型。 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13. 已知向量，，．若，則________． 【答案】 【解析】分析：由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可。 詳解：由題可得 ,即 故答案為 點(diǎn)睛：本題

9、主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。 14．某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異．為了解客戶的評(píng)價(jià)，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________． 【答案】分層抽樣 【解析】分析：由題可知滿足分層抽樣特點(diǎn) 詳解：由于從不同齡段客戶中抽取，故采用分層抽樣 故答案為：分層抽樣。 點(diǎn)睛：本題主要考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，屬于基礎(chǔ)題。 15. 若變量滿足約束條件則的最大值是________． 【答案】3 【解析】分析：作出可行域，平移直線可得 詳解：作出可行域 由圖可

10、知目標(biāo)函數(shù)在直線與的交點(diǎn)（2，3）處取得最大值3 故答案為3. 點(diǎn)睛：本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。 16. 已知函數(shù)，，則________． 【答案】 【解析】分析：發(fā)現(xiàn)可得。 詳解： ,則 故答案為：-2 點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)解析式，計(jì)算發(fā)現(xiàn)和關(guān)鍵，屬于中檔題。 三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． （一）必考題：共60分． 17. 等比數(shù)列中，． （1）求的通項(xiàng)公式； （2）記為的前項(xiàng)和．若，求． 【答案】（1）或

11、 （2） 【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項(xiàng)和，解方程可得m。 詳解：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，則．由得，此方程沒(méi)有正整數(shù)解． 若，則．由得，解得． 綜上，． 點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題。 18. 某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉

12、圖： （1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由； （2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)和不超過(guò)的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過(guò) 不超過(guò) 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 （3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：，． 【答案】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高．理由見(jiàn)解析 （2） 超過(guò) 不超過(guò) 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 （3）有 【解析】分析：（1）計(jì)算兩種生產(chǎn)方式的平均時(shí)間即可。 （2）計(jì)算出中位數(shù)，再

13、由莖葉圖數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表。 （3）由公式計(jì)算出，再與6.635比較可得結(jié)果。 詳解：（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： （i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． （ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． （iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于

14、80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． （iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分． （2）由莖葉圖知． 列聯(lián)表如下： 超過(guò)

15、 不超過(guò) 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 （3）由于，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． 點(diǎn)睛：本題主要考查了莖葉圖和獨(dú)立性檢驗(yàn)，考察學(xué)生的計(jì)算能力和分析問(wèn)題的能力，貼近生活。 19. 如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)． （1）證明：平面平面； （2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）存在，理由見(jiàn)解析 【解析】分析：（1）先證,再證，進(jìn)而完成證明。 （2）判斷出P為AM中點(diǎn)，，證明MC∥OP，然后進(jìn)行證明即可。 詳解：（1）由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，

16、交線為CD． 因?yàn)锽C⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM． 因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM． 又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC． 而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC． （2）當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD． 證明如下：連結(jié)AC交BD于O．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)． 連結(jié)OP，因?yàn)镻為AM 中點(diǎn)，所以MC∥OP． MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD． 點(diǎn)睛：本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問(wèn)先斷出P為AM中點(diǎn)，然后作輔助線，由線線平行

17、得到線面平行，考查學(xué)生空間想象能力，屬于中檔題。 20. 已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．線段的中點(diǎn)為． （1）證明：； （2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．證明：． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）證明見(jiàn)解析 【解析】分析：（1）設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法，或假設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，由判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行證明。 （2）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，解出m，得到直的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解。 詳解：（1）設(shè)，，則，． 兩式相減，并由得． 由題設(shè)知，，于是． 由題設(shè)得，故． （2）由題意得F（1，0）．設(shè)，則 ． 由（1）及題設(shè)得，． 又點(diǎn)P在C上，所以，從而，．

18、 于是． 同理． 所以． 故． 點(diǎn)睛：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，第一問(wèn)利用點(diǎn)差法，設(shè)而不求可減小計(jì)算量，第二問(wèn)由已知得求出m，得到,再有兩點(diǎn)間距離公式表示出，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，難度較大。 21. 已知函數(shù)． （1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）證明：當(dāng)時(shí)，． 【答案】（1）切線方程是 （2）證明見(jiàn)解析 【解析】分析：（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程。 （2）當(dāng)時(shí)，,令，只需證明即可。 詳解：（1），． 因此曲線在點(diǎn)處的切線方程是． （2）當(dāng)時(shí)，． 令，則． 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增； 所以 ．因此． 點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

19、的綜合應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線方程，第二問(wèn)當(dāng)時(shí)，,令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明很關(guān)鍵，本題難度較大。 （二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． 22. [選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)． （1）求的取值范圍； （2）求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程． 【答案】（1） （2） 為參數(shù)， 【解析】分析：（1）由圓與直線相交，圓心到直線距離可得。 （2）聯(lián)立方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求解 詳解：（1）的直角坐標(biāo)方程為． 當(dāng)時(shí)，與交于兩點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)，記，則的方程為

20、．與交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，解得或，即或． 綜上，的取值范圍是． （2）的參數(shù)方程為為參數(shù)， ． 設(shè)，，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，，則，且，滿足． 于是，．又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程是 為參數(shù)， ． 點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的參數(shù)方程，考查求點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題。 23. [選修4—5：不等式選講] 設(shè)函數(shù)． （1）畫(huà)出的圖像； （2）當(dāng)，，求的最小值． 【答案】（1） （2）的最小值為 【解析】分析：（1）將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，再畫(huà)出在各自定義域的圖像即可。 （2）結(jié)合（1）問(wèn)可得a，b范圍，進(jìn)而得到a+b的最小值 詳解：（1） 的圖像如圖所示． （2）由（1）知，的圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，在成立，因此的最小值為． 點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)圖像的畫(huà)法，考查由不等式求參數(shù)的范圍，屬于中檔題。