2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題 理（全國卷1含答案）

《2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題 理（全國卷1含答案）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題 理（全國卷1含答案）（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、絕密★啟用前 2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 理科數學 本試卷5頁，23小題，滿分150分。考試用時120分鐘。 注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。 2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。 3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案

2、；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。 4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則 A． B． C． D． 2．如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 3．設有下面四個命題 ：若復數滿足，則； ：若復數滿足

3、，則； ：若復數滿足，則； ：若復數，則. 其中的真命題為 A． B． C． D． 4．記為等差數列的前項和．若，，則的公差為 A．1 B．2 C．4 D．8 5．函數在單調遞減，且為奇函數．若，則滿足的的取值范圍是 A． B． C． D． 6．展開式中的系數為 A．15 B．20 C．30 D．35 7．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為 A．10 B．12

4、C．14 D．16 8．右面程序框圖是為了求出滿足3n?2n>1000的最小偶數n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入 A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A1 000和n=n+1 D．A1 000和n=n+2 9．已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結論正確的是 A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱

5、坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 10．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為 A．16 B．14 C．12 D．10 11．設xyz為正數，且，則 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 12．幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數學的

6、興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的&最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是 A．440 B．330 C．220 D．110 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13．已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= . 14．設x，y滿足約束條件

7、，則的最小值為 . 15．已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點。若∠MAN=60°，則C的離心率為________。 16．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______。 三、解答

8、題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分） △ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為 （1）求sinBsinC; （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長. 18.（12分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且. （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. 19．（12分） 為了監(jiān)控某種零件的一條生產線

9、的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數，求及的數學期望； （2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查． （?。┰囌f明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04

10、10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，． 用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數據，用剩下的數據估計和（精確到0.01）． 附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則， ，． 20.（12分） 已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–

11、1，證明：l過定點. 21.（12分） 已知函數ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）討論的單調性； （2）若有兩個零點，求a的取值范圍. （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22．[選修4―4：坐標系與參數方程]（10分） 在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（θ為參數），直線l的參數方程為 . （1）若a=?1，求C與l的交點坐標； （2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a. 23．[選修4—5：不等式選講]（10分） 已知函數f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）

12、當a=1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范圍. 答案 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12.A 13. 14. 15. 16. 17.解：（1）由題設得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由題設及（1）得，即. 所以，故. 由題設得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周長為. 18.解：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD. 由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD. 又AB

13、平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. （2）在平面內做，垂足為， 由（1）可知，平面，故，可得平面. 以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系. 由（1）及已知可得，，，. 所以，，，. 設是平面的法向量，則 ，即， 可取. 設是平面的法向量，則 ，即， 可取. 則， 所以二面角的余弦值為. 19.【解】（1）抽取的一個零件的尺寸在之內的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此 . 的數學期望為. （2）（i）如果生產狀態(tài)正常，一個零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內抽取的16個零件中

14、，出現尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產過程的方法是合理的. （ii）由，得的估計值為，的估計值為，由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當天的生產過程進行檢查. 剔除之外的數據9.22，剩下數據的平均數為，因此的估計值為10.02. ，剔除之外的數據9.22，剩下數據的樣本方差為， 因此的估計值為. 20.（12分）解： （1）由于，兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過，兩點. 又由知，C不經過點P1，所以點P2在C上.

15、 因此，解得. 故C的方程為. （2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2， 如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知，且，可得A，B的坐標分別為（t，），（t，）. 則，得，不符合題設. 從而可設l：（）.將代入得 由題設可知. 設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=. 而 . 由題設，故. 即. 解得. 當且僅當時，，欲使l：，即， 所以l過定點（2，） 21.解：（1）的定義域為，， （ⅰ）若，則，所以在單調遞減. （ⅱ）若，則由得. 當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增. （2）（?。┤?，由（1

16、）知，至多有一個零點. （ⅱ）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為. ①當時，由于，故只有一個零點； ②當時，由于，即，故沒有零點； ③當時，，即. 又，故在有一個零點. 設正整數滿足，則. 由于，因此在有一個零點. 綜上，的取值范圍為. 22.[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分） 解：（1）曲線的普通方程為. 當時，直線的普通方程為. 由解得或. 從而與的交點坐標為，. （2）直線的普通方程為，故上的點到的距離為 . 當時，的最大值為.由題設得，所以； 當時，的最大值為.由題設得，所以. 綜上，或.、 23.[選修4-5：不等式選講]（10分） 解：（1）當時，不等式等價于.① 當時，①式化為，無解； 當時，①式化為，從而； 當時，①式化為，從而. 所以的解集為. （2）當時，. 所以的解集包含，等價于當時. 又在的最小值必為與之一，所以且，得. 所以的取值范圍為.