江蘇省啟東市2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題強(qiáng)化訓(xùn)練7

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1、專題強(qiáng)化訓(xùn)練7 1.在中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知， ，且。 （1）求角B的大??； （2）若的外接圓的半徑為1，求的面積。 解(1)(2) 2.已知函數(shù)f（x）=λcos2（ωx+）﹣3（λ＞0，ω＞0）的最大值為2，最小正周期為． （1）求函數(shù)y=f（x）的解析式； （2）當(dāng)x∈[0，]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域． 解：（1）∵f（x）=λcos2（ωx+）﹣3（λ＞0，ω＞0）=λ﹣3 =cos（2ωx+）+﹣3，…（2分）又∵函數(shù)f（x）的最大值為2，可得：+﹣3=2，解得：λ=5，最小正周期為=，解得：ω=， ∴f（x）=cos（3x+）﹣…（6分） （2）

2、∵，∴，…（9分） ∴，…（13分）∴， 所以f（x）的值域是．…（14分） 3.已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），記函數(shù)f（x）=（+）?（﹣）．若函數(shù)y=f（x）的周期為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，）． （1）求ω的值； （2）當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值． 解：（1）f（x）=（+）?（﹣）===﹣cos（ωx+2φ）．由題意得：周期，故； （2）∵圖象過(guò)點(diǎn)M（1，），∴﹣cos（2φ）=， 即sin2φ=，而0＜φ＜，故2φ=，則f（x）=﹣cos（）． 當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，，∴． ∴當(dāng)x=﹣時(shí)，f（x）min=﹣1

3、，當(dāng)x=1時(shí)，． 4.在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為，且 （1）求角A的值；（2）若三角形面積為，且，求三角形ABC的周長(zhǎng). 解:（1）因?yàn)? ，由正弦定理得 ， 即=sin(A+C) ． …………4分 因?yàn)锽＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，所以． 因?yàn)锽∈(0，π)，所以sinB≠0， 所以，因?yàn)?，所以? ………………7分 （2）△ABC的面積為，且 由， ．所以……………12分 周長(zhǎng)

4、 ………………14分 A B C x O 5.如圖已知四邊形AOCB中,,,點(diǎn)B位于第一象限，若△BOC為正三角形.（1）若求點(diǎn)A的坐標(biāo)； （2）記向量與的夾角為，求的值. 解：（1）………………2分 ………………5分 點(diǎn)坐標(biāo)為………………7分 （2）向量…9分……12分因此，………………14分 6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且asinB+acosB=c． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=λcos2（ωx+）﹣3（λ＞0，ω＞0）的最大值為2，將y=f（x）的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到

5、原來(lái)的倍后便得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）的最小正周期為π．當(dāng)x∈[0，]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域． 解：（Ⅰ）△ABC中，∵， ∴，∵C=π﹣（A+B）， ∴=， ∴，∵0＜A＜π，∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，∴λ﹣3=2，從而λ=5， ∴， 從而，∴，∴．當(dāng)時(shí)，， ∴，從而， ∴f（x）的值域?yàn)椋? 7.如圖所示，角為鈍角，且，點(diǎn)分別在角的兩邊上． （Ⅰ）若，求的長(zhǎng)； （Ⅱ）設(shè)，且，求的值． 解：（Ⅰ）因?yàn)榻菫殁g角，且，所以…………2分 在中，由， 得……………………5分 解得或(舍)，即的長(zhǎng)為2………………7分 （Ⅱ）由，得………………

6、…………………………………9分 又，………………………………11分 所以 …………………………………14分 8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2． （1）求tanC的值； （2）若△ABC的面積為3，求b的值． 解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：， ∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得， ∴a2=b2﹣=，即a=． ∴cosC===． ∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2． （2）∵=×=3，解得c=2． ∴=3． 9.在銳角中,角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、向量

7、,且.(1)求角的大小; (2)若面積為,,求的值. 解：(1) 為銳角三角形, , ， (2)由,得, 代入得,得 由題設(shè),得 聯(lián)立, 解得或 10. 已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R），且函數(shù)f（x）的最大值為2，最小正周期為，并且函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（，0）． （1）求函數(shù)f（x）解析式； （2）設(shè)△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且f（）=2，c=，求a+2b的取值范圍． 解：（1）根據(jù)題意得：A=2，ω=4

8、，即f（x）=2sin（4x+φ）， 把（，0）代入得：2sin（+φ）=0，即sin（+φ）=0， ∴+φ=0，即φ=﹣， 則f（x）=2sin（4x﹣）； （2）由f（）=2sin（C﹣）=2，即sin（C﹣）=1， ∴C﹣=，即C=，由正弦定理得： ==2R，即=2R=1， ∴a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin（﹣A）=sinA+2sincosA﹣2cossinA=sinA+cosA﹣sinA=cosA，∵＜cosA＜1，即＜cosA＜， ∴a+2b的范圍為（，）． 11. 已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sin

9、β），=（﹣1，0）． （1）求向量的長(zhǎng)度的最大值；（2）設(shè)α=，且⊥（），求cosβ的值． 解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），則||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）． ∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2． 當(dāng)cosβ=﹣1時(shí)，有|b+c|=2，所以向量的長(zhǎng)度的最大值為2． （2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ）， ?（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα． ∵⊥（），∴?（）=0，即cos（α﹣β）=cosα． 由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z）， ∴β

10、=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1． 12. 已知函數(shù)． （1）設(shè)，且，求θ的值； （2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面積為，求sinA+sinB的值． 解：（1）==．（3分） 由 得 于是（k∈Z） 因?yàn)? 所以 （7分） （2）因?yàn)镃∈（0，π），由（1）知．（9分） 因?yàn)椤鰽BC的面積為，所以，于是．① 在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對(duì)邊分別是a，b． 由余弦定理得，所以a2+b2=7．② 由①②可得或于是．（12分） 由正弦定理得， 所以．（14分） 15.在三角形中，角，，所對(duì)的邊分別是，，．已知，．

11、 （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【解】（1）由余弦定理，，……………………………………………………3分將，代入，解得：．………………………………………………………………6分 （2）由正弦定理，， 由正弦定理可得，， 將，代入解得．………………………………………………………………14分 16.如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且，. （1）求長(zhǎng)度；（2）求的值. 解：（1）設(shè)，中有余弦定理： ， ∴，，即； （2），中由余弦定理：， ∴，∴. 17.如圖，在平面上，點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上，（） （1）若點(diǎn)，求的值； （2

12、）若，，求. （1）由于，，所以， ， 所以， 所以 ； （2）由于,, 所以, . 所以，所以， 所以. 18.已知向量=（5cosα，4），=（3，4tanα），其中α∈（，π）． （1）若∥，求sin2α的值； （2）若||=5，向量=（2，0），求證：（+）⊥． （1）解：∵=（5cosα，4），=（3，4tanα），且， ∴5cosα?4tanα﹣12=0，得20sinα=12，sin， ∵α∈（，π），∴cosα=，∴sin2α=2sinα

13、cosα=； （2）證明：，得cosα=﹣，則sinα=，tanα=﹣， ∴=（5cosα，4）=（﹣3，4），=（3，4tanα）=（3，﹣）， 則，∵=（2，0），∴（+）?=0×． 則（+）⊥． 19.已知△ABC的角A，B，C的對(duì)邊依次為a，b，c，若滿足， （Ⅰ）求∠C大??； （Ⅱ）若c=2，且△ABC為銳角三角形，求a2+b2取值范圍． 解：（Ⅰ）∵tanA?tanB﹣tanA﹣tanB=， ∴=﹣，即tan（A+B）=﹣tanC=﹣， ∴tanC=，∵∠C為三角形的內(nèi)角，則∠C=； （II）∵∠A與∠B為銳角，且∠A+∠B=π﹣∠C=，即∠B=﹣∠A， ∴

14、＜∠A＜，∴＜2∠A﹣＜，∵c=2，sinC=， ∴由正弦定理===得：a=sinA，b=sinB， ∴a2+b2=（sinA+sinB）=[sinA+sin（﹣A）]=+sin（2A﹣）， ∵＜2∠A﹣＜，∴＜sin（2A﹣）≤1，即＜+sin（2A﹣）≤8，則a2+b2的范圍為（，8]． 20.已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=﹣，sin（α+β）=． （1）求tan的值；（2）求sinα的值． 解：（1）∵，且，∴，解得， ∵，∴，∴，∴． （2）∵，， ∴， 又，故， ∴， ∴sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）

15、sinβ=． 21.已知PQ是半徑為1的圓A的直徑，B，C為不同于P，Q的兩點(diǎn)，如圖所示， 記∠PAB=θ． （1）若BC=，求四邊形PBCQ的面積的最大值； （2）若BC=1，求?的最大值． 解：（1）∵，∴∠BAC=；由∠PAB=θ得∠CAQ=； ∴S四邊形PBCQ=S△PAB+S△ABC+S△CAQ == =； ∵，∴當(dāng)時(shí)，S四邊形PBCQ取得最大值； （2）當(dāng)BC=1時(shí)，∠BAC=，∠PAC=； ∴ = =﹣1 = ==；∵； ∴時(shí)，取得最大值． 江蘇省啟東中學(xué)高三數(shù)學(xué)二輪專題強(qiáng)化訓(xùn)練2020.1

16、 題型二實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 1.如圖，某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域(以O(shè) 為圓心，AB為直徑)，現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行改建．在AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，OD＝80 m，在半圓上選定一點(diǎn)C，改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成，其面積為S m2．設(shè)∠AOC＝x rad． (1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x)，并指出x的取值范圍； (2)試問(wèn)∠AOC多大時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值． A B O C D (1)因?yàn)樯刃?AOC的半徑為?40 m，∠AOC＝x?rad， 所以?扇形AOC的面積S扇形AO

17、C＝＝800x，0＜x＜π． …………… 2分 在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x， 所以△COD 的面積S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．…… 5分從而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． …………………7分 2. 無(wú)錫市政府決定規(guī)劃地鐵三號(hào)線，該線起于惠山區(qū)惠山城鐵站，止于無(wú)錫新區(qū)碩放空港產(chǎn)業(yè)園內(nèi)的無(wú)錫機(jī)場(chǎng)站，全長(zhǎng)28公里，目前惠山城鐵站和無(wú)錫機(jī)場(chǎng)站兩個(gè)站點(diǎn)已經(jīng)建好，余下的工程是在已經(jīng)建好的站點(diǎn)之間鋪設(shè)軌道和等距離修建停靠站，經(jīng)有關(guān)部門預(yù)算，修建一個(gè)?？空镜馁M(fèi)

18、用為6400萬(wàn)元，鋪設(shè)距離為公里的相鄰兩個(gè)停靠站之間的軌道費(fèi)用為，設(shè)余下工程的總費(fèi)用為萬(wàn)元.（停靠站位于軌道兩側(cè)，不影響軌道總長(zhǎng)度）（1）試將表示成的函數(shù)； （2）需要建多少個(gè)?？空静拍苁构こ藤M(fèi)用最小，并求最小值. (1)設(shè)需要修建個(gè)?？空?，則個(gè)?？空緦?8公里的軌道分成相等的段， ， ， 化簡(jiǎn)得 （萬(wàn)元） 當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號(hào)， 答：需要建13個(gè)停車站才能使工程費(fèi)用最小，最小值費(fèi)用為128028萬(wàn)元. 3.如圖所示，某街道居委會(huì)擬在地段的居民樓正南方向的空白地段上建一個(gè)活動(dòng)中心，其中米．活動(dòng)中心東西走向，與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長(zhǎng)方形，上部分是以

19、為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求，活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽(yáng)光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)不超過(guò)米，其中該太陽(yáng)光線與水平線的夾角滿足. （1）若設(shè)計(jì)米，米，問(wèn)能否保證上述采光要求？ F A B E D G C ←南 居 民 樓 活 動(dòng) 中 心 （2）在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計(jì)與的長(zhǎng)度，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大？（注：計(jì)算中取3） 解：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系． （1）因?yàn)?，，所以半圓的圓心為， 半徑．設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為，

20、 即， ...............2分 則由， 解得或（舍）. 故太陽(yáng)光線所在直線方程為， ...............5分 令，得米米. 所以此時(shí)能保證上述采光要求. ...............7分 （2）設(shè)米，米，則半圓的圓心為，半徑為． 方法一：設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為， 即，由， 解得或（舍）.

21、 ...............9分 故太陽(yáng)光線所在直線方程為， 令，得，由，得. ...............11分 所以 . 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 所以當(dāng)米且米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. ...............16分 方法二：欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長(zhǎng)EG恰為米，則此時(shí)點(diǎn)為， 設(shè)過(guò)點(diǎn)G的上述太陽(yáng)光線為，則所在直線方程為y－＝－(x－30)， 即．

22、 ...............10分 由直線與半圓H相切，得． 而點(diǎn)H(r，h)在直線的下方，則3r＋4h－100＜0， 即，從而． ...............13分 又. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 所以當(dāng)米且米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. ...............16分 L A B O M L L a b 4.如圖，某城市有一條公路從正西方通過(guò)市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的．位于該市的某大學(xué)與市中心的距離，且．現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站，

23、在OB上設(shè)一站B，鐵路在部分為直線段，且經(jīng)過(guò)大學(xué)．其中，，． （1）求大學(xué)與站的距離； （2）求鐵路段的長(zhǎng)． （1）在中，，且，， 由余弦定理得， ，即大學(xué)與站的距離為； （2），且為銳角，， 在中，由正弦定理得，, 即，，， ， ，，， 又， ， 在中，， 由正弦定理得，， 即，，即鐵路段的長(zhǎng)為．

24、 5.一個(gè)玩具盤由一個(gè)直徑為2米的半圓O和一個(gè)矩形ABCD構(gòu)成，AB=1米，如圖所示，小球從A點(diǎn)出發(fā)以大小為5v的速度沿半圓O軌道滾到某點(diǎn)E處，經(jīng)彈射器以6v的速度沿與點(diǎn)E切線垂直的方向彈射到落袋區(qū)BC內(nèi)，落點(diǎn)記為F，設(shè)∠AOE=θ弧度，小球從A到F所需時(shí)間為T． （1）試將T表示為θ的函數(shù)T（θ），并寫出定義域； （2）求時(shí)間T最短時(shí)θ的值． 6.如圖，O為總信號(hào)源點(diǎn)，A，B，C是三個(gè)居民區(qū)，已知A，B都在O的正東方向上，OA = 10 ，OB = 20 ，C在O的北偏西45° 方向上，CO =． （1）求居民區(qū)A與C的距離； （2）現(xiàn)要經(jīng)過(guò)點(diǎn)O鋪設(shè)一條總光纜直線E

25、F（E在直線OA的上方），并從A，B，C分別鋪設(shè)三條最短分光纜連接到總光纜EF．假設(shè)鋪設(shè)每條分光纜的費(fèi)用與其長(zhǎng)度的平方成正比，比例系數(shù)為m（m為常數(shù)）．設(shè)∠AOE = θ（0≤θ <），鋪設(shè)三條分光纜的總費(fèi)用為w（元）． ① 求w關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式； ② 求w的最小值及此時(shí)的值． 7.如圖，摩天輪的半徑為，點(diǎn)距地面的高度為，摩天輪作逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最低點(diǎn)處. （1）試確定在時(shí)刻（）時(shí)點(diǎn)距離地面的高度； （2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)距離地面超過(guò)？ （1）以為原點(diǎn)建系，在內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的

26、角為， ∴以為始邊，為終邊的角為，故點(diǎn)縱坐標(biāo)為， ∴距地面高度為； （2）令即，∴，， ∴，.答：一圈內(nèi)有2分鐘超過(guò). 8.如圖，有一塊矩形空地，，，現(xiàn)規(guī)劃在該空地四邊形建一個(gè)商業(yè)區(qū)，其中頂點(diǎn)為商業(yè)區(qū)四個(gè)入口，且入口在邊上（不包含頂點(diǎn)），入口分別在邊上，，，矩形內(nèi)其余區(qū)域均為綠化區(qū)。 （1）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示。 ①求直線的方程 ②求的取值范圍。 （2）設(shè)商業(yè)區(qū)域的面積為，綠化區(qū)域的面積為，問(wèn)入口如何選址，即為何值時(shí)，可使得該商業(yè)區(qū)域的環(huán)境舒適度指數(shù)最大？ 9.圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面

27、（陰影部分）示意圖，其中四邊形是矩形，弧是半圓，凹槽的橫截面的周長(zhǎng)為．若凹槽的強(qiáng)度等于橫截面的面積與邊的乘積，設(shè)，． （1）寫出關(guān)于函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍； （2）求當(dāng)取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大． 【解】（Ⅰ）易知半圓的半徑為，故半圓的弧長(zhǎng)為． 所以，得……2分 依題意知：得 所以，（）．……6分 （Ⅱ）依題意，設(shè)凹槽的強(qiáng)度為，橫截面的面積為，則有 ，，………………………………………………9分 因?yàn)椋? 所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 所以當(dāng)，凹槽的強(qiáng)度最大．…………………………………………13分 答：所以當(dāng)，凹槽的強(qiáng)度最大．…………………………14分 9. 如

28、圖，OM，ON是兩條海岸線，Q為大海中一個(gè)小島，A為海岸線OM上的一個(gè)碼頭．已知，，Q到海岸線OM，ON的距離分別為3 km， km．現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個(gè)碼頭B，使得水上旅游線路AB（直線）經(jīng)過(guò)小島Q． （1）求水上旅游線路AB的長(zhǎng)； （2）若小島正北方向距離小島6 km處的海中有一個(gè)圓形強(qiáng)水波P，水波生成t h時(shí)的半徑為（其中，R）．強(qiáng)水波開(kāi)始生成時(shí)，一游輪以 km/h的速度自碼頭A開(kāi)往碼頭B，問(wèn)強(qiáng)水波是否會(huì)波及游輪的航行，并說(shuō)明理由． 解：（1）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM為軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示． 則由題設(shè)得：，直線ON的方程為 ．由，解得，所以．2分故直線AQ

29、的方程為， 由得即，故， … 5分 答：水上旅游線的長(zhǎng)為km． ………6分 （2）設(shè)試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓P，由題意可得P（3，9），生成小時(shí)時(shí)，游輪在線段AB上的點(diǎn)C處，則，所以．若強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行即 即， ………………………………………10分 當(dāng)時(shí)恒成立，當(dāng). ，， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)恒成立，即強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行．……14分答：在時(shí)，強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行． …………………15分 10. 如圖所示，某市準(zhǔn)備在一個(gè)湖泊的一側(cè)修建一條直路OC；另一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段OD是以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為對(duì)稱軸，開(kāi)口

30、向右的拋物線的一部分，后一段DBC是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]時(shí)的圖象，圖象的最高點(diǎn)為B（5，），DF⊥OC，垂足為F． （I）求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式； （II）若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂(lè)園PMFE，問(wèn)點(diǎn)P落在曲線OD上何處時(shí)，水上樂(lè)園的面積最大？ 解：（Ⅰ）對(duì)于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）由圖象可知，A=，ω==， 將（5，），代入y=sin（x+φ）得：， |φ|＜，所以φ=，所以函數(shù)的解析式為y=sin（x）． （Ⅱ）在y=sin（x）中，令x=4，得D（4，4） 從而得曲線OD的方程為y2=4x，（

31、0≤x≤4）． 設(shè)點(diǎn)P（）（0≤t≤4），則矩形PMFE的面積為S=，0≤t≤4． 因?yàn)镾′=4﹣，由S′=0得t=，且t∈時(shí)S′＞0，S遞增， t∈時(shí)S′＜0，S遞減， 所以當(dāng)t=，S最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)． 11. 某企業(yè)投入81萬(wàn)元經(jīng)銷某產(chǎn)品，經(jīng)銷時(shí)間共60個(gè)月，市場(chǎng)調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷這個(gè)產(chǎn)品期間第x個(gè)月的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元），為了獲得更多的利潤(rùn)，企業(yè)將每月獲得的利潤(rùn)投入到次月的經(jīng)營(yíng)中，記第x個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率，例如：． （1）求g（10）； （2）求第x個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率g（x）； （3）該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，哪個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率最大，并求該月的當(dāng)月利潤(rùn)率． 解：（1）由題

32、意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1 g（x）===． （2）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，f（1）=f（2）═f（x﹣1）=f（x）=1 ∴g（x）====． 當(dāng)21≤x≤60時(shí)， g（x）= ==== ∴當(dāng)?shù)趚個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率； （3）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，是減函數(shù)， 此時(shí)g（x）的最大值為當(dāng)21≤x≤60時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=40時(shí)，，又∵， ∴當(dāng)x=40時(shí)， 所以，該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，第40個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率最大，最大值為． 12.如圖，太湖一個(gè)角形湖灣（ 常數(shù)為銳角）. 擬用長(zhǎng) 度為（為常數(shù)）的圍網(wǎng)圍成一個(gè)養(yǎng)殖區(qū)，有以下兩種方案可供選擇：

33、 方案一 如圖1，圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)，其中； 方案二 如圖2，圍成三角形養(yǎng)殖區(qū)，其中； （1）求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積； （2）求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積； （3）為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大，應(yīng)選擇何種方案？并說(shuō)明理由. （1）設(shè)，則，即，所以 . （2）設(shè).由余弦定理，得,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立.所以 ,即. 答:為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大.應(yīng)選擇方案一. 13.一房產(chǎn)商競(jìng)標(biāo)得一塊扇形OPQ地皮，其圓心角∠POQ=，半徑為R=200m，房產(chǎn)商欲在此地皮上修建一棟平面圖為矩形的商住樓，為使得地皮的使用率最大，準(zhǔn)備了兩種設(shè)計(jì)方案如圖，方案一：矩形ABCD的一邊AB在半徑

34、OP上，C在圓弧上，D在半徑OQ；方案二：矩形EFGH的頂點(diǎn)在圓弧上，頂點(diǎn)G，H分別在兩條半徑上．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，為房產(chǎn)商提供決策建議． 【解答】解：按方案一：如圖，連OC，設(shè)， 在Rt△OBC中， BC=Rsinx，OB=Rcosx，則DA=Rsinx 在Rt△OAD中，，得， 則，設(shè)矩形ABCD的面積為y，則 y=AB?BC==sin（2x+）﹣， 由得． 所以當(dāng)，即時(shí)． 按方案二：如圖作∠POQ的平分線分別交EF，GH于點(diǎn)M，N，連OE． 設(shè)，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα 在Rt△ONH中，，得， 則，設(shè)矩形EFGH的面積為S，

35、則S=2ME?MN=2R2sinα（cosα﹣sinα）=R2（sin2α+cos2α﹣）= 由，則，所以當(dāng)，即時(shí)∵，即ymax＞Smax 江蘇省啟東中學(xué)高三數(shù)學(xué)二輪專題強(qiáng)化訓(xùn)練2020.1 題型三解析幾何 1. 已知橢圓C: ，離心率為，左準(zhǔn)線方程是，設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y＝2上，且OA⊥OB． （1）求橢圓C的方程； （2）求ΔAOB面積取得最小值時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度； （2）由題意，直線OA的斜率存在，設(shè)直線OA的斜率為k， 若k＝0，則A(，0)或(－，0)，

36、B(0，2)，此時(shí)ΔAOB面積為，AB＝．6分 若k≠0，則直線OA：y＝kx與橢圓聯(lián)立得： (1＋2)＝2，可得OA＝ 直線OB：y＝x與y＝2聯(lián)立得：B(－2k，2)，則OB＝2， 10分 SΔOAB＝OA×OB＝，令t＝>1， 12分 則SΔOAB＝， 所以SΔOAB的最小值為，在k＝0時(shí)取得，此時(shí)AB＝． ..........14分 2. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn). （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，，記直線的斜率分

37、別為，當(dāng)時(shí)，求的值. 解：（1）因，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上， 又圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，所以橢圓的半焦距， ……………3分 所以，即，所以橢圓的方程為. ……………6分 （2）方法一：設(shè)，，， 聯(lián)立，消去，得， 所以，又，所以， 所以，， 10分 . …… 方法二：設(shè)，，， 則， 兩式作差，得， 又，，∴，∴，又，在直線上，∴，∴，①又在直線上，∴，② 由①②可得，. …10分 3. 已知橢圓E： +=1過(guò)點(diǎn)D（1，）

38、，且右焦點(diǎn)為F（1，0）右頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)F的弦為BC，直線BA，直線CA分別交直線l：x=m（m＞2）于P、Q兩點(diǎn)． （1）求橢圓方程； （2）若FP⊥FQ，求m的值． 解：（1）右焦點(diǎn)為F（1，0），可得 c=1，左焦點(diǎn)F'為（﹣1，0）， 由橢圓的定義可得2a=|DF|+|DF'|=+=4， 即有a=2，b==，則橢圓的方程為+=1； （2）當(dāng)BC垂直于x軸，即有B（1，﹣），C（1，）， 設(shè)P（m，s），Q（m，t），A（2，0），F(xiàn)（1，0）， 由B，A，P共線，可得kAB=kAP， 即為=，即有s=（m﹣2）， 即有P（m，（m﹣2）），=（m﹣1，（m﹣2

39、））， 同樣可得Q（m，﹣（m﹣2）），=（m﹣1，﹣（m﹣2））， FP⊥FQ即為=0， 即有（m﹣1）2﹣（m﹣2）2=0， 解得m=4； 當(dāng)直線CB與x軸不垂直，則設(shè)直線CB的斜率為k，（k≠0） ∴直線CB的方程為y=k（x﹣1），k≠0， 又設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），P（m，y3），Q（m，y4）， 聯(lián)立，消y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0， ∴x1+x2=，x1x2=， ∴y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=， 又∵A、B、P三點(diǎn)共線， ∴y3=（m﹣2）?，同理y4=（m﹣2）?， ∴=（m﹣1，（m﹣2）?），=（m﹣

40、1，（m﹣2）?）， 由于=0，即為=（m﹣1）2+（m﹣2）2?=0， 分別代入x1+x2，x1x2，y1y2，可得（m﹣1）2﹣（m﹣2）2=0， 解得m=4．綜上可得m=4． 4. 設(shè)橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，以線段為直徑作圓．若圓與軸相交于不同的兩點(diǎn)，求的面積； （3）如圖，、、、是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．設(shè)的斜率為，的斜率為，求證：為定值． （1）圓的方程為， 直線與圓O相切， ，即，又， ， ， 橢圓的方程為；

41、 （2）由題意，可得， 圓的半徑，， 的面積為； （3）由題意可知， 的斜率為，直線的方程為， 由，得， 其中，，， 則直線的方程為， 令，則， 即， 直線的方程為， 由，解得，， 的斜率 ， （定值）． 5. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 已知圓，橢圓， 為橢圓右頂點(diǎn)．過(guò)原點(diǎn)且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與圓的另一交點(diǎn)為，直線與圓的另一交點(diǎn)為，其中．設(shè)直線的斜

42、率分別為．（1）求的值； （2）記直線的斜率分別為，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說(shuō)明理由； （3）求證：直線必過(guò)點(diǎn)． 6.橢圓的方程為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn). （1）若分別為的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且的斜率為，求的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若，且，求面積的最大值. 解：（1）設(shè)， 則，兩式相減，得， 即，又，， 代入化簡(jiǎn)，得，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）設(shè)直線， 由方程組 ① ，，， ， ②設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為， 則，令， 設(shè)，則：. 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的面積取得最大值1. 7. 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，直線與圓：均相切.

43、 （1）若橢圓的兩條準(zhǔn)線間的距離為8，焦距為2 .①求橢圓的方程； ②若，且，求圓的方程.（2）若橢圓的離心率為，，求的最小值. 8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：（）的離心率為，點(diǎn)，分別為橢圓的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，設(shè)直線的斜率為． （1）當(dāng)時(shí)，證明直線平分線段；（2）已知點(diǎn)，則： ①若，求；②求四邊形面積的最大值． 【解】（1）點(diǎn) 橢圓的方程為 設(shè)，，則， 的直線方程為： （2）①設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，， 則 …………………………………………………6分 ，即 由，解得；由，解得…………8分 ，即

44、 或．………………………10分 ②點(diǎn)到直線的距離 點(diǎn)到直線的距離 ………………12分 …………………………14分 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以四邊形面積的最大值為．………………………16分 9. 已知圓O：與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)P在直線l：上，過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線，切點(diǎn)為T. （1）若a＝8，切點(diǎn),求直線AP的方程； （2）若PA=2PT，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解：（1）由題意，直線PT切于點(diǎn)T，則OT⊥PT，又切點(diǎn)T的坐標(biāo)為， 所以，， ………………………………………3分 故直線PT的方程為，即. 所以解得即， …………………5分 所以直線AP

45、的斜率為， 故直線AP的方程為， 即. …………………………………………7分 （2）設(shè)，由PA＝2PT，可得， 即，滿足PA＝2PT的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓， ……11分所以，即， 解得. …………………………………………15分10. ）已知橢圓E：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A，橢圓的上頂點(diǎn)為B，直線AB被以原點(diǎn)為圓心的圓O所截得的弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓E的方程及圓O的方程； （2）若M是準(zhǔn)線l上縱坐標(biāo)為t的點(diǎn)，求證：存在一個(gè)異于M的點(diǎn)Q，對(duì)于圓O上任意一點(diǎn)N，有為定值；且當(dāng)M在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上．

46、 （1）解：∵橢圓E：的離心率為， ∴a=2k，c=，b2=2k2，∴橢圓E：，把點(diǎn)代入得k2=2， ∴橢圓E方程：．圓的方程：x2+y2=4 （2）證明：橢圓E的右準(zhǔn)線l的方程為x=4． 設(shè)l上取定的點(diǎn)M為（4，t），圓O上任意的一點(diǎn)N為（x0，y0），定點(diǎn)Q為（x，y）． ∵NM與NQ的比是常數(shù)且Q不同于M， ∴NQ2=λNM2，λ是正的常數(shù)（λ≠1）， 即（x0﹣x）2+（y0﹣y）2=λ（x0﹣4）2+λ（y0﹣t）2， 即x02+y02﹣2xx0﹣2yy0+x2+y2=λ（x02+y02+16+t2﹣8x0﹣2ty0）． 將x02+y02=4代入，有﹣2xx0﹣2y

47、y0+x2+y2+4=﹣8λx0﹣2λty0+（20+t2）λ． 又∵有無(wú)數(shù)組（x0，y0）， ∴， 由①②代入③，得16λ2+t2λ2+4=（20+t2）λ，即（16+t2）λ2﹣（20+t2）λ+4=0， ∴（λ﹣1）[（16+t2）λ﹣4]=0． 又∵λ≠1，∴λ=，即存在一個(gè)定點(diǎn)Q（不同于點(diǎn)M），使得對(duì)于圓O上的任意一點(diǎn)N，均有為定值． 將16+t2=代入③，得x2+y2+4=（+4）λ，即x2+y2=4λ，于是x2+y2=x，即（x﹣）2+y2=， 故點(diǎn)Q在圓心（，0），半徑為的定圓上． 定值為：，Q在圓心，半徑為的定圓上 11.如圖所示，已知圓的圓心在直線上，且該

48、圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，又圓與直線相切，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)． （1）求圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程； （3）是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． （2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知符合題意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為， 即連接，則， ∵，∴， 由，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴直線的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴所求直線的方程為或．．．．．．．．．．．．．．10分 12. 如圖，橢圓E：的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e

49、=．過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8． （Ⅰ）求橢圓E的方程． （Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q．試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 解：（Ⅰ）∵過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8． ∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴橢圓E的方程為． （Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0 ∵動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x0，y0） ∴m≠0，△=0

50、，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0 ∴4k2﹣m2+3=0①此時(shí)x0==，y0=，即P（，） 由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此時(shí)P（0，），Q（4，），以PQ為直徑的圓為（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x軸于點(diǎn)M1（1，0）或M2（3，0） 取k=，m=2，此時(shí)P（1，），Q（4，0），以PQ為直徑的圓為（x﹣）2+（y﹣）2=，交x軸于點(diǎn)M3（1，0）或M4（4，0） 故若滿足條件的點(diǎn)M存在，只能是M（1，0），證明如下∵ ∴ 故以PQ為直徑的圓恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)M（1，0） 13.已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)上頂點(diǎn)A(0，2)，右焦點(diǎn)F(1，0)

51、，設(shè)橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,6)的距離為d． （1）求d的最大值； （2）過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于點(diǎn)S，T兩點(diǎn)，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),l為橢圓的右準(zhǔn)線． ①若PF⊥ST，求證：直線OP平分線段ST； ②設(shè)直線PS，PF，PT的斜率分別為k1，k2，k3，問(wèn)：k1，k2，k3能否成等差數(shù)列？． x O y P F T A l S 已知點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn)，P到直線l1：x=﹣2的距離為d1，到點(diǎn)F（﹣1，0）的距離為d2，且=．（1）求橢圓C的方程； （2）如圖，直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B（A，B都在x軸上

52、方），且 ∠OFA+∠OFB=180°． （i）當(dāng)A為橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程； （ii）是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論∠OFA如何變化，直線l總過(guò)該定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解答】解：（1）設(shè)P（x，y），∵點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn)， P到直線l1：x=﹣2的距離為d1，到點(diǎn)F（﹣1，0）的距離為d2，且=， ∴d1=|x+2|，d2=，==， 化簡(jiǎn)，得=1．∴橢圓C的方程為=1． （2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），∴kAF==1， ∵∠OFA+∠OFB=180°，∴kBF=﹣1， ∴直線BF的方程為：y=﹣

53、（x+1）=﹣x﹣1， 代入=1，得3x2+4x=0，解得x1=0，， 代入y=﹣x﹣1，得（舍），或，∴B（﹣，），kAB==， ∴直線AB的方程為y=． （ii）∵∠OFA+∠OFB=180°，∴kAF+kBF=0，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入=1， 得，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，∴kAF+kBF=+=+ ==0， ∴（kx1+b）（x2+1）+（kx2+b）（x1+1）=2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b =2k×﹣（k+b）×+2b=0， ∴b﹣2k=0，∴直線AB的方程為y=k（x+2）， ∴直線AB總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（﹣2，0）．

54、 15. 已知橢圓的離心率為，一個(gè)交點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為3，圓N的方程為為半焦距）直線與橢圓M和圓N均只有一個(gè)公共點(diǎn)，分別設(shè)為A、B。 （1）求橢圓方程和直線方程； （2）試在圓N上求一點(diǎn)P，使。 16.如圖，已知單位圓（為直角坐標(biāo)原點(diǎn)），是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且為正三角形. （1）若點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求的最小值. 解： 由題意，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為. …………………2分 （1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有 ，且，. ………………………………4分 由已知得， ………………………………6分

55、解得，或 ，即的坐標(biāo)為或. ………8分 （2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 ，且，. ……………………10分 所以 江蘇省啟東中學(xué)高三數(shù)學(xué)二輪專題強(qiáng)化訓(xùn)練2020.1 題型四函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 1. 已知函數(shù)f（x）=x2﹣2alnx（a∈R），g（x）=2ax． （1）求函數(shù)f（x）的極值； （2）若a＞0，函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值； （3）若0＜a＜1，對(duì)于區(qū)間[1，2]上的任意兩

56、個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求a的取值范圍． 【解答】解：（1）f′（x）=， 當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，f（x）無(wú)極值， 當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減， x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增， ∴f（x）有極小值f（）=a﹣alna， 綜上：a≤0時(shí)，f（x）無(wú)極值， a＞0時(shí)，f（x）極小值=a﹣alna，無(wú)極大值； （2）令h（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，則h′（x）=， ∵a＞0，令h′（x）=0，解得x0=， ∴h（x）在（0，）遞

57、減，在（，+∞）遞增， ∴h（x）在x0處取得極小值h（x0）=0， ∴﹣2alnx0﹣2ax0=0且2﹣2ax0﹣2a=0， 聯(lián)立可得：2lnx0+x0﹣1=0， 令m（x）=2lnx+x﹣1得m′（x）=+1＞0， 故m（x）在（0，+∞）遞增又m（1）=0，x0=1， 即=1，解得：a=； （3）不妨令1≤x1＜x2≤2， 則由（1）得f（x1）＜f（x2） ∴|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2） ?f（x2）﹣f（x1）＞g（x2）﹣g（x1） ?f（x2）﹣g（x2）＞f（x1）﹣g（x1）， 則h（x）在[1，2]遞增，∴h′（x）=≥0在[

58、1，2]恒成立， 即2x2﹣2ax﹣2a≥0在[1，2]恒成立，∴a≤在[1，2]恒成立， 令t=x+1∈[2，3]，則=t+﹣2≥， ∴0＜a≤，∴a的范圍是（0，]． 　2. 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=（n∈N*）．若{an}為等比數(shù)列，且a1=2，b3=6+b2． （Ⅰ）求an和bn； （Ⅱ）設(shè)cn=（n∈N*）．記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn． （i）求Sn； （ii）求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N*均有Sk≥Sn． 【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…an=（n∈N*） ①， 當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，②， 由①②知：， 令n=3，則有

59、． ∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{an}為等比數(shù)列，且a1=2， ∴{an}的公比為q，則=4，由題意知an＞0，∴q＞0，∴q=2． ∴（n∈N*）．又由a1a2a3…an=（n∈N*）得： ，， ∴bn=n（n+1）（n∈N*）． （Ⅱ）（i）∵cn===． ∴Sn=c1+c2+c3+…+cn = = = =； （ii）因?yàn)閏1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0； 當(dāng)n≥5時(shí)， ，而=＞0， 得，所以，當(dāng)n≥5時(shí)，cn＜0， 綜上，對(duì)任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k=4． 3. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （

60、2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.求. (2) 由 且 所以：， 則：，，?? ?，（7分） 以上n-1個(gè)等式相加得： 則：＝2－，又 （9分） 所以： （10分） （3） 由題意知 （11分） 則 以上兩式相減得 （13分） 則 恒成立， （16分） 4.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，即， （1）若數(shù)列為首項(xiàng)為202

61、0，公比為的等比數(shù)列， ①求的表達(dá)式；②當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值； （2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列都有且成立，求證：為等比數(shù)列. 解（1）①由題意知， 所以，（3分） ②記，，即，， ，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 又因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是,(6分) 此時(shí)，而，,,所以, 而， 所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，（9分） （2）當(dāng)2時(shí)，，所以，即，（10分） 已知① 當(dāng)時(shí)，② ①②兩式相除得，化簡(jiǎn)得，③ 又因?yàn)棰? ③④兩式相除得⑤，（12分） ⑤式可化為， 令，所以，，所以, 即，，都成立， 所以為等比數(shù)列.(16分) （當(dāng)然令，則轉(zhuǎn)而證明為等差數(shù)列，方法雷同，不再贅述

62、） 5. 設(shè)函數(shù)，（）. （1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）； （2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （3）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （參考數(shù)據(jù)：，） 解：（1）當(dāng)時(shí)，方程即為，去分母，得 ，解得或， ……………2分 故所求方程的根為或. ……………4分 （2）因?yàn)椋? 所以（）， ……………6分 ①當(dāng)時(shí)，由，解得； ②當(dāng)時(shí)，由，解得； ③當(dāng)時(shí)，由，

63、解得； ④當(dāng)時(shí)，由，解得； ⑤當(dāng)時(shí)，由，解得. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為； 時(shí)，的增區(qū)間為. .……………10分 （3）方法一：當(dāng)時(shí)，，， 所以單調(diào)遞增，，， 所以存在唯一，使得，即， .……………12分 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 所以， 記函數(shù)，則在上單調(diào)遞增， .……………14分 所以，即， 由，且為整數(shù)，得， 所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為. .

64、……………16分 方法二：當(dāng)時(shí)，，所以， 由得，當(dāng)時(shí)，不等式有解， .……………12分 下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，即證恒成立. 顯然當(dāng)時(shí)，不等式恒成立， 只需證明當(dāng)時(shí)，恒成立. 即證明.令， 所以，由，得， .……………14分 當(dāng)，；當(dāng)，； 所以. 所以當(dāng)時(shí)，恒成立. 綜上所述，存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為. .……………16分 6.若存在常數(shù)、、，使得無(wú)窮數(shù)列滿足 則稱數(shù)列為“段比差數(shù)列”，其中常數(shù)、、分別叫做段長(zhǎng)、段比、段差. 設(shè)數(shù)列為“段比差數(shù)列”.

65、 （1）若的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別為1、3、、3. ①當(dāng)時(shí)，求； ②當(dāng)時(shí)，設(shè)的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）設(shè)為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，試寫出所有滿足條件的，并說(shuō)明理由. （1）①方法一：∵的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別為1、3、0、3， ，，. ……………3分 方法二：∵的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別為1、3、0、3， ∴，，，，，，，… ∴當(dāng)時(shí)，是周期為3的周期數(shù)列.∴. ②方法一：∵的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別

66、為1、3、1、3， ∴， ∴是以為首項(xiàng)、6為公差的等差數(shù)列， 又， ， ，，設(shè)，則， 又， 當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，， ∴，∴， ……………9分 方法二：∵的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別為1、3、1、3， ∴，∴，∴是首項(xiàng)為、公差為6的等差數(shù)列， ∴， 易知中刪掉的項(xiàng)后按原來(lái)的順序構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為3的等差數(shù)列， ， ， ………………6分 以下同方法一. （2）方法一：設(shè)的段長(zhǎng)、段比、段差分別為、、， 則等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式有， 當(dāng)時(shí)，，即恒成立， ……………12分 ①若，則，； ②若，則，則為常數(shù)，則，為偶數(shù)，，； 經(jīng)檢驗(yàn)，滿足條件的的通項(xiàng)公式為或. ……………16分 方法二：設(shè)的段長(zhǎng)、段比、段差分別為、、， ①若，則，，，， 由，得；由，得， 聯(lián)立兩式，得或，則或，經(jīng)檢驗(yàn)均合題意. …………