高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 對函數(shù)的進一步認識（第2課時）基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）

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1、2.2 函數(shù)的表示法 1．掌握函數(shù)的三種表示方法，會選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)． 2．掌握求函數(shù)解析式的一般方法． 3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用． 1．函數(shù)的表示法 (1)列表法：列一個兩行多列的表格，第一行是______取的值，第二行是對應(yīng)的______，這種用____的形式表示兩個變量之間________的方法，稱為列表法． 列表法不必通過計算就能知道兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，比較直觀，但它只能表示有限個元素間的函數(shù)關(guān)系． (2)圖像法：以自變量x的取值為橫坐標，對應(yīng)的函數(shù)值y為______，在平面直角坐標系中描出各個點，這些點構(gòu)成了函數(shù)y＝f(x)的圖

2、像，這種用____把兩個變量間的________表示出來的方法，稱為圖像法． 圖像法可以直觀地表示函數(shù)局部變化規(guī)律，進而可以預(yù)測它的整體趨勢，比如心電圖等． (3)解析法：一個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可以用自變量的__________(簡稱解析式)表示出來，這種方法稱為解析法． 解析法有兩個優(yōu)點：一是簡明、全面地概括了變量間的變化規(guī)律；二是可以通過解析式求出任意一個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值．缺點是并不是任意函數(shù)都可用解析法表示，僅當(dāng)兩個變量間有變化規(guī)律時，才能用解析法表示． 【做一做1】 已知函數(shù)f(x＋1)＝3x＋2，則f(x)的解析式是( )． A．f(x

3、)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4 2．分段函數(shù) 所謂“分段函數(shù)”，習(xí)慣上指在定義域的不同部分，有不同的________的函數(shù)． 分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)．分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集．值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實際問題，如出租車的計費、個人所得稅納稅額等等．處理分段函數(shù)問題時，首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪個區(qū)間段，從而選取相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系． 【做一

4、做2】 函數(shù)f(x)＝則f 的值為( )． A. B．1 C. D．2 答案：1．(1)自變量　函數(shù)值　表格　函數(shù)關(guān)系　(2)縱坐標　圖像 函數(shù)關(guān)系　(3)解析表達式 【做一做1】 C　設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1，則f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，則f(x)＝3x－1. 2．對應(yīng)關(guān)系 【做一做2】 A 如何畫分段函數(shù)的圖像？ 剖析：畫分段函數(shù)的圖像要先分析分段函數(shù)的定義域，遵循定義域優(yōu)先的原則． 例如：畫函數(shù)y＝的圖像． 步驟：①畫整個二次函數(shù)y＝(x＋1)2的圖

5、像，再取其在區(qū)間(－∞，0]上的圖像，其他部分刪去不要；②畫一次函數(shù)y＝－x的圖像，再取其在區(qū)間(0，＋∞)上的圖像，其他部分刪去不要；③這兩部分合起來就是所要畫的分段函數(shù)的圖像，如圖所示． 由此可得，畫分段函數(shù)y＝(D1，D2，…兩兩交集是空集)的圖像的步驟是： ①畫整個函數(shù)y＝f1(x)的圖像，再取其在區(qū)間D1上的圖像，其他部分刪去不要； ②畫整個函數(shù)y＝f2(x)的圖像，再取其在區(qū)間D2上的圖像，其他部分刪去不要； ③依次畫下去； ④將各個部分合起來就是所要畫的分段函數(shù)的圖像． 題型一 求函數(shù)的解析式 【例1】 已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝9x＋4，求

6、f(x)的解析式． 分析：解答本題可利用待定系數(shù)法，設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，再根據(jù)題設(shè)條件列方程組求解待定系數(shù)k，b. 反思：本題以f(x)為一次函數(shù)作為切入點，運用待定系數(shù)法，構(gòu)建所設(shè)參數(shù)的方程組從而解決問題，這是一種常用的解題方法，已知函數(shù)類型求函數(shù)解析式常用此方法． 【例2】 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)． 分析：本題實際上是尋找對應(yīng)關(guān)系f怎樣對自變量起作用．解答本題可在“x＋2”中配湊出“＋1”或?qū)ⅰ埃?”整體換元來求解． 反思：換元法是求解函數(shù)解析式的基本方法，在不清楚函數(shù)類型的情況下往往運用此法，但要注意自變量的取值范圍的變化情況，否則就得不到正確的表達式．

7、 【例3】 已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)． 分析：已知x和互為倒數(shù)，故可在等式2f＋f(x)＝x中令x取的值，得到關(guān)于f(x)，f的另一個等式，把f(x)與f看成未知數(shù)，通過解方程組求得f(x)． 反思：對于已知等式中出現(xiàn)兩個不同變量的函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)這兩個變量的關(guān)系，重新建立關(guān)于這兩個變量的不同等式，利用整體思想把f(x)和另一個函數(shù)看成未知數(shù)，解方程組得函數(shù)f(x)的解析式．類似于解二元一次方程組，故稱為方程組法． 題型二 分段函數(shù) 【例4】 已知函數(shù)f(x)＝ (1)畫出函數(shù)的圖像； (2)根據(jù)已知條件分別求f(1)，f(－3)，f[f(－3)]，f{f[

8、f(－3)]}的值． 分析：給出的函數(shù)是分段函數(shù)，應(yīng)注意在不同的范圍上用不同的關(guān)系式． (1)函數(shù)f(x)在不同區(qū)間上的關(guān)系都是常見的函數(shù)關(guān)系，因而可利用常見函數(shù)的圖像作圖． (2)根據(jù)自變量的值所在的區(qū)間，選用相應(yīng)的關(guān)系式求函數(shù)值． 反思：分段函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是借助于幾個不同的表達式來表示的，處理分段函數(shù)的問題時，首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪一個區(qū)間，從而選相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系．對于分段函數(shù)，各個分段的“端點”要注意處理好． 題型三 函數(shù)的圖像 【例5】 作出下列函數(shù)的圖像． (1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)． 分析：(1)中函數(shù)的定義域為Z；

9、(2)中函數(shù)是二次函數(shù)，且定義域為[0,3)，作圖像時要注意定義域?qū)D像的影響． 反思：1.圖像法是表示函數(shù)的方法之一，畫函數(shù)圖像時，以定義域、對應(yīng)法則為依據(jù)，采用列表、描點法作圖．當(dāng)已知解析式是一次或二次式時，可借助一次函數(shù)或二次函數(shù)的圖像幫助作圖． 2．作圖像時，應(yīng)標出某些關(guān)鍵點．例如，圖像的頂點、端點、與坐標軸的交點等，要分清這些關(guān)鍵點是實心點，還是空心點． 題型四 應(yīng)用問題 【例6】 如圖所示，從邊長為2a的正方形鐵片的四個角各裁一個邊長為x的正方形，然后折成一個無蓋的長方體盒子，要求長方體的高度x與底面正方形邊長的比不超過正常數(shù)t.試把鐵盒的容積V表示為x的函數(shù)，并求出其定

10、義域． 分析：可由題意將長方體的高度和底面正方形的邊長表示出來，但要注意定義域x不但受解析式的影響，還受t的限制． 反思：求實際問題中函數(shù)的定義域時，除考慮函數(shù)解析式有意義外，還要考慮使實際問題有意義，如本題中單從解析式上看，使解析式有意義的x∈R，但問題的實際意義x＜a，且≤t，這就是實際問題對自變量的制約． 答案：【例1】 解：設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)， 則f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2. ∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. 【例2】 解：方法一(配湊法)： ∵f(＋1)＝x

11、＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 方法二(換元法)： 令＋1＝t(t≥1)，則x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)． ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 【例3】 解：∵f(x)＋2f＝x，令x取的值， 得f＋2f(x)＝. 于是得關(guān)于f(x)與f的方程組 解得f(x)＝－(x≠0)． 【例4】 解：(1)分別畫出y＝x2(x＞0)，y＝1(x＝0)，y＝0(x＜0)的圖像，即得所求函數(shù)的圖像如圖所示． (2)f(1)＝12＝1，f(－3)＝0，f[f(－3)]＝f(0)＝1，f{f[f(

12、－3)]}＝f[f(0)]＝f(1)＝12＝1. 【例5】 解：(1)這個函數(shù)的圖像由一些點組成，這些點都在直線y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，這些點都為整數(shù)點，如圖①所示為函數(shù)圖像的一部分． 圖① 　圖② (2)∵0≤x＜3，∴這個函數(shù)的圖像是拋物線y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之間的一段弧，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，當(dāng)x＝0時，y＝－3；當(dāng)x＝3時，y＝3，如圖②所示． 【例6】 解：依題意知，長方體鐵盒高為x，底面正方形的邊長為(2a－2x)，則V＝(2a－2x)2·x＝4x(a－x)2.

13、 ∵∴ ∵a－＝＞0，∴0＜x≤. ∴鐵盒容積V＝4x(a－x)2，定義域為 . 1 已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)的值為( )． x 1 2 3 4 f(x) －3 －2 －4 －1 A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 2函數(shù)f(x)＝的圖像是( )． 3(2020山東壽光高一期中)若f(x)＝，則方程f(4x)＝x的根是( )． A. B． C．2 D．－2 4已知f(x－1)＝x2＋1

14、，則f(x)＝__________. 5已知函數(shù)f(x)＝ (1)求f[f()]的值； (2)若f(a)＝3，求a的值． 答案：1．D 2．C　∴f(x)＝應(yīng)選C. 3．A　∵f(4x)＝＝x， ∴4x－1＝4x2.∴4x2－4x＋1＝0.∴x＝. 4．x2＋2x＋2　設(shè)x－1＝t，則x＝t＋1， 所以f(t)＝(t＋1)2＋1，即f(x)＝(x＋1)2＋1＝x2＋2x＋2. 5．分析：本題給出的是一個分段函數(shù)，函數(shù)值的取值直接依賴于自變量x屬于哪一個區(qū)間，所以要對x的可能范圍逐段進行討論． 解：(1)∵－1＜＜2，∴f()＝()2＝3. 而3≥2，∴f [f()]＝f(3)＝2×3＝6. (2)當(dāng)a≤－1時，f(a)＝a＋2， 又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)； 當(dāng)－1＜a＜2時，f(a)＝a2， 又f(a)＝3，∴a＝±，其中－舍去，∴a＝； 當(dāng)a≥2時，f(a)＝2a，又f(a)＝3， ∴a＝(舍去)．綜上所述，a＝.