高中數(shù)學 第四章 函數(shù)應用 第1節(jié) 函數(shù)與方程（第1課時）基礎知識素材 北師大版必修1（通用）

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1、1．1 利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在 1．了解函數(shù)的零點與方程的根的關系． 2．掌握函數(shù)零點存在性的判定方法． 3．探究在某區(qū)間上圖像連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法． 1．函數(shù)的零點 (1)定義：函數(shù)y＝f(x)的圖像與橫軸的交點的______稱為這個函數(shù)的零點． (2)意義：函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程______的解． ①方程f(x)＝0有解函數(shù)f(x)的圖像與x軸有交點函數(shù)f(x)有零點． ②并非所有的函數(shù)都有零點．例如，函數(shù)f(x)＝x2＋1，由于方程x2＋1＝0無實數(shù)根，則該函數(shù)無零點． 【做一做1－1】 函數(shù)y＝x的零點是( )． A．

2、(0,0) B．0 C．1 D．不存在 【做一做1－2】 函數(shù)f(x)＝x2－2x的零點個數(shù)是( )． A．0 B．1 C．2 D．3 2．函數(shù)零點的判定定理 若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是____曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號______，即______＜0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)至少有____零點，即相應的方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解． 當函數(shù)y＝f(

3、x)同時滿足：①函數(shù)的圖像在閉區(qū)間[a，b]上是連續(xù)曲線；②f(a)·f(b)＜0，則可以判斷函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，但是不能明確說明有幾個零點． 當函數(shù)y＝f(x)的圖像在閉區(qū)間[a，b]上不是連續(xù)曲線，或不滿足f(a)·f(b)＜0時，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)可能存在零點，也可能不存在零點． 例如：①二次函數(shù)f(x)＝x2－2x－3在區(qū)間[3，4]上有f(3)＝0，f(4)＞0，所以有f(3)·f(4)＝0，但3是函數(shù)f(x)的一個零點. ②函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間[－1，1]上，f(－1)·f(1)＝1＞0，但是它存在零點0. ③函數(shù)f(x)＝

4、在區(qū)間[－1，1]上有f(－1)·f(1)＜0，但是由其圖像知函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1，1)內(nèi)無零點. 【做一做2－1】 已知函數(shù)f(x)＝x3－x－1僅有一個正零點，則此零點所在的區(qū)間是( )． A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1) 【做一做2－2】 函數(shù)f(x)＝mx－1在(0,1)內(nèi)有零點，則實數(shù)m的取值范圍是__________． 答案：1．(1)橫坐標　(2)f(x)＝0 【做一做1－1】 B 【

5、做一做1－2】 C 2．連續(xù)　相反　f(a)·f(b)　一個 【做一做2－1】 C　利用零點存在的判定條件，判斷零點存在的區(qū)間．由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，f(3)＝23＞0，f(4)＝59＞0，根據(jù)選項，只有區(qū)間(1,2)滿足． 【做一做2－2】 (1，＋∞)　由f(0)·f(1)＜0得(－1)·(m－1)＜0.∴m＞1. 函數(shù)的零點是點嗎？ 剖析：函數(shù)y＝f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數(shù)的零點，因此函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)＝0的解，即函數(shù)的零點是一個實數(shù)．當函數(shù)的自變量取這一實數(shù)時，其對應函數(shù)值為零．方程f(x)＝0解的

6、個數(shù)等于函數(shù)f(x)零點的個數(shù)． 函數(shù)f(x)＝x＋1，當f(x)＝x＋1＝0時僅有一個實根x＝－1，所以函數(shù)f(x)＝x＋1有一個零點－1.由此可見函數(shù)f(x)＝x＋1的零點是一個實數(shù)－1，而不是一個點(－1,0)． 題型一 求函數(shù)的零點 【例1】 判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出． (1)f(x)＝－8x2＋7x＋1； (2)f(x)＝1＋log3x； (3)f(x)＝4x－16； (4)f(x)＝. 分析：可通過解方程求得函數(shù)的零點． 反思：求函數(shù)的零點時，先考慮解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0無實根則函數(shù)無零點，方程f(x)＝0有實根則函數(shù)有零點

7、． 本題(4)中解方程容易錯寫成函數(shù)的零點是－6和2，其原因是沒有驗根．避免出現(xiàn)此類錯誤的方法是解分式方程、對數(shù)方程等要驗根，保證方程有意義． 題型二 判斷函數(shù)零點的個數(shù) 【例2】 求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點個數(shù)． 分析：思路一，借助函數(shù)f(x)的單調(diào)性確定；思路二，借助圖像確定． 反思：判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法主要有： (1)解方程：當能直接求解零點時，就直接求出進行判斷． (2)用定理：零點存在性定理． (3)利用圖像的交點：有些題目可先畫出某兩個函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的圖像，其交點的橫坐標是f(x)－g(x)的零點． 題型三 判斷函數(shù)零點所

8、在大致區(qū)間 【例3】 求證：方程5x2－7x－1＝0的根一個在區(qū)間(－1,0)上，另一個在區(qū)間(1,2)上． 分析：證明方程5x2－7x－1＝0的兩根分別位于(－1,0)和(1,2)上，即證在(－1,0)和(1,2)上各有一個零點． 反思：判斷函數(shù)f(x)是否在(x1，x2)上存在零點，除驗算f(x1)·f(x2)＜0是否成立外，還需考察函數(shù)在(x1，x2)上是否連續(xù)．若要判斷根的個數(shù)，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性． 題型四 由函數(shù)的零點求參數(shù)的取值范圍 【例4】 若函數(shù)y＝ax2－x－1只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍． 分析：由于函數(shù)y＝ax2－x－1中x2前面的系數(shù)a不確定，故需分a

9、＝0和a≠0兩種情況討論． 反思：解決本題時易忽略a＝0的情形，因為題目中并沒有說明所給函數(shù)是二次函數(shù)． 題型五 易錯辨析 易錯點 因函數(shù)的圖像不是連續(xù)不斷的而造成判斷錯誤 【例5】 函數(shù)f(x)＝x＋的零點個數(shù)為__________． 錯解：因為f(－1)＝－2，f(1)＝2，且x＜0時，f(x)＜0；x＞0時，f(x)＞0，所以y＝f(x)有一個零點．故填1. 錯因分析：函數(shù)的定義域決定了函數(shù)的一切性質(zhì)，分析函數(shù)的有關問題時必須先求定義域．通過作圖可知函數(shù)f(x)＝x＋的圖像不是連續(xù)不斷的，因而零點存在性定理不能使用． 答案：【例1】 解：(1)令－8x2＋7x＋1＝0，

10、解得x＝－或x＝1，所以函數(shù)的零點為－和1. (2)令1＋log3x＝0，則log3x＝－1，解得x＝， 所以函數(shù)的零點為. (3)令4x－16＝0，則4x＝42，解得x＝2，所以函數(shù)的零點為2. (4)因為f(x)＝＝，令＝0，解得x＝－6， 所以函數(shù)的零點為－6. 【例2】 解法1：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0， f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3＞0， ∴f(x)＝0在(0,2)上必定存在實根． 又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數(shù)，故f(x)有且只有一個實根． 解法2：在同一坐標系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)

11、的疊合圖像． 由圖像知g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x有且只有一個交點，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點． 【例3】 解：設f(x)＝5x2－7x－1，則f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11＜0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15＜0. 而二次函數(shù)f(x)＝5x2－7x－1是連續(xù)的， 所以f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一個零點， 即方程5x2－7x－1＝0的根一個在區(qū)間(－1,0)上，另一個在區(qū)間(1,2)上． 【例4】 解：(1)當a＝0時，函數(shù)為y＝－x－1，顯然該函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點，即函數(shù)只有一個零點．

12、(2)當a≠0時，函數(shù)y＝ax2－x－1是二次函數(shù)． 因為y＝ax2－x－1只有一個零點， 所以關于x的方程ax2－x－1＝0有兩個相等的實數(shù)根， 所以Δ＝0，即1＋4a＝0，解得a＝－. 綜上所述，a的值為0或－. 【例5】 正解：函數(shù)的定義域為{x|x≠0}， 當x＞0時，f(x)＞0；當x＜0時，f(x)＜0，所以函數(shù)沒有零點．故填0. 1 下列函數(shù)存在零點的是( )． A．y＝ B．y＝log3x C．y＝x2＋x＋1 D．y＝3x 2 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)f

13、(x)在(－2,2)內(nèi)有一個零點，則f(－2)·f(2)的值 ( )． A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定 3 函數(shù)f(x)＝的零點所在的大致區(qū)間是( )． A．(0,1) B．(1,2) C．(2，e) D．(3,4) 4 函數(shù)f(x)＝－x3－3x＋5的零點所在區(qū)間為________． 5 已知函數(shù)f(x)＝2x－3x2.問方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]

14、內(nèi)有沒有實數(shù)解？為什么？ 答案：1．B 2．D　函數(shù)f(x)在(－2,2)內(nèi)有一個零點，則可能f(－2)·f(2)＜0，可能f(－2)·f(2)＞0. 3．B　f(1)＝ln2－2＜0，f(2)＝ln3－1＞0，則函數(shù)f(x)的零點所在的大致區(qū)間是(1,2)． 4．(1,2)　∵f(0)＝5＞0，f(1)＝1＞0，f(2)＝－9＜0， ∴零點所在區(qū)間為(1,2)． 5．分析：要判斷方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]上有沒有實數(shù)解，只需看f(－1)，f(0)是否反號即可． 解：∵f(－1)＝，f(0)＝1＞0， 又∵函數(shù)f(x)＝2x－3x2的圖像是連續(xù)曲線， ∴f(x)在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有零點，即f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有實數(shù)解．