高中數(shù)學 第一章 集合 第3節(jié) 集合的基本運算（第2課時）基礎知識素材 北師大版必修1（通用）

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1、3.2 全集與補集 1．了解全集、補集的概念，以及它們的表示方法． 2．在已知全集的情況下，會求它的某一子集的補集． 3．能進行集合的交集、并集和補集的綜合運算． 1．全集 (1)定義：一般地，如果一個集合含有我們所要研究的集合的全部________，那么就稱這個集合為全集． (2)符號表示：全集通常記作____________． (3)圖示：用Venn圖表示全集U，如圖所示． 2．補集 (1)定義：設U是全集，A是U的一個子集(即AU)，則由U中____________的元素組成的集合，叫作U中子集A的補集(或余集)． (2)符號表示：U中子集A的補集記作，即

2、＝____________. A∩()＝，A∪()＝U，()＝A，U＝，＝U，(A∩B)＝()∪()，(A∪B)＝()∩()． (3)圖示：用Venn圖表示，如圖所示． 集合平時很常用，數(shù)學概念有不同； 理解集合并不難，三條性質是關鍵； 元素確定和互異，還有無序要牢記； 集合不論空不空，總有子集在其中； 集合用圖很方便，子交并補很明顯． 【做一做1－1】 設全集U＝{小于10的自然數(shù)}，集合 A＝{小于10的正偶數(shù)}，B＝{小于10的正質數(shù)}，求，. 【做一做1－2】 已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,3,4}，B＝{4,5}，則A∩()＝_

3、_________. 答案：1．(1)元素　(2)U 2．(1)所有不屬于A　(2){x|x∈U，且xA} 【做一做1－1】 解：U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}． A＝{2,4,6,8}，B＝{2,3,5,7}． ∴＝{0,1,3,5,7,9}，＝{0,1,4,6,8,9}． 【做一做1－2】 {2,3}　由題意知＝{1,2,3}． 又A＝{2,3,4}， 所以A∩()＝{2,3}． 1．為什么AC與BC不一定相等？ 剖析：依據(jù)補集的含義，符號AC和BC都表示集合C的補集，但是AC表示集合C在全集A中的補集，而BC表示集合C在全集B中的補集，由于集合

4、A和B不一定相等，所以AC與?BC不一定相等．因此，求集合的補集時，首先要明確全集，否則容易出錯． 如集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{1,3,4}，則AC＝{2,5,6,7,8,9}，BC＝{0,2}，很明顯AC≠BC. 2．全集一定包含任何元素嗎？集合A和集合A的補集會有公共元素嗎？ 剖析：全集僅是包含我們所研究問題所涉及的全部元素，而非任何元素；集合A和A的補集無公共元素，因為補集的定義即為A以外的元素組成的集合． 題型一 求補集的簡單運算 【例1】 已知A＝{0,1,2}，＝{－3，－2，－1}，＝{－3，－2,0}，用列舉

5、法寫出集合B. 分析：先結合條件，利用補集性質求出全集U，再由補集定義求集合B. 反思：在進行補集的簡單運算時，應首先明確全集，而利用A∪＝U求全集U是利用定義解題的常規(guī)性思維模式，故進行補集運算時，要緊扣補集定義及補集的性質來解題． 題型二 交、并、補的綜合運算 【例2】 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}，求，A∩B，(A∩B)，()∩B. 分析：由于U，A，B均為無限集，所求問題是集合間的交、并、補運算，故考慮借助數(shù)軸求解． 反思：求解與不等式表示的數(shù)集間的集合運算時，一般要借助于數(shù)軸求解，此方法的特點是簡單直觀，同時要注意各個

6、端點的畫法及取到與否． 題型三 Venn圖在解題中的應用 【例3】 設全集U＝{x|x≤20的質數(shù)}，A∩()＝{3,5}，()∩B＝{7,19}，()∩()＝{2,17}，求集合A，B. 分析：利用列舉法可求得集合U，然后利用Venn圖處理． 反思：有些集合問題比較抽象，解題時若借助Venn圖進行分析或利用數(shù)軸、圖像采取數(shù)形結合的思想方法，往往可將問題直觀化、形象化．本題在確定11,13的歸屬問題時，結合Venn圖可把全集U劃分為如下四部分，全集U中的任一元素必在且只在下圖的四部分之一中，由題意可知11,13不在前三部分內(nèi)，必然在A∩B內(nèi)． A∩() B∩(

7、) ()∩() A∩B 或(A∪B) 題型四 補集的綜合應用 【例4】 已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A?RB，求a的取值范圍． 分析：→→ 反思：解答本題的關鍵是利用A?RB，對A＝與A≠進行分類討論，轉化為等價不等式(組)求解，同時要注意區(qū)域端點的問題． 答案：【例1】 解：∵A＝{0,1,2}，＝{－3，－2，－1}， ∴U＝A∪＝{－3，－2，－1,0,1,2}． 又∵＝{－3，－2,0}，∴B＝{－1,1,2}． 【例2】 解：把全集U和集合A，B在數(shù)軸

8、上表示如圖所示． 由圖可知 ＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， A∩B＝{x|－2＜x＜3}， U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， ()∩B＝{x|－3＜x≤－2或x＝3}． 【例3】 解：因為U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由題意畫出Venn圖，如圖所示，故集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}． 【例4】 解：RB＝{x|x≤1或x≥2}≠，∵A， ∴分A＝和A≠兩種情況討論． (1)若A＝，此時有2a－2≥a，∴a≥2. (2)若A≠，則有或 ∴a≤1. 綜上所述，a≤1或a≥2. 1 設集合U＝{x∈N

9、|0＜x≤8}，S＝{1,2，4,5}，T＝{3,5,7}，則S∩()等于( )． A．{1,2,4} B．{1,2,3,4,5,7} C．{1,2} D．{1,2,4,5,6,8} 2 已知集合U＝R，B＝{x|x＞2}，則等于( )． A．{x|x＞2} B．{x|x≥2} C．{x|x＜2}

10、 D．{x|x≤2} 3 已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，則如圖陰影部分表示的集合是( )． A．{3,4,5} B．{1,3,4} C．{1,2,5} D．{3,4} 4 已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合M＝{x|x為不大于3的自然數(shù)}，則M＝__________. 5 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，＝{2,4,6,8}，＝{1,4,6,8,9}，求集合B. 答案：1．A　U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，則有UT＝{1,2,4,6,8}， ∴S∩(UT)＝{1,2,4}． 2．D 3．D　陰影部分是U(M∪N)＝{3,4}． 4．{－1}　∵M＝{0,1,2,3}，∴UM＝{－1}． 5．分析：利用A∪()＝U求解． 解：U＝A∪()＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}． ∵＝{1,4,6,8,9}， ∴B＝U()＝{2,3,5,7}．