（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 綜合仿真練（一） 理（通用）

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1、綜合仿真練(一)(理獨(dú)) 1．本題包括A、B、C三個(gè)小題，請(qǐng)任選二個(gè)作答 A．[選修4－2：矩陣與變換] (2020·江蘇高考)已知矩陣A＝. (1)求A2； (2)求矩陣A的特征值． 解：(1)因?yàn)锳＝， 所以A2＝ ＝＝. (2)矩陣A的特征多項(xiàng)式為 f(λ)＝＝λ2－5λ＋4. 令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝4. B．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心在極軸上，且過極點(diǎn)和點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程． 解：法一：因?yàn)閳A心C在極軸上且過極點(diǎn)， 所以設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝acos θ， 又因?yàn)辄c(diǎn)在圓C上， 所以3＝a

2、cos ，解得a＝6. 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos θ. 法二：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,3)， 因?yàn)閳AC過點(diǎn)(0,0)，(3,3)， 所以圓心C在直線為x＋y－3＝0上． 又圓心C在極軸上， 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－3)2＋y2＝9. 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos θ. C．[選修4－5：不等式選講] (2020·南通等七市一模)柯西不等式 已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＋c2≤1，求證：＋＋≥. 證明：由柯西不等式，得[(a2＋1)＋(b2＋1)＋(c2＋1)]·≥·＋·＋·2＝9， 所以＋＋≥≥＝. 2．(2020·揚(yáng)州期末)已知直線x＝－2上有

3、一動(dòng)點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線l1垂直于y軸，動(dòng)點(diǎn)P在l1上，且滿足·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，記點(diǎn)P的軌跡為C. (1)求曲線C的方程； (2)已知定點(diǎn)M，N，A為曲線C上一點(diǎn)，直線AM交曲線C于另一點(diǎn)B，且點(diǎn)A在線段MB上，直線AN交曲線C于另一點(diǎn)D，求△MBD的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍． 解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(－2，y)，∴＝(x，y)，＝(－2，y)， ∵·＝0，∴·＝－2x＋y2＝0，即y2＝2x. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，直線BD與x軸的交點(diǎn)為E，△MBD內(nèi)切圓與MB的切點(diǎn)為T. 設(shè)直線AM的方程為y＝k，聯(lián)立方程，得得k2x2＋(k

4、2－2)x＋＝0，Δ＝4－4k2>0， ∴x1,2＝， ∴x1x2＝且01， ∴r＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 則r>，即r的取值范

5、圍為(－1，＋∞)． 法二：∴H(x2－r,0)，直線BD的方程為x＝x2， 直線AM的方程為y＝， 即y2x－y＋y2＝0，且點(diǎn)H與點(diǎn)O在直線AB的同側(cè)， 不妨設(shè)點(diǎn)B在x軸上方， ∴r＝＝，解得r＝＝. 令t＝x2＋，則t>1， ∴r＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 則r>，即r的取值范圍為(－1，＋∞)． 法三：∴△MTH∽△MEB，∴＝，即＝， 解得r＝ ＝＝. 令t＝x2＋，則t>1， ∴r＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 則r>，即r的取值范圍為(－1，＋∞)． 3．一條直路上依次有2n＋1棵樹，分別為T1，T2，…，T2n＋1(n為給定的正整數(shù))，一個(gè)醉漢從中

6、間位置的樹Tn＋1出發(fā)，并按以下規(guī)律在這些樹之間隨機(jī)游走n分鐘：當(dāng)他某一分鐘末在樹Ti(2≤i≤2n)位置時(shí)，下一分鐘末他分別有，，的概率到達(dá)Ti－1，Ti，Ti＋1的位置． (1)求該醉漢第n分鐘末處在樹Ti(1≤i≤2n＋1)位置的概率； (2)設(shè)相鄰2棵樹之間的距離為1個(gè)單位長度，試求該醉漢第n分鐘末所在位置與起始位置(即樹Tn＋1)之間的距離的數(shù)學(xué)期望(用關(guān)于n的最簡形式表示)． 解：(1)不妨假設(shè)2n＋1棵樹T1，T2，…，T2n＋1從左向右排列，每2棵樹的間距為1個(gè)單位長度． 因?yàn)樵撟頋h下一分鐘末分別有，，的概率到達(dá)Ti－1，Ti，Ti＋1的位置， 所以該醉漢將以的概率向

7、左或向右走． 我們規(guī)定，事件“以的概率向左或向右走0.5個(gè)單位長度”為一次“隨機(jī)游走”， 故原問題等價(jià)于求該醉漢從樹Tn＋1位置出發(fā)，經(jīng)過2n次隨機(jī)游走后處在樹Ti位置的概率為Pi. 對(duì)某個(gè)i(1≤i≤2n＋1)，設(shè)從Tn＋1出發(fā)，經(jīng)過2n次隨機(jī)游走到達(dá)Ti的全過程中，向右走0.5個(gè)單位長度和向左走0.5個(gè)單位長度分別有k次和2n－k次， 則n＋1＋＝i，解得k＝i－1，即在2n次中有i－1次向右游走，2n－(i－1)次向左游走，而這樣的情形共C種，故所求的概率Pi＝(1≤i≤2n＋1)． (2)對(duì)i＝1,2，…，2n＋1，樹Ti與Tn＋1相距|n＋1－i|個(gè)單位長度，而該醉漢到樹Ti的概率為Pi，故所求的數(shù)學(xué)期望E＝n＋1－i|. 而n＋1－i|C＝n－j|C ＝2(n－j)C＝2C－2C ＝2n－2nC ＝2n×(C＋)－4n ＝n(C＋22n)－4n× ＝n(C＋22n)－2n·22n－1＝nC， 因此E＝.