2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（全國(guó)卷3參考解析）

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1、絕密★啟用前 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 文科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。 2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，則AB中元素的個(gè)數(shù)為 A．1 B．2

2、C．3 D．4 【答案】B 【解析】由題意可得： .本題選擇B選項(xiàng). 2．復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(–2+i)的點(diǎn)位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由題意： .本題選擇B選項(xiàng). 3．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖. 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月

3、接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn) 【答案】A 【解析】由折線圖，7月份后月接待游客量減少，A錯(cuò)誤； 本題選擇A選項(xiàng). 4．已知，則= A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 本題選擇A選項(xiàng). 5．設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x-y的取值范圍是 A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3] 【答案】B 【解析】繪制不等式組表示的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn) 處取得最小值 . 在點(diǎn) 處取得最大值 . 本題選擇B選項(xiàng).

4、6．函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x?)的最大值為 A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由誘導(dǎo)公式可得： ， 則： , 函數(shù)的最大值為 . 本題選擇A選項(xiàng). 7．函數(shù)y=1+x+的部分圖像大致為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】當(dāng)時(shí)，，故排除A,C,當(dāng)時(shí)，，故排除B,滿足條件的只有D,故選D. 8．執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】若,第一次進(jìn)入循環(huán)

5、，成立，，成立，第二次進(jìn)入循環(huán)，此時(shí)，不成立，所以輸出成立，所以輸入的正整數(shù)的最小值是2，故選D. 9．已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為 A． B． C． D． 【解析】如果，畫出圓柱的軸截面 ，所以，那么圓柱的體積是，故選B. 10．在正方體中，E為棱CD的中點(diǎn)，則 A． B． C． D． 【答案】C 11．已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為 A． B． C． D．

6、 【答案】A 【解析】以線段為直徑的圓是，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理為，即，即 ，，故選A. 12．已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a= A． B． C． D．1 【答案】C 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13．已知向量，且a⊥b，則m= . 【答案】2 【解析】由題意可得： . 14．雙曲線（a>0）的一條漸近線方程為，則a= . 【答案】5 【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得漸近線方程為： ，結(jié)合題意可得： . 15．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c

7、。已知C=60°，b=，c=3，則A=_________。 【答案】75° 【解析】由題意： ，即 ，結(jié)合 可得 ，則 16．設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是__________。 【答案】 【解析】由題意得： 當(dāng)時(shí) 恒成立，即；當(dāng)時(shí) 恒成立，即；當(dāng)時(shí)，即；綜上x(chóng)的取值范圍是 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分） 設(shè)數(shù)列滿足. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列 的前n項(xiàng)和.

8、 18．（12分） 某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天數(shù) 2 16 36 25 7

9、 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。 （1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率； （2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率． 解：（1）需求量不超過(guò)300瓶，即最高氣溫不高于，從表中可知有54天， ∴所求概率為. （2）的可能值列表如下： 最高氣溫 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 300 900 900 900 低于：； ：； 不低于：

10、∴大于0的概率為. 19．（12分） 如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）證明：AC⊥BD； （2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比． （1）證明：取中點(diǎn)，連 ∵，為中點(diǎn)， ∴， 又∵是等邊三角形， ∴， 又∵，∴平面，平面， ∴. 20．（12分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x2+mx–2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題： （1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說(shuō)明理由； （2）證明過(guò)A

11、，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值. 解：(1)設(shè)，則是方程的根， 所以， 則， 所以不會(huì)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況。 （2）解法1：過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心必在線段AB垂直平分線上，設(shè)圓心，則，由得，化簡(jiǎn)得，所以圓E的方程為， 令得，所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為，所以 所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值 解法2：設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D， 由可知原點(diǎn)O在圓內(nèi)，由相交弦定理可得， 又，所以， 所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為，為定值. 21．（12分） 已知函數(shù)=lnx+ax2+(2a+1

12、)x． （1）討論的單調(diào)性； （2）當(dāng)a﹤0時(shí)，證明． 解：（1） 當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. （2）由（1）知，當(dāng)時(shí)， ，令 （） 則，解得 ∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 ∴，∴，即，∴. （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22．[選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為.設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C． （1）寫出C的普通方程； （2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為

13、極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ+sinθ)?=0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑. （1）直線的普通方程為 直線的普通方程為 消去k得 ， 即C的普通方程為. （2）化為普通方程為 聯(lián)立 得 ∴ ∴與C的交點(diǎn)M的極徑為. 23．[選修4—5：不等式選講]（10分） 已知函數(shù)=│x+1│–│x–2│. （1）求不等式≥1的解集； （2）若不等式≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范圍. （2）原式等價(jià)于存在，使 成立，即 設(shè) 由（1）知 當(dāng)時(shí)， 其開(kāi)口向下，對(duì)稱軸 ∴ 當(dāng)時(shí) 其開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為 ∴ 當(dāng)時(shí)， 其開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為 ∴ 綜上 ∴的取值范圍為 .