2020高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)集中營(yíng) 熱點(diǎn)20 以橢圓和拋物線為背景的解析幾何大題 新課標(biāo)

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1、 【兩年真題重溫】 【2020新課標(biāo)全國(guó)理，20】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)滿足，··，點(diǎn)的軌跡為曲線． (Ⅰ) 求的方程； (Ⅱ) 為上的動(dòng)點(diǎn)，為在點(diǎn)處的切線，求點(diǎn)到距離的最小值． ∴點(diǎn)到的距離===， 當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴點(diǎn)到的距離的最小值為． 【2020新課標(biāo)全國(guó)理，20】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過斜率為1的直線與相交于兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列。 則. 【2020新課標(biāo)全國(guó)文，20】設(shè),分別是橢圓E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦: , 化簡(jiǎn)得 則 因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以即 . 則,解得. 【命題意圖猜想】

2、【最新考綱解讀】 1．圓錐曲線 (1)了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用． (2)掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)． (3)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)． (4)了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用． (5)理解數(shù)形結(jié)合的思想． 2．曲線與方程 結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想． 【回歸課本整合】 （1）若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝。 的距離分別為，

3、焦點(diǎn)的面積為，設(shè),則在橢圓中，有以下結(jié)論： ,. （3） 在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率. （4）若OA、OB是過拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn),反之亦成立. 5.求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下： 步 驟 含 義 說 明 1、“建”：建立坐標(biāo)系；“設(shè)”：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo). 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo). (1) 所研究的問題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn). (2) 沒有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 2、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式. 寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={

4、M|P(M)} 這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使寫出的條件簡(jiǎn)明正確. 3、“代”：代換 用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式. 4、“化”：化簡(jiǎn) 化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式. 要注意同解變形. 5、證明 證明化簡(jiǎn)以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn). 化簡(jiǎn)的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍). 注意：這五個(gè)步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化. 【方法技巧提煉】 線的定義，然后直接利用定義便可確定拋物線的方程；

5、 （2）求最值問題：主要把握兩個(gè)轉(zhuǎn)化：一是把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可以轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離；二是把點(diǎn)到拋物線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離.在解題時(shí)要準(zhǔn)確把握題設(shè)的條件，進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，探求最值問題. x F P y A M 例2 已知P點(diǎn)為拋物線的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在軸上的射影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則的最小值是（ ） A. B.4 C. D.5 答案：C 解析:利用拋物線定義，把可轉(zhuǎn)化為. 因A在拋物線外，當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.如圖3，焦點(diǎn)F, 當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)故選C. A． B． C． D．

6、答案：B 解析一：采用向量問題坐標(biāo)化， 設(shè)M, 又，代入可得 B x A O y M C D 解析二：如圖，考慮幾何性質(zhì)：, 因，可知三點(diǎn)共線,又，則四邊形OCMD為矩形. 如圖所示可知：利用三角形相似可知 又，可得 例4 已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，離心率e＝. (1)求橢圓C的方程； (2)在橢圓C上任取不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，當(dāng)A，B變化時(shí)，如果直線AB經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)(1,0)，問直線A′B是否也經(jīng)過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由． 【解答】 (1)依題意可得解得a＝2

7、，b＝1. 所以橢圓C的方程是＋y2＝1. ． 【解答】 (1)點(diǎn)A坐標(biāo)代入圓C方程，得(3－m)2＋1＝5. ∵m＜3，∴m＝1. 圓C：(x－1)2＋y2＝5. 設(shè)直線PF1的斜率為k， 則PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0. ∵直線PF1與圓C相切，∴＝. 4．直線和拋物線若有一個(gè)公共點(diǎn)，并不能說明直線和拋物線相切，還有可能直線與拋物線的對(duì)稱軸平行． 5．曲線與方程 (1)“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解”，闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說曲線上所有點(diǎn)適合這個(gè)條件而毫無例外(純粹性)． (2)“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上

8、”，闡明適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏(完備性)． (3)由(1)(2)兩個(gè)條件可知，曲線的點(diǎn)集與方程的解集之間是一一對(duì)應(yīng)的． 6．在求得軌跡方程之后，要深入地思考一下：(1)是否還遺漏了一些點(diǎn)？是否還有另一個(gè)滿足條件的軌跡方程存在？(2)在所求得的軌跡方程中，x，y的取值范圍是否有什么限制？確保軌跡上的點(diǎn)“不多不少”． 【新題預(yù)測(cè)演練】 1.【2020年河北省普通高考模擬考試】 已知圓C的方程為，過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，， ∴ = 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則面積的最大值為1. ………..12分 依題意，直線與橢圓必相交于

9、兩點(diǎn)，設(shè)，， 則，. ……………………7分 又，， 所以 ………………………8分 解：（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為，則由拋物線的定義可得，即， 所以拋物線的方程為 . ……………4分 （I）求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程; （II）過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(不重合)，求證：直線過定點(diǎn). 解一：（1）由題知： …………2分 化簡(jiǎn)得：……………………………4分 解三：由對(duì)稱性可知，若過定點(diǎn)，則定點(diǎn)一定在軸上， 設(shè)，:， 代入整理得…………

10、6分 ,，…………8分 （II）設(shè)直線：，，，，， 由得.…………6分 所以，. ……………………8分 而 ，，…………10分 ∴三點(diǎn)共線 ……………………………………12分 ，又. .……………………………………………………………8分 （Ⅱ）設(shè)的坐標(biāo)分別為、、 則直線的方程為：………………………………………………6分 令得，同理得………………………………………8分 在橢圓上，所以………………………………10分 所以 所以為定值0. ………………………………………………………………12分 而 ……………

11、…………11分 由代入化簡(jiǎn)得： 即；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值。……………………………………13分 ， 由韋達(dá)定理，代入上式， 化簡(jiǎn)整理得，即，故所求范圍是. 2分 （ⅱ）依題意可知，直線MA、MB的斜率存在，分別記為，. 由，. 2分 而 . 所以 , 故直線MA、MB的傾斜角互補(bǔ)， 故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形． 3分 8.【唐山市2020學(xué)年度高三年級(jí)第一次模擬考試】 中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)

12、過點(diǎn)C(2, 2),且·＝2 (I )求橢圓E的方程； (II)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí)，求直線l的方程和圓P的方程. 解： 9.【2020年河南鄭州高中畢業(yè)年級(jí)第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)】 在△ABC中，頂點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)D，E滿足：①；②，③共線. （Ⅰ）求△ABC頂點(diǎn)C的軌跡方程； （Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，只要該圓的切線與頂點(diǎn)C的軌跡有兩個(gè)不同交點(diǎn)M，N，就一定有，若存在，求該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解：(I)設(shè)C（x,y）,由得，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為； 由得，動(dòng)點(diǎn)E在y軸上，再結(jié)合與共線， 得，動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為;

13、 …………2分 由的，， 整理得，. 當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，可得，滿足. 綜上所述：存在圓滿足題意. …………12分 10.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二)】 ，求的取值范圍. （Ⅰ）解：設(shè)橢圓的半焦距是.依題意，得 . ………………1分 因?yàn)闄E圓的離心率為， 所以，. ………………3分 故橢圓的方程為 . ………………4分 （Ⅱ）解：當(dāng)軸時(shí)，顯然.

14、 ………………5分 12.【北京市東城區(qū)2020學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末檢測(cè)】 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△是等腰直角三角形． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）是否存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)， 且使點(diǎn)為△的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，， 故橢圓方程為． 　　　　 …………5分 13.【河北省石家莊市2020屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一)】 已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓C1：=1經(jīng)過A(1，0)點(diǎn)，且離心率為． (

15、I)求橢圓C1的方程； (Ⅱ)過拋物線C2：(h∈R)上P點(diǎn)的切線與橢圓C1交于兩點(diǎn)M、N，記線段MN與PA的中點(diǎn)分別為G、H，當(dāng)GH與軸平行時(shí)，求h的最小值． 解：（Ⅰ）由題意可得，……………2分 解得， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)，滿足①式。 綜上，的最小值為1.………………12分 14.【唐山市2020學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末考試】 解： （Ⅰ）由橢圓方程，a＝，b＝1，c＝1，則點(diǎn)F為(－1，0)． 直線AB方程為y＝k(x＋1)，代入橢圓方程，得 (2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0． ① 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y

16、2)，M(x0，y0)，則 x0＝＝－，y0＝k(x0＋1)＝， 由點(diǎn)M在直線x＋2y＝0上，知－2k2＋2k＝0， ∵k≠0，∴k＝1． …6分 （Ⅱ）將k＝1代入①式，得3x2＋4x＝0， 不妨設(shè)x1＞x2，則x1＝0，x2＝－， …8分 記α＝∠ACF，β＝∠BCF，則 tanα＝＝＝，tanβ＝－＝－＝， ∴α＝β， ∴tan∠ACB＝tan2α＝＝．…12分 15.【山東省德州市2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題】 而 故恒成立 （Ⅲ）時(shí),曲線方程為，假設(shè)存在直線與直線垂直,設(shè)直線的方程為 ………………………………………………8分 設(shè)直線與橢圓交點(diǎn) 解析：（Ⅰ）因?yàn)闈M足， ，…………2分