河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點(diǎn)透析專題11 高考中填空題的解題方法與技巧 理

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1、2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題十一 高考中填空題的解題方法與技巧 【重點(diǎn)知識(shí)回顧】 填空題是將一個(gè)數(shù)學(xué)真命題，寫成其中缺少一些語句的不完整形式，要求學(xué)生在指定的空位上，將缺少的語句填寫清楚·準(zhǔn)確 。它是一個(gè)不完整的陳述句形式，填寫的可以是一個(gè)詞語·數(shù)字·符號(hào)·數(shù)學(xué)語句等。 填空題的主要作用是考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能及思維能力和分析問題、解決問題的能力，填空題的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式（數(shù)）最簡，結(jié)果稍有毛病，便得零分． 填空題的基本特點(diǎn)： 1．方法靈活，答案唯一； 2．答案簡短，具體明確． 學(xué)生在解答填空題時(shí)注意以下幾點(diǎn)； 1．對(duì)于

2、計(jì)算型填空題要運(yùn)算到底，結(jié)果要規(guī)范； 2．填空題所填結(jié)果要完整，不可缺少一些限制條件； 3．填空題所填結(jié)論要符合高中數(shù)學(xué)教材要求； 4．解答填空題平均每小題3分鐘，解題時(shí)間應(yīng)控制在12分鐘左右． 總之，解填空題的基本原則是“小題小做”，要“準(zhǔn)”、“活”、“靈”、“快”． 【典型例題】 （一）直接法 直接法求解就是從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識(shí)，通過變形、推理、計(jì)算等，得出正確的結(jié)論． 例1、不等式的解集是： 【解析】當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于， ∴，此時(shí)應(yīng)有：； 當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于， ∴，此時(shí)應(yīng)有：； ∴

3、不等式的解集是：． 例2、在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最小值為： 【解析】設(shè)公差為d，則， ∴，∴數(shù)列為遞增數(shù)列， 令，∴，∴， ∵，∴，∴前6項(xiàng)和均為負(fù)值， ∴Sn的最小值為． 【題后反思】 由于填空題不需要解題材過程，因此可以透過現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺地、有意識(shí)地采用靈活、簡潔的解法，省去某些步驟，大跨度前進(jìn)，也可配合心算、速算、力求快速，辟免“小題大做”． （二）特殊值法 當(dāng)填空結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，我們只需把題材中的參變量用特殊值代替之，即可得到結(jié)論． 例3、函數(shù)在（0，2）上是一增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則的大小關(guān)系為：

4、 （用“<”號(hào)連接） 【解析】取，則， 例4、橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是： 【解析】設(shè)P(x,y)，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程為，由此可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，又當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，；點(diǎn)P在y軸上時(shí)，為鈍角，由此可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是：． 【題后反思】 特殊值法一般可取特殊值、特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、圖形的特殊位置、特殊性點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等． （三）數(shù)形結(jié)合法 x y -1 1 根據(jù)題目條件，畫出符合題意的圖形，以形助數(shù)，通過對(duì)圖形的直觀分析、判斷，往往可以簡捷地得出正確的結(jié)果

5、，它既是方法，也是技巧，更是基本的數(shù)學(xué)思想． 例5、已知直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè) 不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是： ． 【解析】∵函數(shù)的圖像如圖所示， ∴由圖可知：． …. …… ……… ……… ……… … … x y A(1,2) (-3,1) -2 -1 -2 a+2b+1=0 a+b+1=0 例6、設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，可取得極大值；當(dāng)時(shí)，可取得極小值，則的取值范圍是： 【解析】，由條件知，的一個(gè) 根在（0，1）上，另一個(gè)根在（1，2）上， ∴，即 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中作出上述區(qū)域，得點(diǎn)P（a

6、，b）在圖中的陰影區(qū)域內(nèi)，而的幾何意義是過兩點(diǎn)P（a，b）與A（1，2）的直線的斜率，易知． 【題后反思】 數(shù)形結(jié)合法，常用的有Venn圖，三角函數(shù)線，函數(shù)圖像及方程的曲線等，另一面，有些圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，如直線垂直可轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系或向量積等． （四）等價(jià)轉(zhuǎn)化法 通過“化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉”將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為便于解決的問題，從而等到正確的結(jié)果． 例7、若不論k為何實(shí)數(shù)，直線與圓恒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是： 【解析】題設(shè)條件等價(jià)于直線上的定點(diǎn)（0，1）在圓內(nèi)或圓上，或等價(jià)于點(diǎn)（0，1）到圓心（a，0）的距離小于或等到于圓的半徑，所以 例8、計(jì)算

7、 【解析】分別求這兩個(gè)二重根式的值顯然不是那么容易，不妨從整體考慮，通過解方程求之． 設(shè)，兩邊同時(shí)立方得：，即：， ∵，∴，即2，因此應(yīng)填2. 【題后反思】 在研究解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常采用轉(zhuǎn)化的手段將問題向有利于解答的方面轉(zhuǎn)化，從而使問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、規(guī)范的、甚至模式的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題． （五）構(gòu)造法 根據(jù)題設(shè)條件與結(jié)論的特殊性，構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式，并借助于它來認(rèn)識(shí)和解決問題． 例9、如果，那么角的取值范圍是： ． 【解析】設(shè)函數(shù)，則，所以是增函數(shù)，由題設(shè)，得出，得，所以． A B C D C1 A1 B1 D1 P

8、 R Q Q/ R/ P/ 例10、P是正方體ABCD—A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1內(nèi)任意一點(diǎn)，AP與三條棱AA1，AB1，AD的夾角分別為，則 【解析】如上圖，過P作平面PQQ/P/，使它們分別與平面B1C1CB 和平面C1D1DC平行，則構(gòu)造一個(gè)長方體AQ/P/R/—A1QPR，故 ． 【題后反思】 凡解題時(shí)需要根據(jù)題目的具體情況來設(shè)計(jì)新模式的的問題，通常要用構(gòu)造法解決． （六）分析法 根據(jù)題設(shè)條件的特征進(jìn)行觀察、分析、從而得出正確的結(jié)論． 例11、以雙曲線的左焦點(diǎn)F和左準(zhǔn)線為相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的橢圓截直線，所得的弦恰好被x軸平分，則k的

9、取值范圍是： ． 【解析】雙曲線的左焦點(diǎn)為F（-2，0），左準(zhǔn)線為，因?yàn)闄E圓截直線所得的弦恰好被x軸平分，故根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，知橢圓的中心即為直線與x軸的交點(diǎn)（），故，得． 例12、（2020福建）某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率為0.9，他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，有下列結(jié)論： ①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是；③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是． 【解析】①第3次擊中目標(biāo)意味著1、2、4次可擊中，也可不擊中，從而第3次擊中目標(biāo)的概率為；②恰好擊中目標(biāo)3次的概率是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故概率為；③運(yùn)用對(duì)立事件4次射擊，一次也沒有擊

10、中的概率為，從而至少擊中目標(biāo)一次的概率為．故正確結(jié)論的序號(hào)為①、③． 【題后反思】 分析法是解答問題的常用方法，該方法需要我們從題設(shè)出發(fā)，對(duì)條件進(jìn)行觀察、分析，找到相應(yīng)的解決方法． （七）歸納法 例13、?蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂 巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂 巢的截面圖. 其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖 有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以 表示第幅圖的蜂巢總數(shù).則=_____;=___________. 【解析】找出的關(guān)系式 [解析] 【題后反思】 處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系 （1）

11、先猜后證是一種常見題型；（2）歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”（周期性） （八）類比法 例14、已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是______。 【解析】從方法的類比入手 [解析]原問題的解法為等面積法，即，類比問題的解法應(yīng)為等體積法， 即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高 【題后反思】 （1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比。（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等。 （九）推理法 例15、某校

12、對(duì)文明班的評(píng)選設(shè)計(jì)了五個(gè)方面的多元評(píng)價(jià)指標(biāo)，并通過經(jīng)驗(yàn)公式樣來計(jì)算各班的綜合得分，S的值越高則評(píng)價(jià)效果越好，若某班在自測過程中各項(xiàng)指標(biāo)顯示出，則下階段要把其中一個(gè)指標(biāo)的值增加1個(gè)單位，而使得S的值增加最多，那么該指標(biāo)應(yīng)為 。（填入中的某個(gè)字母） 【解析】從分式的性質(zhì)中尋找S值的變化規(guī)律 。 [解析] 因都為正數(shù)，故分子越大或分母越小時(shí)， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小時(shí)，S的值增長越多，，所以c增大1個(gè)單位會(huì)使得S的值增加最多。 【題后反思】 此題的大前提是隱含的，需要經(jīng)過思考才能得到。 【模擬演練】 （1）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且

13、的導(dǎo)數(shù)記為，則下列結(jié)論中，正確的是： ①是方程的根； ②1是方程的根； ③有極小值； ④有極大值； ⑤ （2）設(shè)m、n是異面直線，則：①一定存在平面，使且；②一定存在平面，使且；③一定存在平面，使m、n到的距離相等；④一定存在無數(shù)對(duì)平面和，使．上述四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是： ． （3）是虛單位， （用的形式表示） （4）設(shè)，則的大小關(guān)系是： ． （5）“x、y中至少有一個(gè)小于0”是“”的 條件． （6）若記符號(hào)“*”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即，則兩邊均含有運(yùn)

14、算符號(hào)“*”和“+”，且對(duì)于任意3個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c都能成立的一個(gè)等式可以是： ． （7）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為，若過F1且垂直于x軸的弦長等于點(diǎn)F1到直線的距離，則橢圓的離心率是： ． （8）設(shè)，，其中為互相垂直的單位向量，又，則實(shí)數(shù)m= ． （9）如果函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有，那么的大小關(guān)系是： （10）過拋物線的焦點(diǎn)F作一直線與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF、FQ的長分別為p、q，則 ． （11）橢圓的長軸的兩端點(diǎn)為M、N，點(diǎn)P在橢圓上，則PM與PN的斜率之積為： ． （12）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是：

15、 ． （13）不等式的解集為（4，b），則a= ，b= ； （14）已知函數(shù)在（-3，3）上的最大值與最小值分別為M、m， 則M+m= ． （15）已知集合，，如果，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是： ． （16）定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足，則 ． （17）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且，則的面積是： ． （18）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng) ． 答案： （1）①②③④⑤；（2）①③④；（3）；（4）；（5）必要不充分； （6）（答案不唯一）； （7）； （8）-2； （9）； （10）4a； (11)； （12）3； （13）； （14）16； （15）； （16）0； （17）1； （18） ．