2018年高考數(shù)學(xué) 黃金100題系列 第37題 三角形中的不等問 理

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1、第 37題 三角形中的不等問題 I．題源探究·黃金母題 【例1】海中一小島，周圍內(nèi)有暗礁，海輪由西向東航行，望見該島在北偏東70°，航行以后，望見這島在北偏東60°，如果這艘輪船不改變航向繼續(xù)前進，有沒有觸礁的危險？ 【解析】根據(jù)題意作出如下圖，其中設(shè)為島所在位置，是該輪船航行前后的位置，過作于，根據(jù)題意知，在△ABC中，，，， ∴=10°，∠CBD=30°， 由正弦定理得，， ∴=≈15．7560， ∴≈7．878＞3．8， ∴沒有觸礁的危險． 答：沒有觸礁的危險． 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修5第24頁復(fù)習(xí)參考題A組第2題． 【母題評析】此題考查利用

2、正余弦定理解與三角形有關(guān)的綜合問題，是常考題型． 【思路方法】根據(jù)題意畫出圖形，為島所在位置，是該輪船航行前后的位置，過作于，根據(jù)題意知，在△ABC中，，，，要判斷是否觸礁，即需要計算C點到直線AB的距離CD，在△ABC中利用正弦定理計算出BC，在通過解直角三角形即可求出CD． II．考場精彩·真題回放 【例2】【2021年高考北京理數(shù)】在ABC中，． 〔1〕求 的大?。? 〔2〕求 的最大值． 【解析】〔1〕由余弦定理及題設(shè)得， 又∵，∴；〔2〕由〔1〕知， ，因為，所以當(dāng)時，取得最大值． 【例3】【2021高考山東理數(shù)】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

3、 〔Ⅰ〕證明：a+b=2c； 〔Ⅱ〕求cosC的最小值． 【解析】由題意知， 化簡得， 即． 因為，所以． 從而．由正弦定理得． 由知， ，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立． 故 的最小值為． 【命題意圖】此題主要考查利用正余弦定理和三角公式求與三角形有關(guān)的三角式的范圍問題，考查運算求解能力，是中檔題． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題或解答題的形式出現(xiàn)，難度中等，考查學(xué)生利用正余弦定理及相關(guān)知識解決與三角形有關(guān)的綜合問題． 【難點中心】解答此類問題的關(guān)鍵是熟練學(xué)三角恒等變形能力，形成解題的模式和套路 【例4】【2021高考湖南，理17】

4、設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，且為鈍角． 〔1〕證明：； 〔2〕求的取值范圍． 【解析】〔1〕由及正弦定理，得，∴，即， 又為鈍角，因此，故，即． 〔2〕由〔1〕知，， ，∴， 于是= =， ∵，∴， 因此，由此可知的取值范圍是． III．理論根底·解題原理 考點一 三角形中的不等關(guān)系 1．任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊； 2．任一角都大于00而小于1800，任意兩角之和也是大于00而小于1800；3 3．．設(shè)角A是一三角形的內(nèi)角，那么； 4．在銳角三角形中，任意兩角之和也是大于900而小于1800； 5．在同一三角形中大邊對大角，大角對大

5、邊 考點二 與三角形有關(guān)的綜合問題類型 常以三角形中的不等和最值問題為載體，考查運用三角變換、正余弦定理、根本不等式、平面向量等知識和方法求取值范圍或值域或求值，要求學(xué)生有較強的邏輯思維能力、三角恒等變形能力以及準(zhǔn)確的計算能力．對這類問題要認證讀題，利用相關(guān)知識將條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊角條件，利用正余弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為三角形的純邊或純角的函數(shù)問題，再利用根本不等式或函數(shù)求值域的方法處理之． IV．題型攻略·深度挖掘 【考試方向】 這類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題或解答題的形式出現(xiàn)，一般中檔題，考查綜合運用正余弦定理及相關(guān)知識與方法解綜合問題的能力． 【技能方法】 1．

6、與平面向量結(jié)合的三角形問題，常利用平面向量的知識將向量條件或問題化為三角形的邊角條件或問題，再利用正余弦定理化為純邊或純角條件或問題求解，如在中，由． 2．與數(shù)列結(jié)合的三角形問題，常利用數(shù)列的相關(guān)知識將條件或問題轉(zhuǎn)化為三角形的邊角條件或問題，再利用正余弦定理化為純邊或純角條件或問題求解． 3．三角形中的取值范圍問題或最值問題，常常利用正余弦定理化成純邊問題，利用根本不等式或重要求最值，或者化成純角問題，利用三角公式化成一個角的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)求最值，要注意角的范圍． 【易錯指導(dǎo)】 在求與三角性有關(guān)的最值〔范圍〕問題時，常先利用正余弦定理將其化為角的三角函數(shù)，再利用三角

7、形內(nèi)角和定理消去角的個數(shù)，結(jié)合題中的條件和消去角的范圍確定留下角的范圍，利用三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求解，最容易出現(xiàn)的錯誤①沒有進一步確定留下角的范圍；②在求最值時沒有結(jié)合三角函數(shù)圖像求最值而是直接代角范圍的端點值，應(yīng)盡量防止之． V．舉一反三·觸類旁通 考向1 關(guān)于三角形邊的代數(shù)式的范圍〔最值〕問題 【例5】【2021黑龍江哈爾濱九中二?！吭O(shè)函數(shù)． 〔1〕求的最大值，并寫出使取最大值時的集合； 〔2〕中，角的邊分別為，假設(shè)，求的最小值． 【答案】〔1〕2， ；〔2〕1． 試題解析：〔1〕 的最大值為2． 要使取最大值， ， 故的集合為 〔2〕，即． 化簡得 ，只

8、有． 在中，由余弦定理， ． 由知，即，當(dāng)時取最小值1．， 【例6】【2021山西懷仁縣一中高二上期開學(xué)考】在中，角、、的對邊分別為、、，． 〔1〕求； 〔2〕假設(shè)，求的取值范圍． 〔2〕由〔1〕得：， 其中，． 【方法總結(jié)】對于三角形中邊的代數(shù)式的最值問題，假設(shè)是三角形中最大〔小〕邊長問題，先根據(jù)角判定三邊的大小關(guān)系，再用正弦定理或余弦定理求解；假設(shè)是關(guān)于兩邊以上的齊次代數(shù)式，假設(shè)能求得兩邊的和或積為常數(shù)，可以利用根本不等式求最值，也可以利用正弦定理化為對應(yīng)角的三角函數(shù)式的最值，常用題中條件和三角形內(nèi)角和定理化為一個角的三角式函數(shù)最值問題，再利用三角公式化為一個角的三角函

9、數(shù)在某個范圍上的最值問題，再利用三角函數(shù)圖像圖像與性質(zhì)求最值，注意要根據(jù)消去角的范圍確定留下角的范圍． 【跟蹤練習(xí)】 【2021湖北華中師大一附中高三五月適應(yīng)性考試】在中，，假設(shè)最長為，那么最短邊的長為 ． 【答案】 考向2 關(guān)于三角形角的三角函數(shù)式的范圍〔最值〕問題 【例7】【2021貴州遵義一聯(lián)】在中，角、、的對邊分別為、、，且． 〔1〕求角的大??； 〔2〕假設(shè)的面積，求的值． 【解析】〔1〕由，得，即，解得或〔舍去〕，因為． 〔2〕由，得．由余弦定理，得．由正弦定理，得． 【方法總結(jié)】對于三角形中角的三角函數(shù)式的最值問題，假設(shè)是三角形

10、某個角余弦的最值問題，常用余弦定理化為邊，利用根本不等式求最值；假設(shè)是含有多個角三角函數(shù)式的最值問題，常用題中條件和三角形內(nèi)角和定理化為一個角的三角式函數(shù)最值問題，再利用三角公式化為一個角的三角函數(shù)在某個范圍上的最值問題，再利用三角函數(shù)圖像圖像與性質(zhì)求最值，注意要根據(jù)消去角的范圍確定留下角的范圍． 【跟蹤練習(xí)】 【2021重慶一中高二下學(xué)期期中】在中，，那么的最小值為〔 〕 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由有，通分化簡有，由正弦定理有，由余弦定理有①，化簡得，代入①有，所以的最小值為，選D． 考向3 關(guān)于三角形面積的最值問題 【例8】【2021

11、河北石家莊二中三?！咳鐖D，在 中，角 的對邊分別為 ， ． 〔1〕求角 的大??； 〔2〕假設(shè) 為外一點， ，求四邊形面積的最大值． 【答案】〔1〕〔2〕 試題解析：解：〔1〕在 中， ．有 ， ，那么 ，即 ，那么 ． 〔2〕在 中， ，又 ， 那么為等腰直角三角形， ，又 ， ， 當(dāng) 時，四邊形 的面積最大值，最大值為． 【跟蹤練習(xí)】 1．【2021江西質(zhì)檢】如下圖，在平面四邊形中，，，，，那么四邊形的面積的最大值是 ． 【答案】． 【方法總結(jié)】對三角形中面積的最值問題，假設(shè)一角為定值，常用余弦定理及根本不等式求出這個角兩邊積的

12、最值，即可利用面積公式求出面積的最值，也可以利用正弦定理化為對角的三角函數(shù)式的最值問題，常用題中條件和三角形內(nèi)角和定理化為一個角的三角式函數(shù)最值問題，再利用三角公式化為一個角的三角函數(shù)在某個范圍上的最值問題，再利用三角函數(shù)圖像圖像與性質(zhì)求最值，注意要根據(jù)消去角的范圍確定留下角的范圍；假設(shè)鄰邊的積為定值，先求出夾角的正弦的取值范圍，即可求出三角形面積的最值． 2．【2021云南玉溪三模】的內(nèi)角的對邊分別為，且． 〔1〕求； 〔2〕假設(shè)點為邊的中點，，求面積的最大值． 【解析】〔1〕因為， 由正弦定理知， 即， ， ． 又由為的內(nèi)角，故而，所以． 又由為的內(nèi)角，故而

13、 所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號． 又， 故而當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值 sin<，故a－b的取值范圍是． 考向4 與解三角形有關(guān)的其它最值〔范圍〕問題 【例9】【2021江蘇南通如皋第一次聯(lián)考】如圖，矩形ABCD是某小區(qū)戶外活動空地的平面示意圖，其中AB＝50米，AD＝100米，現(xiàn)擬在直角三角形OMN內(nèi)栽植草坪供兒童踢球娛樂〔其中，點O為AD的中點，OM⊥ON，點M在AB上，點N在CD上〕，將破舊的道路AM重新鋪設(shè)．草坪本錢為每平方米20元，新道路AM本錢為每米500元，設(shè)∠OMA＝θ，記草坪栽植與新道路鋪設(shè)所需的總費用為f(θ)． 〔1〕求f(θ)關(guān)于θ函數(shù)關(guān)系式，并

14、寫出定義域； 〔2〕為節(jié)約投入本錢，當(dāng)tanθ為何值時，總費用 f(θ)最小？ 【答案】〔1〕f(θ)＝，其定義域為；〔2〕 試題解析：〔1〕據(jù)題意，在Rt?OAM中，OA＝50，∠OMA＝θ，所以AM＝，OM＝，據(jù)平面幾何知識可知∠DON＝θ，在Rt?ODN中，OD＝50，∠DON＝θ，所以O(shè)N＝，所以f(θ)＝＝＝ ，據(jù)題意，當(dāng)點M與點B重合時，θ取最小值；當(dāng)點N與點C重合時，θ取最大值，所以，所以f(θ)＝，其定義域為． 〔2〕由〔1〕可知，f(θ)＝， ， ＝＝＝，令＝0，得，其中，列表： θ ↘ 極小值 ↗ 所以當(dāng)時，總費用 f(θ)取最小值，可節(jié)約投入本錢． 【跟蹤練習(xí)】 【2021浙江杭州模擬】在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，． 〔Ⅰ〕求角的大??； 〔Ⅱ〕假設(shè)，且是銳角三角形，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】〔I〕；〔II〕． 【解析】 試題分析：〔Ⅰ〕由及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用得，從而可求得，即可解得的大小；〔Ⅱ〕由得，由是銳角三角形，，可求得的取取值范圍，即可解得實數(shù)的取值范圍．