高中數(shù)學(xué) 2-2-4第2章 第4課時(shí) 等差數(shù)列的綜合應(yīng)用習(xí)題課同步檢測(cè) 新人教B版必修5

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1、 第2章 2.2 第4課時(shí)等差數(shù)列的綜合應(yīng)用習(xí)題課 一、選擇題 1．四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，S4＝32，a2:a3＝1:3，則公差d等于(　　) A．8　　　　B．16　　　　C．4　　　　D．0 [答案]　A [解析]　∵a2:a3＝1:3，∴＝，∴d＝－2a1 又S4＝4a1＋d＝－8a1＝32，∴a1＝－4， ∴d＝8. [點(diǎn)評(píng)]　可設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則由S4＝32得：a＝8，由a2:a3＝1:3得：＝，∴d＝4，∴公差為2d＝8. 2．等差數(shù)列{an}中，a2＝7，a9＝15，則前10項(xiàng)和S10等于(　　) A．100　　　B．11

2、0　　　C．120　　　D．125 [答案]　B [解析]　S10＝＝ ＝＝110. 3．(2020·桂林高二檢測(cè))已知等差數(shù)列{an}為5,4，3…，則使{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值的n值是(　　) A．15 B．7 C．8或9 D．7或8 [答案]　D [解析]　∵a1＝5，d＝4－5＝－， ∴an＝5＋(n－1)·(－)＝－n＋. 令an＝0得n＝8，∴a7>0，a8＝0，a9<0， ∴當(dāng)n＝7或8時(shí)，Sn最大． 4．設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且S5S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A．d<0 B．a(chǎn)7＝0 C．

3、S9>S5 D．S6與S7均為Sn的最大值． [答案]　C [解析]　由S50，由S6＝S7知a7＝0， 由S7>S8知a8<0，C選項(xiàng)S9>S5即a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7＋a8>0，顯然錯(cuò)誤． 5．在等差數(shù)列{an}中，若S12＝8S4，且d≠0，則等于(　　) A. B. C．2 D. [答案]　A [解析]　∵S12＝8S4，∴12a1＋×12×11×d＝8(4a1＋×4×3×d)， 即20a1＝18d，∵d≠0， ∴＝＝. 6．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B

4、．45 C．36 D．27 [答案]　B [解析]　解法一：∵{an}是等差數(shù)列，∴S3、S6－S3、S9－S6為等差數(shù)列． ∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， ∴S9－S6＝2S6－3S3＝45. 解法二：∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，令bn＝，則{bn}成等差數(shù)列． 由題設(shè)b3＝＝3，b6＝＝6， ∴b9＝2b6－b3＝9. ∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝9b9－36＝45. 二、填空題 7．設(shè){an}是公差為－2的等差數(shù)列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，則a3＋a6＋a9＋…a99的值為_(kāi)_______． [答案]?。?2 [解析]　∵

5、a1＋a4＋a7＋…a97＝50，公差d＝－2， ∴a3＋a6＋a9＋…＋a99 ＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a1＋2d)＋…＋(a97＋2d) ＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33×2d ＝50＋66×(－2)＝－82. 8．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝________. [答案]　24 [解析]　{an}為等差數(shù)列，由S9＝72得S9＝＝9a5， ∴a5＝8. ∴a2＋a4＋a9＝3a5＝24. 三、解答題 9．一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為10，求前110項(xiàng)之和． [解析]　解法一：設(shè)等差

6、數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則 Sn＝na1＋d. 由已知得 ①×10－②整理得d＝－，代入①得，a1＝， ∴S110＝110a1＋d ＝110×＋× ＝110 ＝－110. 故此數(shù)列的前110項(xiàng)之和為－110. 解法二：設(shè)Sn＝an2＋bn. ∵S10＝100，S100＝10， ∴ ? ∴Sn＝－n2＋n. ∴S110＝－×1102＋×110＝－110. 解法三：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則 (p≠q) ①－②得(p－q)a1＋d＝－(p－q)．又p≠q， ∴a1＋d＝－1， ∴Sp＋q＝(p＋q)a1＋d ＝－(p＋q)， ∴S

7、110＝－110. 解法四：數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，…S100－S90，S110－S100成等差數(shù)列，設(shè)其公差為D，前10項(xiàng)的和為10S10＋·D＝S100＝10?D＝－22， ∴S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22) ＝－120. ∴S110＝－120＋S100＝－110. 解法五：∵S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100 ＝＝. 又S100－S10＝10－100＝－90， ∴a1＋a110＝－2. ∴S110＝＝－110. 10．等差數(shù)列{an}中，a1＝25，S17＝S9，問(wèn)數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大，并求出最大值．

8、 [解析]　解法一：∵a1＝25，S17＝S9， ∴17a1＋d＝9a1＋d，解得d＝－2. ∴Sn＝25n＋×(－2) ＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169. 解法二：∵a1＝25，S17＝S9， 即17a1＋d＝9a1＋d. ∴d＝－2，Sn＝n2＋(a1－)n(d<0)，Sn的圖象是開(kāi)口向下的拋物線上一些孤立的點(diǎn)， ∵S17＝S9，∴最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為＝13，代入a1，d，n的值，得S13＝169，故前13項(xiàng)之和最大，最大值為169. 解法三：∵S17＝S9，∴a10＋a11＋a12＋……＋a17＝0， ∴a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13

9、＋a14＝0， ∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0，所以S13最大， ∵a1＝25，S17＝S9，即17a1＋d＝9a1＋d， ∴d＝－2，代入a1，d，n的值，得S13＝169，故前13項(xiàng)之和最大，最大值為169. 解法四：同方法一： 解得d＝－2， ∴an＝25＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋27，由， 得， 解得≤n≤，又∵n∈N*， ∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn取得最大值，最大值為169. 能力提升 一、選擇題 1．在等差數(shù)列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，則數(shù)列{an＋bn}的前100項(xiàng)的和為(　　) A．0　　

10、　　　　　　　　　B．4475 C．8950 D．10 000 [答案]　C [解析]　設(shè)cn＝an＋bn，則c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差數(shù)列，∴前100項(xiàng)和S100＝＝＝8950. 2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，則S18等于(　　) A．36　　　　B．18　　　　C．72　　　　D．9 [答案]　A [解析]　∵S3＝－6，∴a1＋a2＋a3＝－6. 又S18－S15＝a16＋a17＋a18＝18， ∴a1＋a2＋a3＋a16＋a17＋a18＝(a1＋a18)＋(a2＋

11、a17)＋(a3＋a16)＝3(a1＋a18)＝12， ∴a1＋a18＝4. ∴S18＝＝9(a1＋a18)＝9×4＝36. 二、填空題 3．設(shè){an}是遞減的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和是15，前三項(xiàng)的積是105，當(dāng)該數(shù)列的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n等于________． [答案]　4 [解析]　∵{an}是等差數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5， 又∵a1·a2·a3＝105， ∴a1a3＝21，由及{an}遞減可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴n＝4. 4．給定81個(gè)數(shù)排成如圖所示的數(shù)表，若每行的9個(gè)數(shù)與每列的9個(gè)數(shù)按表中順序構(gòu)成等差數(shù)列，且表中

12、正中間一個(gè)數(shù)a55＝5，則表中所有數(shù)之和為_(kāi)_______． a11　a12　…　a19 a21　a22　…　a29 …　…　…　… a91　a92　…　a99 [答案]　405 [解析]　S＝(a11＋…＋a19)＋…＋(a91＋…＋a99) ＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405. 三、解答題 5．Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S′n為等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，已知SnS′n＝(7n＋1)(4n＋27)，求a11b11的值． [解析]　∵a11＝，b11＝，∴＝＝ ＝＝ ＝. 6．(2020·課標(biāo)全國(guó)卷文)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3

13、＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值． [解析]　(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得 ，可解得. 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝11－2n. (2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2. 因?yàn)镾n＝－(n－5)2＋25， 所以當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最大值． 7．(2020·浙江文)設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6＋15＝0. (1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范圍． [解析]　(1)由題意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8， 所以，解得a1＝7. 所以S6＝－3，a1＝7. (2)因?yàn)镾5S6＋15＝0， 所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即2a＋9da1＋10d2＋1＝0， 故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8. 故d的取值范圍為d≤－2或d≥2.