高中數(shù)學 2、1-3-1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)同步檢測 新人教版選修2-2

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1、選修2-2 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù) 一、選擇題 1．設f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，則f(x)為R上增函數(shù)的充要條件是(　　) A．b2－4ac>0　　　　　　 B．b>0，c>0 C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0 [答案]　D [解析]　∵a>0，f(x)為增函數(shù)， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立， ∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0. 2．(2020·廣東文，8)函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,

2、4) D．(2，＋∞) [答案]　D [解析]　考查導數(shù)的簡單應用． f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex， 令f′(x)>0，解得x>2，故選D. 3．已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)上任一點(x0，f(x0))處的切線斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，2] C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞) [答案]　B [解析]　令k≤0得x0≤2，由導數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，2]． 4．已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖(1)

3、所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，下面四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是(　　) [答案]　C [解析]　當01時xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，因此否定A、B、D故選C. 5．函數(shù)y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的單調(diào)增區(qū)間是(　　) A.和 B.和 C.和 D.和 [答案]　A [解析]　y′＝xcosx，當－π0， 當00，∴y

4、′＝xcosx>0. 6．下列命題成立的是(　　) A．若f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，則對任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0 B．若在(a，b)內(nèi)對任何x都有f′(x)>0，則f(x)在(a，b)上是增函數(shù) C．若f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則f′(x)必存在 D．若f′(x)在(a，b)上都存在，則f(x)必為單調(diào)函數(shù) [答案]　B [解析]　若f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，則f′(x)≥0，故A錯；f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)與f′(x)是否存在無必然聯(lián)系，故C錯；f(x)＝2在(a，b)上的導數(shù)為f′(x)＝0存在，但f(x)無單調(diào)性，故D錯． 7．(

5、2020·福建理，11)已知對任意實數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0時，f′(x)>0，g′(x)>0，則x<0時(　　) A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0 [答案]　B [解析]　f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，奇(偶)函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同(反)，∴x<0時，f′(x)>0，g′(x)<0. 8．f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負可導函數(shù)，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a

6、(　　) A．a(chǎn)f(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a) C．a(chǎn)f(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b) [答案]　C [解析]　∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0， ∴f′(x)≤－，即f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)， 又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)． 9．對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有(　　) A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1) [答案]　C [解

7、析]　由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，1]上單調(diào)遞減或f(x)恒為常數(shù)， 故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故應選C. 10．(2020·江西理，12)如圖，一個正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)＝0)，則導函數(shù)y＝S′(t)的圖像大致為 (　　) [答案]　A [解析]　由圖象知，五角星露出水面的面積的變化率是增→減→增→減，其中恰露出一個角時變化不連續(xù)，故選A. 二、填空題 11．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是單調(diào)增函數(shù)，則b的范圍為___

8、_____． [答案]　b<－1或b>2 [解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，則Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2， 由題意b＜－1或b＞2. 12．已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立，實數(shù)a的取值范圍為________． [答案]　a≥1 [解析]　由已知a＞在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立． 設g(x)＝，則g′(x)＝－＜0　(x＞1)， ∴g(x)＝在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減， ∴g(x)＜g(1)， ∵g(1)＝1， ∴＜1在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立， ∴a≥1. 13．函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的

9、單調(diào)遞減區(qū)間為__________． [答案]　(－∞，－1) [解析]　函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的定義域為(2，＋∞)∪(－∞，－1)， 令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<， ∴函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1)． 14．若函數(shù)y＝x3－ax2＋4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是____________． [答案]　[3，＋∞) [解析]　y′＝3x2－2ax，由題意知3x2－2ax<0在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立， 即a>x在區(qū)間(0,2)上恒成立，∴a≥3. 三、解答題 15．設函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋3

10、bx的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點(1，－11)． (1)求a、b的值； (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． [解析]　(1)求導得f′(x)＝3x2－6ax＋3b. 由于f(x)的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12， 即， 解得a＝1，b＝－3. (2)由a＝1，b＝－3得 f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3) ＝3(x＋1)(x－3)． 令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1

11、f(x)也是增函數(shù)； 當x∈(－1,3)時，f(x)是減函數(shù)． 16．求證：方程x－sinx＝0只有一個根x＝0. [證明]　設f(x)＝x－sinx，x∈(－∞，＋∞)， 則f′(x)＝1－cosx＞0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)． 而當x＝0時，f(x)＝0， ∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0. 17．已知函數(shù)y＝ax與y＝－在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，試確定函數(shù)y＝ax3＋bx2＋5的單調(diào)區(qū)間． [分析]　可先由函數(shù)y＝ax與y＝－的單調(diào)性確定a、b的取值范圍，再根據(jù)a、b的取值范圍去確定y＝ax3＋bx2＋5的單調(diào)區(qū)間． [解析]　∵函數(shù)y＝

12、ax與y＝－在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，∴a＜0，b＜0. 由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx. 令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0，∴－＜x＜0. ∴當x∈時，函數(shù)為增函數(shù)． 令y′＜0，即3ax2＋2bx＜0， ∴x＜－，或x＞0. ∴在，(0，＋∞)上時，函數(shù)為減函數(shù)． 18．(2020·新課標全國文，21)設函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2. (1)若a＝，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍． [解析]　(1)a＝時，f(x)＝x(ex－1)－x2， f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．

13、 當x∈(－∞，－1)時，f′(x)>0；當x∈(－1,0)時，f′(x)<0；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－1,0]上單調(diào)遞減． (2)f(x)＝x(ex－1－ax)． 令g(x)＝ex－1－ax，則g′(x)＝ex－a. 若a≤1，則當x∈(0，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)＝0，從而當x≥0時g(x)≥0，即f(x)≥0. 當a>1，則當x∈(0，lna)時，g′(x)<0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)＝0，從而當x∈(0，lna)時g(x)<0，即f(x)<0. 綜合得a的取值范圍為(－∞，1]．