高中數(shù)學 第3章綜合素質檢測 新人教A版選修1-2

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1、第三章綜合素質檢測 時間120分鐘，滿分150分。 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．(2020·安徽文，2)已知i2＝－1，則i(1－i)＝(　　) A.－i　　　　　　　 B.＋i C．－－i D．－＋i [答案]　B [解析]　該題考查復數(shù)的四則運算 i(1－i)＝－i2＋i＝＋i，故選B. 2．復數(shù)z＝＋1在復平面內所對應的點在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]　A [解析]　z＝＋1＝1＋i，故復數(shù)z所對應的點為

2、(1,1)，在第一象限． 3．復數(shù)10的值是(　　) A．－1 B．1 C．－32 D．32 [答案]　A [解析]　本題主要考查復數(shù)的基本運算，＝－i，(－i)10＝－1，故選A. 4．若z1＝(x－2)＋yi與z2＝3x＋i(x、y∈R)互為共軛復數(shù)，則z1對應的點在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]　C [解析]　由已知得∴ ∴z1＝－3－i，故選C. 5．對于復平面，下列命題中真命題的是(　　) A．虛數(shù)集和各個象限內的點的集合是一一對應的 B．實、虛部都是負數(shù)的虛數(shù)的集合與第二象限

3、的點的集合是一一對應的 C．實部是負數(shù)的復數(shù)的集合與第二、三象限的點的集合是一一對應的 D．實軸上側的點的集合與虛部為正數(shù)的復數(shù)的集合是一一對應的 [答案]　D [解析]　復數(shù)的幾何意義是平面內的點與復數(shù)建立一一對應關系，其中實數(shù)對(a，b)對應復數(shù)的實部與虛部． 6．設復數(shù)z滿足z＋||＝2＋i，那么z等于(　　) A．－＋i B.－i C．－－i D.＋i [答案]　D [解析]　方法一：設z＝x＋yi(x，y∈R)， 則x＋yi＋|x－yi|＝2＋i， 即x＋＋yi＝2＋i， ∴ 把y＝1代入x＋＝2中， 得＋x＝2， ∴x＝，∴z＝＋i

4、. 方法二：代入法驗證答案易得． 7．復數(shù)z滿足方程|z＋|＝4，那么復數(shù)z的對應點P組成的圖形為(　　) A．以(1，－1)為圓心，4為半徑的圓 B．以(1，－1)為圓心，2為半徑的圓 C．以(－1,1)為圓心，4為半徑的圓 D．以(－1,1)為圓心，2為半徑的圓 [答案]　C [解析]　|z＋|＝|z＋(1－i)| ＝|z－(－1＋i)|＝4， 設－1＋i的對應點為C(－1,1)， 則|PC|＝4，因此動點P的軌跡是以C(－1,1)為圓心，4為半徑的圓． 8．若x是純虛數(shù)，y是實數(shù)，且2x－1＋i＝y(tǒng)－(3－y)i，則x＋y等于(　　) A．1＋i B．

5、－1＋i C．1－i D．－1－i [答案]　D [解析]　設x＝it(t∈R且t≠0)， 于是2ti－1＋i＝y(tǒng)－(3－y)i， ∴－1＋(2t＋1)i＝y(tǒng)－(3－y)i， ∴∴ ∴x＋y＝－1－i. 9．已知復數(shù)(x－2)＋yi(x，y∈R)在復平面內對應的向量的模為，則的最大值是(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　因為|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3，所以點(x，y)在以C(2,0)為圓心，以為半徑的圓上，如圖，由平面幾何知識知－≤≤. 10．設復數(shù)z為虛數(shù)，條件甲：z＋是實數(shù)，條件乙

6、：|z|＝1，則(　　) A．甲是乙的必要非充分條件 B．甲是乙的充分非必要條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件 [答案]　C [解析]　本題考查復數(shù)的運算和充要條件的判斷．設z＝a＋bi(b≠0且a，b∈R)，則z＋＝a＋bi＋＝＋i.因為z＋為實數(shù)，所以b＝.因為b≠0，所以a2＋b2＝1，所以|z|＝1.而當|z|＝1，a2＋b2＝1，條件甲顯然成立． 11．如果復數(shù)z滿足條件|2z＋1|＝|z－i|，那么在復平面內z對應的點的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 [答案]　A [解析]　

7、設z＝a＋bi(a，b∈R)，則|(2a＋1)＋2bi|＝|a＋(b－1)i|，所以(2a＋1)2＋4b2＝a2＋(b－1)2，化簡，得3a2＋3b2＋4a＋2b＝0，此為圓的方程． 12．設z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，則以下結論正確的是(　　) A．z對應的點在第一象限 B．z一定不為純虛數(shù) C.對應的點在實軸的下方 D．z一定為實數(shù) [答案]　C [解析]　∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0， ∴z對應的點在實軸的上方． 又∵z與對應的點關于實軸對稱． ∴C項正確． 二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中

8、橫線上) 13．(2020·上海文，4)若復數(shù)z＝1－2i(i為虛數(shù)單位)，則z·＋z＝________. [答案]　6－2i [解析]　本題考查了復數(shù)的基本運算． ∵z·＝|z|2＝5，∴原式＝5＋(1－2i)＝6－2i. 14．已知復數(shù)z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，則復數(shù)z1·z2的實部是__________ [答案]　cos(α＋β) [解析]　z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ) cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i ＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i 故z1·z2的實部為

9、cos(α＋β)． 15．實數(shù)m滿足等式|log3m＋4i|＝5，則m＝________. [答案]　27或 [解析]　本題考查有關復數(shù)模的運算．由|log3m＋4i|＝5，得(log3m)2＋16＝25，(log3m)2＝9，所以log3m＝±3，m＝27或m＝. 16．設θ∈[0,2π]，當θ＝________時，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是實數(shù)． [答案]　或π [解析]　本題主要考查復數(shù)的概念．z為實數(shù)，則cosθ＝sinθ，即tanθ＝1.因為θ∈[0,2π]，所以θ＝或π. 三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

10、) 17．(本題滿分12分)已知復數(shù)z滿足z－i()＝1－，求z. [解析]　將方程兩邊化成a＋bi的形式，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件來解． 設z＝x＋yi(x，y∈R)，則 x2＋y2－i[]＝1－()， 即x2＋y2－3y－3xi＝1＋3i， 由復數(shù)相等得 解得或 ∴z＝－1或z＝－1＋3i. 18．(本題滿分12分)已知復數(shù)x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是復數(shù)4－20i的共軛復數(shù)，求實數(shù)x的值． [解析]　因為復數(shù)4－20i的共軛復數(shù)為4＋20i，由題意得 x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i， 根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，得 方程①的解為x

11、＝－3或x＝2. 方程②的解為x＝－3或x＝6. 所以實數(shù)x的值為－3. [點評]　本題主要考查共軛復數(shù)的概念和復數(shù)相等的充要條件． 19．(本題滿分12分)已知z＝1＋i， (1)求w＝z2＋3－4 (2)如果＝1－i，求實數(shù)a、b. [解析]　(1)w＝－1－i (2)＝ ＝ ＝(a＋2)－(a＋b)i ∴(a＋2)－(a＋b)i＝1－i ∴a＝－1　b＝2 20．(本題滿分12分)設a、b為共軛復數(shù)，且(a＋b)2－3abi＝4－6i，求a和b. [解析]　∵a、b為共軛復數(shù)，∴設a＝x＋yi(x，y∈R) 則b＝x－yi， 由(a＋b)2－3abi＝4－

12、6i，得 (2x)2－3(x2＋y2)i＝4－6i， 即 ∴　∴ ∴a＝1＋i，b＝1－i；a＝－1＋i，b＝－1－i； a＝1－i，b＝1＋i；a＝－1－i，b＝－1＋i. 21．(本題滿分12分)證明：在復數(shù)范圍內，方程|z|2＋(1－i)－(1＋i)z＝無解． [證明]　原方程可化簡為|z|2＋(1－i)－(1＋i)z＝1－3i. 設z＝x＋yi(x，y∈R)，代入上述方程，整理得 x2＋y2－2xi－2yi＝1－3i，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件， 得 將②代入①，消去y整理，得8x2－12x＋5＝0. 因為Δ＝－16<0，所以上述方程無實數(shù)解． 所以原方程在復數(shù)范

13、圍內無解． [點評]　本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的運算，解決本題的關鍵是將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題來求解． 22．(本題滿分14分)復數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋1＋i|的最大值與最小值． [解析]　在復平面內，|z＋i|＋|z－i|＝2表示復數(shù)z對應的點Z到點A(0，－1)，B(0,1)的距離之和為2，而|AB|＝2，所以點Z的軌跡為以A，B為端點的線段(包括兩端點)．而|z＋1＋i|＝|z－(－1－i)|表示點Z到點C(－1，－1)的距離，因而，問題的幾何意義是求線段AB上的點到點C的距離的最大值與最小值，如右圖． 易知|z＋1＋i|max＝|BC|＝， |z＋1＋i|min＝|AC|＝1. [點評]　本題主要考查復數(shù)|z－z1|的幾何意義，即|z－z1|表示復數(shù)z與z1對應的兩點之間的距離．利用數(shù)形結合法是求解本題的關鍵．