高中數學 2-3-1第1課時 雙曲線及其標準方程同步檢測 新人教版選修2-1

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1、2.3第1課時 雙曲線及其標準方程 一、選擇題 1．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，其焦點為F1、F2，過F1作直線交雙曲線同一支于A、B兩點，且|AB|＝m，則△ABF2的周長是(　　) A．4a　　　　　　　　 B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m [答案]　C 2．設θ∈(，π)，則關于x、y的方程－＝1 所表示的曲線是(　　) A．焦點在y軸上的雙曲線 B．焦點在x軸上的雙曲線 C．焦點在y軸上的橢圓 D．焦點在x軸上的橢圓 [答案]　C [解析]　方程即是＋＝1，因θ∈(，π)， ∴sinθ>0，cosθ<0，且－cosθ>s

2、inθ，故方程表示焦點在y軸上的橢圓，故答案為C. 3．(2020·安徽理，5)雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點坐標為(　　) A. B. C. D．(，0) [答案]　C [解析]　將方程化為標準方程x2－＝1 ∴c2＝1＋＝，∴c＝，故選C. 4．k>9是方程＋＝1表示雙曲線的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　k>9時，方程為－＝1表示焦點在y軸上的雙曲線，方程表示雙曲線時，(k－9)(k－4)<0，∴k<4或k>9，故選B. 5．已知雙曲線－

3、＝1的左、右焦點分別為F1、F2，若雙曲線的左支上有一點M到右焦點F2的距離為18，N是MF2的中點，O為坐標原點，則|NO|等于(　　) A.　　　B．1　　　C．2　　　D．4 [答案]　D [解析]　NO為△MF1F2的中位線，所以|NO|＝|MF1|，又由雙曲線定義知，|MF2|－|MF1|＝10，因為|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故選D. 6．已知雙曲線x2－＝1的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且·＝0，則點M到x軸的距離為(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　由條件知c＝，∴|F1F2|＝2，

4、 ∵·＝0，∴|MO|＝|F1F2|＝， 設M(x0，y0)，則， ∴y＝，∴y0＝±，故選C. 7．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b異號，則方程表示(　　) A．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在y軸上的橢圓 C．焦點在x軸上的雙曲線 D．焦點在y軸上的雙曲線 [答案]　D [解析]　方程變形為－＝1，由a、b異號知<0，故方程表示焦點在y軸上的雙曲線，故答案為D. 8．以橢圓＋＝1的焦點為頂點，以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線方程是(　　) A.－y2＝1 B．y2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [答案]　B [解析]　由題意知雙曲線的焦點

5、在y軸上， 且a＝1，c＝2，∴b2＝3， 雙曲線方程為y2－＝1. 9．已知雙曲線中心在原點，一個焦點為F1(－，0)，點P在該雙曲線上，線段PF1的中點坐標為(0,2)，則雙曲線的方程是(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [答案]　B [解析]　由條件知P(，4)在雙曲線－＝1上，∴－＝1， 又a2＋b2＝5，∴，故選B. 10．已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1、F2，若雙曲線上一點P使∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積是(　　) A．12　　　B．16　　　C．24　　　D．32 [答案]　B [解析]

6、　由定義||PF1|－|PF2||＝6， ∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100， ∴|PF1||PF2|＝32， ∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝16. 二、填空題 11．若雙曲線x2－y2＝1右支上一點P(a，b)到直線y＝x的距離是，則a＋b＝________. [答案]　 [解析]　由條件知，， ∴或，∵a>0，∴a＋b＝. 12．已知圓(x＋4)2＋y2＝25的圓心為M1，圓(x－4)2＋y2＝1的圓心為M2，動圓與這兩圓外切，則動圓圓心的軌跡方程為____________．

7、 [答案]?。?(x≥2) [解析]　設動圓圓心為M，動圓半徑為r，根據題意得，|MM1|＝5＋r，|MM2|＝1＋r，兩式相減得|MM1|－|MM2|＝4<8＝|M1M2|，故M點在以M1(－4,0)，M2(4,0)為焦點的雙曲線的右支上，故圓心M的軌跡方程為－＝1(x≥2)． 13．若雙曲線－＝1(m>0，n>0)和橢圓＋＝1(a>b>0)有相同的焦點F1，F2，M為兩曲線的交點，則|MF1|·|MF2|等于________． [答案]　a－m [解析]　由雙曲線及橢圓定義分別可得 |MF1|－|MF2|＝±2① |MF1|＋|MF2|＝2② ②2－①2得，4|MF1|·|

8、MF2|＝4a－4m， ∴|MF1|·|MF2|＝a－m. 14．已知雙曲線x2－y2＝m與橢圓2x2＋3y2＝72有相同的焦點，則m的值為________． [答案]　6 [解析]　橢圓方程為＋＝1，c2＝a2－b2＝36－24＝12，∴焦點F1(－2，0)，F2(2，0)， 雙曲線－＝1與橢圓有相同焦點， ∴2m＝12，∴m＝6. 三、解答題 15．設聲速為a米/秒，在相距10a米的A、B兩哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間差6秒，求炮彈爆炸點所在曲線的方程． [解析]　以A、B兩哨所所在直線為x軸，它的中垂線為y軸，建立直角坐標系，得炮彈爆炸點的軌跡方程為－＝1. 16．已知

9、雙曲線與橢圓＋＝1有相同的焦點，且與橢圓的一個交點的縱坐標為4，求雙曲線的方程． [解析]　橢圓的焦點為F1(0，－3)，F2(0,3)，故可設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，且c＝3，a2＋b2＝9. 由條件知，雙曲線與橢圓有一個交點的縱坐標為4，可得兩交點的坐標為A(，4)、B(－，4)， 由點A在雙曲線上知，－＝1. 解方程組得 ∴所求曲線的方程為－＝1. 17．已知定點A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C為一個焦點作過A、B的橢圓，求橢圓的另一焦點F的軌跡方程． [解析]　設F(x，y)為軌跡上的任意一點， 因為A、B兩點在以C、F為焦點的橢圓上，

10、 所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a，(其中a表示橢圓的長半軸長)， 所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|， 所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2. 由雙曲線的定義知，F點在以A、B為焦點的雙曲線的下半支上， 所以點F的軌跡方程是y2－＝1(y≤－1)． 18．如圖，已知雙曲線的離心率為2，F1，F2為左、右焦點，P為雙曲線上的點，∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，求雙曲線的標準方程． [解析]　設雙曲線方程為－＝1 ∵e＝＝2，∴a＝ 由雙曲線定義：|PF1|－|PF2|＝2a＝c. 由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|(1－cos60°)， ∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2| 又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝12 得|PF1|·|PF2|＝48， 即c2＝16，∴a2＝4，b2＝12， 所求方程為－＝1.