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1、4.1.2圓的一般方程
三維目標(biāo)：
? 知識(shí)與技能 ： (1)在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件
(2)能通過(guò)配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．能用待定系數(shù)法求圓的方程。
(3):培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力。
過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力。
情感態(tài)度價(jià)值觀：滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，勇于
2、探索。
教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F．
教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用
教 具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過(guò)程：
課題引入：
問(wèn)題：求過(guò)三點(diǎn)A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程。
利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問(wèn)題顯然有些麻煩，得用直線的知識(shí)解決又有其簡(jiǎn)單的局限性，那么這個(gè)問(wèn)題有沒(méi)有其它的解決方法呢？帶著這個(gè)問(wèn)題我們來(lái)共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。
探索研究：
請(qǐng)同學(xué)們寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圓心(a，b)，半徑r．
把圓的標(biāo)
3、準(zhǔn)方程展開，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取得
①
這個(gè)方程是圓的方程．
反過(guò)來(lái)給出一個(gè)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
② (配方過(guò)程由學(xué)生去完成)這個(gè)方程是不是表示圓？
(1)當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，方程②表示（1）當(dāng)時(shí)，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓；
（2）當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解，，即只表示一個(gè)點(diǎn)（-，-）;
（3）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形
綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓
只有當(dāng)時(shí)，它表示的曲線才是圓，我們把形如
4、的表示圓的方程稱為圓的一般方程
我們來(lái)看圓的一般方程的特點(diǎn)：(啟發(fā)學(xué)生歸納)
(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．
?、跊](méi)有xy這樣的二次項(xiàng)．
(2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了．
(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。
知識(shí)應(yīng)用與解題研究：
例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請(qǐng)求出圓的圓心及半徑。
學(xué)生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式。②、運(yùn)用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要
5、注意對(duì)于來(lái)說(shuō)，這里的
.
例2：求過(guò)三點(diǎn)A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。
分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確定三個(gè)系數(shù)，而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo)，不妨試著先寫出圓的一般方程
解：設(shè)所求的圓的方程為：
∵在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于的三元一次方程組，
即
解此方程組，可得：
∴所求圓的方程為：
；
得圓心坐標(biāo)為（4，-3）.
或?qū)⒆筮吪浞交癁閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程，,從而求出圓的半徑，圓心坐標(biāo)為(4,-3)
學(xué)生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步
6、驟：
①、 根據(jù)提議，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；
②、 根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組；
③、 解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。
例3、已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。
分析：如圖點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程。建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件，求出點(diǎn)M的軌跡方程。
解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x,y）,點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ①
上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程,即
②
把①代入②，得
課堂練習(xí)：課堂練習(xí)第1、2、3題
小結(jié) ：
1．對(duì)方程的討論(什么時(shí)候可以表示圓)
2．與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化
3．用待定系數(shù)法求圓的方程
4．求與圓有關(guān)的點(diǎn)的軌跡。
課后作業(yè)：習(xí)題4.1第2、3、6題
高中數(shù)學(xué) 第四章《圓的一般方程》教案 新人教A版必修2
