高中數(shù)學(xué)《空間中的垂直關(guān)系》學(xué)案1 新人教B版必修2

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1、空間中的垂直關(guān)系 一. 學(xué)習(xí)內(nèi)容： 空間中的垂直關(guān)系 二、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、掌握直線(xiàn)與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行論證和解決有關(guān)的問(wèn)題； 2、掌握平面與平面垂直的概念和判定定理、性質(zhì)定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行推理論證和解決有關(guān)問(wèn)題； 3、在研究垂直問(wèn)題時(shí)，要善于應(yīng)用“轉(zhuǎn)化”和“降維”的思想，通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題獲得解決。 三、知識(shí)要點(diǎn) 1、直線(xiàn)與平面垂直的定義：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都垂直，那么就稱(chēng)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直。 2、直線(xiàn)與平面垂直的判定：常用方法有： ①判定定理： . ② b⊥α, a∥

2、ba⊥α；（線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理） ③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性質(zhì)定理） ④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，aβa⊥α（面面垂直性質(zhì)定理） 3、直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理： ①如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。（ a⊥α，b⊥α?a∥b） ②直線(xiàn)和平面垂直時(shí)，那么該直線(xiàn)就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線(xiàn)（） 4、點(diǎn)到平面的距離的定義： 從平面外一點(diǎn)引這個(gè)平面的垂線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的距離。 特別注意：點(diǎn)到面的距離可直接向面作垂線(xiàn)，但要考慮垂足的位置，如果垂足的位置不能確定，往往采取由點(diǎn)向面上某一條線(xiàn)作垂線(xiàn)，再證明此垂足即為面的垂足。 5、平面與平

3、面垂直的定義及判定定理： （1）定義：如果兩個(gè)相交平面的交線(xiàn)與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線(xiàn)互相垂直，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。 記作：平面α⊥平面β （2）判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直。 （簡(jiǎn)稱(chēng)：線(xiàn)面垂直，面面垂直） 6、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。（簡(jiǎn)稱(chēng)：面面垂直，線(xiàn)面垂直。） 思維方式：判定兩相交平面垂直的常用方法是：線(xiàn)面垂直，面面垂直；有時(shí)用定義也是一種辦法。 【典型例題】 例1、（1）對(duì)于直線(xiàn)m、n和平面α、β，α⊥β的一個(gè)充

4、分條件是（ ） A、m⊥n，m∥α，n∥β B、m⊥n，α∩β=m，nα C、m∥n，n⊥β，mα D、m∥n，n⊥β，m⊥α （2）設(shè)a、b是異面直線(xiàn)，給出下列命題： ①經(jīng)過(guò)直線(xiàn)a有且僅有一個(gè)平面平行于直線(xiàn)b； ②經(jīng)過(guò)直線(xiàn)a有且僅有一個(gè)平面垂直于直線(xiàn)b； ③存在分別經(jīng)過(guò)直線(xiàn)a和b的兩個(gè)平行平面； ④存在分別經(jīng)過(guò)直線(xiàn)a和b的兩個(gè)平面互相垂直。 其中錯(cuò)誤的命題為（ ） A、①與② B、②與③ C、③與④ D、僅② （3）已知平面α⊥平面β，m是α內(nèi)一條直線(xiàn)，n是β內(nèi)一條直線(xiàn)，且m⊥n，那

5、么， 甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；?。簃⊥β且n⊥α。這四個(gè)結(jié)論中，不正確的三個(gè)是（ ） 解：（1）對(duì)于A，平面α與β可以平行，也可以相交，但不垂直。 對(duì)B，平面α內(nèi)直線(xiàn)n垂直于兩個(gè)平面的交線(xiàn)m，直線(xiàn)n與平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直。 對(duì)D，m⊥α，m∥n則n⊥α，又n⊥β，所以α∥β。 只有C正確，m∥n，n⊥β則m⊥β又mα，由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β。 故選C。 （2）①正確，過(guò)a上任一點(diǎn)作b的平行線(xiàn)b′，則ab′確定唯一平面。 ②錯(cuò)誤，假設(shè)成立則b⊥該平面，而a該平面，∴a⊥b，但a、b異面卻不一定垂直。 ③正確，分別過(guò)a、b上的任

6、一點(diǎn)作b、a的平行線(xiàn)，由各自相交直線(xiàn)所確定的平面即為所求。 ④正確，換角度思考兩個(gè)垂直的平面內(nèi)各取一直線(xiàn)會(huì)出現(xiàn)各種異面形式，綜上所述：僅②錯(cuò)誤 選D （3）丙正確。舉反例：在任一平面中作平行于交線(xiàn)的直線(xiàn)m（或n），在另一平面作交線(xiàn)的垂線(xiàn)n（或m）即可推翻甲、乙、丁三項(xiàng)。 思維點(diǎn)撥：解決這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是注意這是在空間而非平面內(nèi)。 例2、如圖，ABCD 為直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面ABCD。PA=a。 （1）求證：PC⊥CD。 （2）求點(diǎn)B到直線(xiàn)PC的距離。 （1）證明：取AD的中點(diǎn)E，連AC、CE， 則ABCE為正方形，

7、ΔCED為等腰直角三角形， ∴AC⊥ CD， ∵PA⊥平面ABCD， ∴AC為PC在平面ABCD上的射影， ∴PC⊥CD （2）解：連BE，交AC于O，則BE⊥AC， 又BE⊥PA，AC∩PA= A， ∴ BE⊥平面PAC 過(guò)O作OH⊥PC于H，則BH⊥PC， ∵PA=a，AC=a,PC=a， ∴ OH=， ∵BO=a， ∴BH=即為所求。 例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC （1）若D是BC的中點(diǎn)，求證 AD⊥CC1； （2）過(guò)側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線(xiàn)BC1的平面交側(cè)棱于M，若

8、AM=MA1，求證 截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C； （3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要條件嗎？ 請(qǐng)你敘述判斷理由。 命題意圖：本題主要考查線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)。 知識(shí)依托：線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)。 錯(cuò)解分析：（3）的結(jié)論在證必要性時(shí)，輔助線(xiàn)要重新作出。 技巧與方法：本題屬于知識(shí)組合題類(lèi)，關(guān)鍵在于對(duì)題目中條件的 思考與分析，掌握做此類(lèi)題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙地作輔助線(xiàn)。 （1）證明：∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)， ∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C， ∴AD⊥側(cè)面BB1C1C ∴AD⊥CC1 （2）

9、證明：延長(zhǎng)B1A1與BM交于N，連結(jié)C1N ∵AM=MA1， ∴NA1=A1B1 ∵A1B1=A1C1， ∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1 ∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C， ∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C （3）解：結(jié)論是肯定的，充分性已由（2）證明， 下面證必要性。 過(guò)M作ME⊥BC1于E， ∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C ∴ME⊥側(cè)面BB1C1C， 又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C ∴ME∥AD， ∴M、E、D、A共面 ∵AM∥側(cè)面BB1C1C， ∴AM∥DE

10、 ∵CC1⊥AD， ∴DE∥CC1 ∵D是BC的中點(diǎn)， ∴E是BC1的中點(diǎn) ∴AM=DE=AA1， ∴AM=MA1 即是截面的充要條件 例4、如圖，在正三棱錐A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點(diǎn)E、F、G、H （1）判定四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由 （2）設(shè)P是棱AD上的點(diǎn)，當(dāng)AP為何值時(shí)， 平面PBC⊥平面EFGH，請(qǐng)給出證明 （1）證明：∵AD//面EFGH, 面ACD∩面EFGH＝HG，AD面ACD ∴ AD//HG. 同理EF∥HG， ∴EFGH是平

11、行四邊形 ∵A—BCD是正三棱錐， ∴A在底面上的射影O是△BCD的中心， ∴DO⊥BC， ∴AD⊥BC， ∴HG⊥EH，四邊形EFGH是矩形 （2）作CP⊥AD于P點(diǎn)，連結(jié)BP， ∵AD⊥BC， ∴AD⊥面BCP ∵HG∥AD， ∴HG⊥面BCP，HG面EFGH 面BCP⊥面EFGH， 在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=AB=a, ∴AP=a 例5、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1與截面A1B1C交于DE。求證：

12、 （1）A1B1⊥平面BB1C1C； （2）A1C⊥BC1； （3）DE⊥平面BB1C1C。 證明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， ∴側(cè)面與底面垂直， 即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C， 又∵AB⊥BC， ∴A1B1⊥B1C1 從而A1B1⊥平面BB1C1C。 （2）由題設(shè)可知四邊形BB1C1C為正方形， ∴BC1⊥B1C， 而A1B1⊥平面BB1C1C， ∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C， 由三垂線(xiàn)定理得A1C⊥BC1 （3）∵直三棱柱的側(cè)面均為矩形， 而D、E分別為所在側(cè)面對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)， ∴D為A1C的中點(diǎn)，E為B1C的

13、中點(diǎn)， ∴DE∥A1B1， 而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C， ∴DE⊥平面BB1C1C。 思維點(diǎn)撥：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明線(xiàn)面垂直。 本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法 1、直線(xiàn)與平面垂直是直線(xiàn)與平面相交的一種特殊情況，應(yīng)熟練掌握直線(xiàn)與平面垂直的 定義、判定定理、性質(zhì)定理，并能依據(jù)條件靈活運(yùn)用。 2、注意線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直的關(guān)系和轉(zhuǎn)化。 3、距離離不開(kāi)垂直，因此求距離問(wèn)題的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是論證線(xiàn)面關(guān)系（平行與垂直）與解三角形的過(guò)程，值得注意的是“作、證、算、答”是立體幾何計(jì)算題不可缺少的步驟。 4、在證明兩平面垂直時(shí)，一般方法是先從現(xiàn)有的直線(xiàn)中尋找平面的垂線(xiàn)；若沒(méi)有這樣的直線(xiàn)，則可通過(guò)作輔助線(xiàn)來(lái)解決，而作輔助線(xiàn)則應(yīng)有理論根據(jù)并要有利于證明，不能隨意添加。在有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，使之轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直。解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“線(xiàn)線(xiàn)垂直”“線(xiàn)面垂直”，“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件和轉(zhuǎn)化應(yīng)用。