高中數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模 練習(xí)與解析 北師大版 必修1

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1、實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模 練習(xí)與解析 　　一、選擇題 　　1．某種商品1995年提價(jià)25%，1998年要恢復(fù)成原價(jià)，則應(yīng)降價(jià)（　?。? 　　　　A．30%　　　　B．25%　 　　　C．20%　　　　 D．15% 解析：設(shè)1995年提價(jià)前的價(jià)格為a，1998年要恢復(fù)成原價(jià)應(yīng)降價(jià)x． 　　于是有a（1＋25%）（1－x）＝a，解得，即應(yīng)降價(jià)20%，故選C． 　　答案：C 　　2．某種商品進(jìn)貨單價(jià)40元，若按每個(gè)50元的價(jià)格出售，能賣(mài)出50個(gè)，若銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，則銷(xiāo)售量就減少1個(gè)．為了獲得最大利潤(rùn)，此商品的最佳售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)________元．（　?。? 　　　　A．50　　　　　B．6

2、0　　　　　 C．70　　　　　D．80 　　解析：設(shè)此商品最佳售價(jià)為每個(gè)（50＋x）元，則此時(shí)可銷(xiāo)出（50－x）個(gè)， 　　于是獲利為（50＋x）（50－x）－40（50－x）＝－x2＋40x＋500＝－（x－20）2＋900．因此，當(dāng)x＝20時(shí)，獲利最大． 　　故商品最佳售價(jià)為每個(gè)50＋20＝70（元）．故選C． 　　答案：C 　　3．某產(chǎn)品的總成本y（萬(wàn)元）與產(chǎn)量x（臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3000＋20x－0.1x2（0＜x＜240，xN），若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)（銷(xiāo)售收入不小于總成本）的最低產(chǎn)量是（　?。? 　　　　A．100臺(tái)　　　B．120臺(tái)　　　

3、　C．150臺(tái)　　　 D．180臺(tái) 　　解析：由25x≥3000＋20x－0.1x2，得x2＋50x－30000≥0．代入驗(yàn)證知150適合；故選C． 　　答案：C 　　4．如圖（1）所示，液體從一圓錐形漏斗漏入一圓柱形桶中，開(kāi)始時(shí)，漏斗盛滿(mǎn)液體，經(jīng)過(guò)3min漏完．已知圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時(shí)間t（min）的函數(shù)關(guān)系表示的圖象只可能是（　?。? 　　解析：H的變化由慢到快，故選B． 　　答案：B 　　二、填空題 　　5．某商人購(gòu)貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%，他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利20%銷(xiāo)售后仍可獲得售價(jià)25%的

4、純利，則此商人經(jīng)營(yíng)這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系是_________． 　　解析：設(shè)新價(jià)為b，則售價(jià)為b（1－20%），因?yàn)樵瓋r(jià)為a，所以進(jìn)價(jià)為a（1－25%）．根據(jù)題意，得b（1—20%）－a（1－25%）＝b（1－20%）·25%． 　　化簡(jiǎn)，得． 　　∴y＝b·20%·x＝·20%·x， 　　即（xN*）． 　　答案：（xN*） 　　6．某工廠(chǎng)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為2000萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬(wàn)元．又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)K（Q）＝40Q－，則總利潤(rùn)L（Q）的最大值是_________． 　　答案：2500萬(wàn)元 　　提示：總

5、利潤(rùn)L＝總收入K－總支出（生產(chǎn)成本＋固定成本）． 　　所以． 　　故當(dāng)Q＝300時(shí)，總利潤(rùn)最大值為2500萬(wàn)元． 　　三、解答題 　　7．某摩托車(chē)生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車(chē)的投入成本為1萬(wàn)元／輛，出廠(chǎng)價(jià)為1.2萬(wàn)元／輛，年銷(xiāo)售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車(chē)投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠(chǎng)價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(rùn)＝（出廠(chǎng)價(jià)－投入成本）×年銷(xiāo)售量． 　?。?）求本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式； 　?。?）為使本年度的年利潤(rùn)比上年有所增加，求投入成本增

6、加的比例x的取值范圍． 　　解：（1）出廠(chǎng)價(jià)為：1.2（1＋0.75x），投入成本：1＋x，年銷(xiāo)售量：1000（1＋0.6x）． 　　∴y＝［1.2（1＋0.75x）－（1＋x）］1000·（1＋0.6x） 　?。剑?.2－0.1x）1000·（1＋0.6x） 　?。剑?0x2＋20x＋200（O＜x＜1）． 　　（2）由于上年度利潤(rùn)為200萬(wàn)元，所以－60x2＋20x＋200＞200． 　　∴－60x2＋20x＞0．∴0＜x＜． 　　∴x的取值范圍為（0，）． 　　8．我國(guó)遼東半島普蘭店附近的泥炭層中，發(fā)掘出古蓮子，至今大部分還能發(fā)芽開(kāi)花，這些古蓮子是多少年以前的遺物呢？要測(cè)

7、定古物的年代，可用放射性碳法：在動(dòng)植物的體內(nèi)都含有微量的放射性C14，動(dòng)植物死亡后，停止了新陳代謝，C14不再產(chǎn)生，且原有的C14會(huì)自動(dòng)衰變，經(jīng)過(guò)5570年（叫做C14的半衰期），它的殘余量只有原始含量的一半，經(jīng)過(guò)科學(xué)測(cè)定知道，若C14的原始含量為a，則經(jīng)過(guò)t年后的殘余量a′與a之間滿(mǎn)足a′＝a·e－kx．現(xiàn)測(cè)得出土的古蓮子中C14殘余量占原量的87.9%，試推算古蓮子的生活年代． 　　解：a′＝a·e－kx，即，兩邊取對(duì)數(shù)，得．　?、? 　　又知C14的半衰期是5570年，即t＝5570時(shí)，， 　　所以，即，代人①式，并整理得 　　，這就是利用放射性碳法計(jì)算古生物年代的公式．現(xiàn)測(cè)得古蓮

8、子的是0.879，代入公式，得．即古蓮子約是1040年前的遺物． 　　9．下面給出的是1875～1985年男子1英里（1英里＝1.6093千米）賽跑的歷次世界紀(jì)錄，試為其尋找一個(gè)最佳的一次線(xiàn)性模型和二次拋物線(xiàn)模型． 成績(jī) 年份 成績(jī) 年份 4′24″5 1875 4′01″6 1944 4′23″2 1880 4′01″4 1945 4′21″4 1882 3′59″4 1954 4′18″4 1884 3′58″0 1954 4′18″2 1894 3′57″2 1957 4′17″0 1895 3′54″5 1958 4′15″6

9、 1895 3′54″4 1962 4′15″4 1911 3′54″1 1964 4′14″4 1913 3′53″6 1965 4′12″6 1915 3′51″3 1966 4′10″4 1923 3′51″1 1967 4′09″2 1931 3′51″0 1975 4′07″6 1933 3′49″4 1975 4′06″8 1934 3′49″0 1979 4′06″4 1937 3′48″8 1980 4′06″2 1942 3′48″53 1981 4′06″2 1942 3′48″40 1981 4′04″6 1942 3′47″33 1981 4′02″6 1943 3′46″82 1985 　　答案：y＝914.156－0.346x， 　　y＝11170.0396－10.745375x＋0.00263596x2．