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1、高二數(shù)學(xué)選修2 平均變化率
教學(xué)目標(biāo)：
1. 通過大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。
2. 通過函數(shù)圖像直觀地導(dǎo)數(shù)的幾何意義。
3. 體會建立數(shù)學(xué)模型刻畫客觀世界的“數(shù)學(xué)化”過程，進(jìn)一步感受變量數(shù)學(xué)的思想方法。
教學(xué)重難點(diǎn)：
導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。導(dǎo)數(shù)的幾何意義
教學(xué)過程：
一、問題情境
1、情境：
某市2020年4月20日最高氣溫為33.4℃，而4月19日和4月18日的最高氣溫分別為24.4℃和18.6℃，短短兩天時(shí)間，氣溫陡增14.8℃，悶熱中的人們無不感
2、嘆：“天氣熱得太快了！”
時(shí)間
4月18日
4月19日
4月20日
日最高氣溫
18.6℃
24.4℃
33.4℃
該市2020年3月18日到4月18日的日最高氣溫變化曲線:
t(d)
20
30
34
2
10
20
30
A (1, 3.5)
B (32, 18.6)
0
C (34, 33.4)
T (℃)
2
10
問題1：你能說出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)所表示意義嗎？
問題2：分別計(jì)算AB、BC段溫差
結(jié)論：氣溫差不能反映氣溫變化的快慢程度
問題3：如何“量化”（數(shù)學(xué)化）曲線上升的陡峭程度
3、？
曲線AB、BC段幾乎成了“直線”， 由此聯(lián)想如何量化直線的傾斜程度？
(1)連結(jié)BC兩點(diǎn)的直線斜率為kBC=
二、建構(gòu)數(shù)學(xué)
一般地,函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為：
說明：
(1)平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線的陡峭程度是平均變化率的“視覺化”
(2)用平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應(yīng)注意當(dāng)x2—x1很小時(shí)，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”。
例1、某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖所示，試分別計(jì)算從出生到第3個(gè)月與第6個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率；由此你能得到什么結(jié)論？
4、
T(月)
W(kg)
6
3
9
12
3.5
6.5
8.6
11
(1)1kg/月
(2)0.4kg/月
結(jié)論：該嬰兒從出生到第3個(gè)月體重增加的速度比第6個(gè)月到第12個(gè)月體重增加的速度要快。
變式：甲、乙兩人跑步，路程與時(shí)間關(guān)系如圖1及百米賽跑路程與時(shí)間關(guān)系分別如圖2所示，試問：
（1）在這一段時(shí)間內(nèi)甲、乙兩人哪一個(gè)跑的較快？
（2）甲、乙兩人百米賽跑，問快到終點(diǎn)時(shí)，誰跑的較快？
圖1 圖2
例2、水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的體積 （單位：
5、 ）計(jì)算第一個(gè)10s內(nèi)V的平均變化率。
解:在區(qū)間[0,10]上，體積V的平均變化率為
注：負(fù)號表示容器甲中水在減少
變式1：
一底面半徑為r cm，高為h cm的倒立圓錐容器，若以n cm3/s的速率向容器里注水，求注水前t s容器里水的體積的平均變化率.
解：設(shè)注水ts時(shí)，容器里水的體積Vcm3
由題意知 V=nt ，在[0,t]內(nèi)容器里水的體積的平均變化率為:
由此可見當(dāng)t越來越大時(shí)，容器里水的體積的平均變化率保持不變。
例3、已知函數(shù) ，分別計(jì)算 在下列區(qū)間上的平均變化率：
（1）[1，3]；（3
6、）[1，1.1]；
（2）[1，2]；（4）[1，1.001]。
(1)函數(shù)f(x)在[1,3]上的平均變化率為4
(2)函數(shù)f(x)在[1,2]上的平均變化率為3
(3)函數(shù)f(x)在[1,1.1]上的平均變化率為2.1
(4)函數(shù)f(x)在[1,1.001]上的平均變化率為2.001
例3引申： 已知函數(shù)
問題(1)求函數(shù)在[1,a] (a>1)上的平均變化率；
(1)函數(shù)在[1,a] (a>1)上的平均變化率為a+1
問題(2)當(dāng)a趨近于1時(shí)，函數(shù)在[1,a] 上的平均變化率有何趨勢？
(2)當(dāng)a趨近于1時(shí)，函數(shù)在[1,a] 上的平均變化率趨近于2
求函數(shù)y = f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率的步驟：
小結(jié)：
問題1：本節(jié)課你學(xué)到了什么？
①函數(shù)的平均變化率的概念；
②利用平均變化率來分析解決實(shí)際問題
問題2、解決平均變化率問題需要注意什么？
① 分清所求平均變化率類型
(即什么對象的平均變化率)
② 兩種處理手段 ：
(1)看圖 (2)計(jì)算
問題3、本節(jié)課體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？
①數(shù)形結(jié)合的思想方法
②從特殊到一般、從具體到抽象的推理
方法
高二數(shù)學(xué)選修2 平均變化率
