湖北省光谷第二高級中學高三物理 難點1 打通追及相遇問題的綠色通道（通用）

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1、難點1 打通追及相遇問題的綠色通道 追及相遇問題是運動學中兩個運動對象的相對運動問題，因運動的對象有兩個，且相遇的位置和追及過程中所需的時間的不確定性，導致問題變得復雜化。高考計算題中經常出現追及相遇問題，例如2020年全國新課程卷的第一個計算題就是典型的追及相遇問題。問題中往往涉及到相遇的時間及位移，兩者的距離極值等問題。實際上追及相遇問題的兩大典型運動情景：①兩個均做勻變速直線運動；②一個做勻變速直線運動，另一個做勻速直線運動。解決此類問題時要分析兩個運動的特點，解題的方法上主要有兩種基本思想：如果運用物理方法解決，務必要抓住兩者速度相同時的這個關鍵時刻；如果運用數學方法來解決，需要建

2、立兩個對象的位移關系方程，通過解含有時間的一元二次方程，并對方程的根的理解確定符合條件的時間。 下面分別對兩類運動情景的典型例題來嘗試用不同方法解決追及相遇問題，并從這些方法中找到一條解決問題的綠色通道。 典型運動情境之一：兩個均做勻變速直線運動 【調研1】甲、乙兩車在同一直線軌道上同向行駛，甲車在前，速度為v1＝8m/s，乙車在后，速度為v2＝16m/s，當兩車相距s0＝8m時，甲車因故開始剎車，加速度大小為a1＝2m/s2，為避免相撞，乙車立即開始剎車，則乙車的加速度至少為多大？ 方法一：用運動學公式法來求解 兩車速度相同均為v時，設所用時間為t，乙車的加速度為a2，則 v1－

3、a1t＝v2－a2t t＝t－s0 解得t＝2s，a乙＝6m/s2 即t＝2s時刻，兩車恰好未相撞，顯然此后在停止運動前，甲的速度始終大于乙的速度，故可避免相撞。滿足題意的條件為乙車的加速度至少為6m/s2。 方法二：用速度時間圖象法來求解 v/m·s-1 t/s O 16 8 t 如圖所示，當速度相同時，陰影面積△s表示兩者位移之差，若△s≤s0，則不會相撞，由幾何關系可得△s＝＝s0，解得t＝2s，再由v1－a1t＝v2－a2t，解得a2＝6m/s2，故乙車的加速度大于6m/s2才能避免兩車相撞。 方法三：建立數學函數方程來求解 甲運動的位移s甲＝v1t－a1t2

4、，s乙＝v2t－a2t2，避免相撞的條件為：s乙－s甲＜s0，即(a2－a1)t2＋ (v1－v2)t＋s0＞0，代入數據有： (a2－2)t2－16t＋16＞0，不等式成立的條件是：△＝162－4×16(a2－2)＜0，故a2＞6m/s2。 方法四：巧妙運用相對運動來求解 兩者的相對速度為△v＝v1－v2＝－8m/s，相對位移△s＝s0＝8m，設相對加速度為△a＝a2－a1，經過時間t相遇，依題意有：△s＞△vt＋△at2， △at2－8t－8＜0，只要滿足△＝82－4×8×△a＜0，故△a＞4m/s2，a2＞6m/s2滿足題意。 【方法技巧】 （1）審題與建立方程的綠色通道：“抓住

5、一個條件，兩個關系”。一個條件是兩物體的速度滿足的臨界條件，如兩物體距離最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。兩個關系是時間關系和位移關系，通過畫草圖找兩物體的位移關系是解題的突破口。若被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意追上前該物體是否已經停止運動。仔細審題，充分挖掘題目中的隱含條件。 （2）架設數學與物理的綠色通道：“速度時間圖象工具的物理意義”。v－t圖象作為數學工具，實際上包含了物理運動學中的所有量?？梢灾庇^反映運動情況。比如速度的大小看縱坐標的絕對值，速度的方向看橫軸的上與下；加速度的大小看圖線的斜率絕對值，加速度的方向看圖線的切線的傾斜方向；位移的大小看圖線與坐標軸圍成的面積，位移

6、的方向看所圍成面積是橫軸上還是下；多個圖線的交點即速度相同處，解題時盡量將物理情景通過速度時間圖象直觀反映出來。 （3）運用公式法和圖象法的綠色通道：采用物理的圖象方法，關鍵點在于兩者速度相同時的臨界分析，我們可稱作“過了這個村就沒這個店了”，即兩者在速度相同時還未相遇，該處相交后必定出現速度的大小關系變化。例如速度相同時若還未追上，以后就不可能追上了。 【調研2】如圖所示，直線MN表示一條平直公路，甲、乙兩輛汽車分別停在A、B兩處，AB＝85m，現甲車開始以a1=2.5m/s2的加速度向右做勻加速直線運動，當甲車運動t0＝6s時，乙車開始以a2＝5m/s2的加速度向右做勻加速直線運動，求

7、兩車相遇處到A處的距離。 乙車 甲車 N M B A 【解析】甲車運動t0＝6s的位移為s0＝a1t02＝45m＜85m，尚未追上乙車。 設此后用時間t與乙車相遇，則a1(t0＋t)2＝a2t2＋AB 代入數據并整理得t2－12t＋32＝0 解得 t1＝4s t2＝8s （1）當t1＝4s時，甲車追上乙車，第一次相遇處到A的距離為s1＝a1(t0＋t)2＝125m （2）當t2＝8s時，乙車追上甲車，第二次相遇處到A的距離為s2＝a1(t0＋t2)2＝245m 【誤點警示】 本題中有兩個易錯點，一個是t0＝6s時刻是否已經相遇的判斷，為后續(xù)方程的建立提

8、供分析思路；第二個是方程的兩個根的物理意義的理解。追及相遇問題實際上就是要建立兩個位移間的函數方程△s＝s1－s2，而兩個位移s1和s2符合勻變速直線運動的公式，位移公式是關于t的一元二次方程，因此相遇問題轉化為關于t的函數方程中t是否有解及有幾個解，此解要求大于零，且符合物理情景。 典型運動情境之二：一個勻速運動，另一個勻變速運動 【調研3】甲乙兩運動員在訓練交接棒的過程中發(fā)現：甲經短距離加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙從起跑后到接棒前的運動是勻加速的。為了確定乙起跑的時機，需在接力區(qū)前適當的位置設置標記。在某次練習中，甲在接力區(qū)前S0=13.5m處作了標記，并以v=9m/s的速度

9、跑到此標記時向乙發(fā)出起跑口令。乙在接力區(qū)的前端聽口令時起跑，并恰好在速度達到與甲相同時被甲追上，完成交接棒。已知接力區(qū)的長度為L=20m。求：此次練習中乙在接棒前的加速度a。 【解析】畫出示意圖，如圖所示，設乙的加速度為a，從起跑到接棒的時間為t 解法一：利用平均速度求解 依題意甲、乙運動位移滿足：S甲＝S乙＋S0，即v甲t＝t＋S0 其中 ＝，且t＝S0 代入數據解得t＝3s 由v甲＝at，解得a＝3m/s2 解法二：判別式法求解 S甲＝S乙＋S0，即v甲t＝at2＋S0 移項得到：at2－v甲t＋S0＝0，其中S0＝13.5m，v甲＝9m/s。 在速度相等時相遇

10、，且只能相遇一次，故判別式△＝0（即t只有唯一解），可得a＝3m/s2 解法三：轉換參考系法求解 若以乙運動員為參考系，則甲運動員以加速度－a做勻減速直線運動，從相距S0再到達乙位置，甲到達乙位置時速度為零。 根據勻變速運動規(guī)律：－2aS0＝0－v02，代入數據解得a＝3m/s2。 【學法指導】 本題是大家在學校運動會中熟悉的接力賽情景。通過示意圖將情景轉換為物理模型，從而找到位移關聯關系，列方程求解。但在具體列方程的過程中，考慮到運動學公式的靈活性與多變性，位移的表達式可以用平均速度與時間的乘積公式、位移時間公式表達、位移速度公式，甚至相對參考系的方法。具體方法可參照三種方法進行認

11、真體會，達到觸類旁通，舉一反三的效果。 【調研4】一輛摩托車能達到的最大速度為vm＝30m/s，要想在3min內由靜止起沿一條平直公路追上前面s0＝1000m處正以v＝20m/s的速度勻速行駛的汽車，則摩托車必須以多大的加速度啟動？（保留兩位有效數字） 甲同學的解法是：設摩托車恰好在t＝3min＝180s時追上汽車，則 at2＝vt＋s0，代入數據得 a＝0.28m/s2。 乙同學的解法是：設摩托車追上汽車時，摩托車的速度恰好是vm＝30m/s，則vm2＝2as＝2a(vt＋s0)，代入數據得a＝0.1m/s2。你認為他們的解法正確嗎？若錯誤，請說明理由，并寫出正確的解法. 【解析】

12、甲錯，因為摩托車運動t＝180s時，速度為v1＝at＝0.28×180m/s＝50.4m/s＞vm＝30m/s。 乙錯，因為摩托車以0.1m/s2的加速度運動達到速度vm＝30m/s，運動的時間 t＝＝s=300s＞180s。 正確解法：設摩托車達到最大速度用時t1，則vm＝at1 運動位移為 s1＝at12 設摩托車在t＝180s時恰好追上汽車,則此后摩托車運動位移 s2＝vm(t－t1) 汽車在t時間內運動位移：s＝vt 依題意：s1＋s2＝s0＋s 代入數據解得 a＝0.56m/s2。 故甲、乙都不正確，摩托車必須至少以0.56m/s2的加速度啟動。 【誤點警示】

13、本題的追及相遇問題中出現了最大速度vm＝30m/s的條件限制、3min時間內追上的限制以及兩者之間初始距離s0＝1000m的限制。因此在以某一個條件建立方程式時要顧及到另外兩個限制條件是否滿足。否則會出現題干中甲、 乙兩位同學的錯誤。 T t v O Q 甲 乙 P 【拓展訓練】 1、甲乙兩車在一平直道路上同向運動，其v－t圖象如圖所示，圖中△OPQ和△OQT的面積分別為x1和x2（x2＞x1）。初始時，甲車在乙車前方x0處，則（ ） A．若x0＝x1＋x2，兩車不會相遇 B．若x0＜x1，兩車相遇2次 C．若x0＝x1，兩車相遇1次 D．若x0＝x2，兩車相遇

14、1次 【解析】由圖線與坐標軸圍成的面積表示運動的位移，可知T時刻甲乙速度相同，甲運動的位移S甲＝x2，乙運動的位移S乙＝x1＋x2，甲乙運動的位移差為△S＝S乙－S甲＝x1。此后甲的速度將大于乙的速度，若x0＝△S＝x1，說明乙剛好追上甲，此后又落后于甲，即只能相遇一次，C對；若x0＞△S＝x1，說明乙還未追上甲，且此后乙也不可能追上甲，即不可能相遇，A選項中x0＝x1＋x2符合，故A對；而D選項x0＝x2＞x1，也符合，故D錯；若x0＜△S＝x1，說明乙已經追上甲，且此后由于甲的速度較大，會再次與乙相遇，即相遇兩次，B對。 【答案】ABC 2、車從靜止開始以a＝1m/s2的加速度前進，

15、車后相距s0＝25m處，某人同時開始以v0＝6m/s的速度勻速追車，能否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。 【解析】用運動學公式法來求解 討論人與車速度相同時，人是否追上車。 對車：運動位移s車＝＝18m 對人：運動位移s人＝v0t＝36m 由于△s＝s人－s車＝18m＜s0＝25m，且此后車的速度大于人的速度，故人不能追上。 t＝6s時，人與車相距最近，△sm＝s0－△s＝7m。 請自行嘗試用其它方法來求解本題。 3、如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面頂端有一質點A由靜止開始自由下滑，同時另一質點B由靜止開始從斜面底端向左以恒定加速度a沿光滑水平面運動，A滑下后能沿斜面底部的光滑小圓弧平穩(wěn)地朝B追去，為使A能追上B，B的加速度最大值是多少？ 【解析】：質點A先在斜面上由靜止開始做勻加速運動，到B點后在水平面上做勻速直線運動；質點B由靜止開始從斜面底端向左以恒定加速度a沿光滑水平面運動，運動時間相同。 設經過時間t質點A在某點追上質點B，則有：xA－LAB＝xB ，且vA＝vB 質點A在斜面上運動的加速度aA＝gsinθ，設到B點的速度大小為vA，運動時間為t1＝＝。 故vA(t－)＝at2，vA＝at ，聯立解得：a＝gsinθ。