數(shù)學第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第25練 空間中的平行與垂直 文

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1、第二篇熟練規(guī)范中檔大題保高分第25練空間中的平行與垂直明考情高考中對直線和平面的平行、垂直關(guān)系交匯綜合命題，多以棱柱、棱錐、棱臺或簡單組合體為載體進行考查，難度中檔偏下.知考向1.空間中的平行關(guān)系.2.空間中的垂直關(guān)系.3.平行和垂直的綜合應用.研透考點核心考點突破練欄目索引規(guī)范解答模板答題規(guī)范練研透考點核心考點突破練考點一空間中的平行關(guān)系方法技巧方法技巧(1)平行關(guān)系的基礎是線線平行，比較常見的是利用三角形中位線構(gòu)造平行關(guān)系，利用平行四邊形構(gòu)造平行關(guān)系.(2)證明過程中要嚴格遵循定理中的條件，注意推證的嚴謹性.1.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM

2、DN，求證：MN平面AA1B1B.證明1234證明證明如圖所示， 作MEBC交BB1于點E， 作NFAD交AB于點F， 連接EF，則EF平面AA1B1B.MEBC，NFAD，在正方體ABCDA1B1C1D1中，CMDN，B1MNB.又BCAD，MENF.12341234又MEBCADNF，四邊形MEFN為平行四邊形，MNEF.又EF平面AA1B1B，MN 平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.2.(2017全國)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)證明：平面PAB平面PAD；1234證明證明證明由已知BAPCDP90，得ABPA，CDPD.由于ABCD，故ABPD

3、，從而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱錐PABCD的體積為 ，求該四棱錐的側(cè)面積.1234解答解解如圖，在平面PAD內(nèi)作PEAD，垂足為E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，所以PE平面ABCD.可得四棱錐PABCD的側(cè)面積為12343.(2017龍巖市新羅區(qū)校級模擬)如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，C為底面圓周上一點.(1)若弧BC的中點為D，求證：AC平面POD；1234證明證明證明方法一方法一設BCODE，D是弧BC的中點，E是BC的中點.又O是AB的中點，ACOE.又

4、AC 平面POD，OE平面POD，AC平面POD.方法二方法二AB是底面圓的直徑，ACBC.弧BC的中點為D，ODBC.又AC，OD共面，ACOD.又AC 平面POD，OD平面POD，AC平面POD.12341234(2)如果PAB的面積是9，求此圓錐的表面積.解答解解設圓錐底面半徑為r，高為h，母線長為l，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，4.如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，ABCD，且AB2CD，在棱AB上是否存在一點F，使平面C1CF平面ADD1A1？若存在，求點F的位置；若不存在？請說明理由.1234解答解解存在這樣的點F，使平面C1CF平面ADD

5、1A1，此時點F為AB的中點，證明如下：ABCD，AB2CD，AF綊CD，四邊形AFCD是平行四邊形，ADCF.又AD平面ADD1A1，CF 平面ADD1A1，CF平面ADD1A1.又CC1DD1，CC1 平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1，CC1平面ADD1A1.又CC1，CF平面C1CF，CC1CFC，平面C1CF平面ADD1A1.1234考點二空間中的垂直關(guān)系方法技巧方法技巧判定直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直定義.(2)利用線面垂直的判定定理，一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則這條直線與平面垂直.(3)利用線面垂直的性質(zhì)，兩平行線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于

6、這個平面.(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理，兩平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面.5.如圖所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點.求證：(1)AF平面BCE；5678證明證明證明如圖，取CE的中點G，連接FG，BG.5678AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.四邊形GFAB為平行四邊形，AFBG.AF 平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)平面BCE平面CDE.證明證明ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF

7、，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.5678證明6.(2017全國)如圖，在四面體ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)證明：ACBD；5678證明證明如圖，取AC的中點O，連接DO，BO.因為ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.又DOOBO，所以AC平面DOB，故ACBD.證明5678解答(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AEEC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.解解連接EO.由(1)及題設知ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO

8、2AB2BD2，故DOB90.即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為11.56787.(2017南京一模)如圖，在六面體ABCDE中，平面DBC平面ABC，AE平面ABC.(1)求證：AE平面DBC；證明證明過點D作DOBC，O為垂足.平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABCBC，DO平面DBC，DO平面ABC.又AE平面ABC，則AEDO.又AE 平面DBC， DO平面DBC， 故AE平面DBC.5678證明(2)若ABBC，BDCD，求證：ADDC.證明證明由(1)知，DO平面ABC，AB平面ABC，DOAB.又ABBC， 且DOBCO， DO， BC平面DBC，AB平面DBC.D

9、C平面DBC，ABDC.又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD，則DC平面ABD.又AD平面ABD，故可得ADDC.5678證明8.已知四棱錐SABCD的底面ABCD為正方形， 頂點S在底面ABCD上的射影為其中心O， 高為 ， 設E， F分別為AB， SC的中點， 且SE2， M為CD邊上的點.(1)求證：EF平面SAD；證明證明取SB的中點P，連接PF，PE.F為SC的中點，PFBC，又底面ABCD為正方形，BCAD，即PFAD，又PESA，平面PFE平面SAD.EF平面PFE，EF平面SAD.5678證明解答5678(2)試確定點M的位置，使得平面EFM底面ABCD.解解連接AC，

10、AC的中點即為點O，連接SO，由題意知SO平面ABCD，取OC的中點H，連接FH，則FHSO，F(xiàn)H平面ABCD，平面EFH平面ABCD，連接EH并延長，則EH與DC的交點即為M點.OE1，AB2，AE1，5678考點三平行和垂直的綜合應用方法技巧方法技巧空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.91011129.如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點.求證：(1)直線EF平面PCD；證明證明在PAD中，E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，EFPD.又EF 平面PCD，PD

11、平面PCD，直線EF平面PCD.證明(2)平面BEF平面PAD.證明證明如圖，連接BD.ABAD，BAD60，ADB為正三角形.F是AD的中點，BFAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BF平面ABCD，BF平面PAD.又BF平面BEF，平面BEF平面PAD.9101112證明10.(2017山東)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E平面ABCD.(1)證明：A1O平面B1CD1；證明證明取B1D1的中點O1， 連接CO1， A1O1，由于ABCDA1B1C1D1

12、是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1，A1O 平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.9101112證明(2)設M是OD的中點，證明：平面A1EM平面B1CD1.證明證明因為ACBD， E， M分別為AD和OD的中點，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD.因為B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1.又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM.又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.9101112證明910111211.(2017漢

13、中二模)如圖，在棱長均為4的三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分別是BC和B1C1的中點.(1)求證：A1D1平面AB1D；證明證明證明連接DD1，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分別是BC和B1C1的中點，B1D1BD，且B1D1BD，四邊形B1BDD1為平行四邊形，BB1DD1，且BB1DD1.又AA1BB1，AA1BB1，AA1DD1，AA1DD1，四邊形AA1D1D為平行四邊形，A1D1AD.又A1D1 平面AB1D，AD平面AB1D，A1D1平面AB1D.9101112(2)若平面ABC平面BCC1B1，B1BC60，求三棱錐B1ABC的體積.解解在ABC中， 邊長均為4，

14、則ABAC， D為BC的中點，ADBC.平面ABC平面B1C1CB， 交線為BC， AD平面ABC，AD平面B1C1CB，即AD是三棱錐AB1BC的高.在B1BC中，B1BBC4，B1BC60，9101112解答12.如圖，在四棱錐SABCD中，平面SAD平面ABCD.四邊形ABCD為正方形，且P為AD的中點，Q為SB的中點.(1)求證：CD平面SAD；9101112證明證明證明四邊形ABCD為正方形，CDAD.又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，CD平面SAD.(2)求證：PQ平面SCD；證明證明取SC的中點R，連接QR，DR.在SBC中，Q為SB的中點

15、，R為SC的中點，QRPD且QRPD，則四邊形PDRQ為平行四邊形，PQDR.又PQ 平面SCD，DR平面SCD，PQ平面SCD.9101112證明(3)若SASD，M為BC的中點，在棱SC上是否存在點N，使得平面DMN平面ABCD？并證明你的結(jié)論.9101112解答解解存在點N為SC的中點，使得平面DMN平面ABCD.連接PC，DM交于點O，連接PM，SP，NM，ND，NO，PDCM，且PDCM，四邊形PMCD為平行四邊形，POCO.又N為SC的中點，NOSP.易知SPAD.平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，且SPAD，SP平面ABCD，NO平面ABCD.又NO平面DMN，

16、平面DMN平面ABCD.9101112規(guī)范解答模板答題規(guī)范練例例(12分)如圖， 四棱錐PABCD的底面為正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，PAAD，點E，F(xiàn)，H分別為AB，PC，BC的中點.(1)求證：EF平面PAD；(2)求證：平面PAH平面DEF.模板體驗審題路線圖審題路線圖規(guī)范解答規(guī)范解答評分標準評分標準證明證明(1)取PD的中點M，連接FM，AM.在PCD中，F(xiàn)，M分別為PC，PD的中點，AEFM且AEFM，則四邊形AEFM為平行四邊形，AMEF.4分又EF 平面PAD，AM平面PAD，EF平面PAD.6分(2)側(cè)面PAD底面ABCD，PAAD，側(cè)面PAD底面ABCDAD，PA底面AB

17、CD.DE底面ABCD，DEPA.E，H分別為正方形ABCD邊AB，BC的中點，RtABHRtDAE，則BAHADE，BAHAED90，則DEAH.8分PA平面PAH，AH平面PAH，PAAHA，DE平面PAH.10分DE平面DEF，平面PAH平面DEF.12分構(gòu)建答題模板構(gòu)建答題模板第一步找線線找線線：通過三角形或四邊形的中位線，平行四邊形、等腰三角形的中線或線面、面面關(guān)系的性質(zhì)尋找線線平行或線線垂直.第二步找線面找線面：通過線線垂直或平行，利用判定定理，找線面垂直或平行；也可由面面關(guān)系的性質(zhì)找線面垂直或平行.第三步找面面找面面：通過面面關(guān)系的判定定理，尋找面面垂直或平行.第四步寫步驟寫步驟

18、：嚴格按照定理中的條件規(guī)范書寫解題步驟.1.如圖，在空間四面體ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BD，CD，AC的中點.(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；規(guī)范演練證明證明在空間四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BD，CD，AC的中點，EF綊GH，四邊形EFGH是平行四邊形.12345證明(2)求證：BC平面EFGH.證明證明E，H分別是AB，AC的中點，EHBC.EH平面EFGH，BC 平面EFGH，BC平面EFGH.12345證明2.(2017北京)如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點.(1)求證

19、：PABD；證明證明因為PAAB，PABC，所以PA平面ABC.又因為BD平面ABC，所以PABD.12345證明(2)求證：平面BDE平面PAC；證明證明因為ABBC，D是AC的中點，所以BDAC.由(1)知，PABD，所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.12345證明(3)當PA平面BDE時，求三棱錐EBCD的體積.解解因為PA平面BDE， 平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因為D為AC的中點，12345解答由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC，12345解答3.(2017北京海淀區(qū)模擬)如圖， 四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD， 且

20、PA2， E是側(cè)棱PA上的動點.(1)求四棱錐PABCD的體積；解解PA底面ABCD，PA為此四棱錐底面上的高.12345(2)如果E是PA的中點，求證：PC平面BDE；證明證明連接AC交BD于點O，連接OE.四邊形ABCD是正方形，AOOC.又AEEP，OEPC.又PC 平面BDE，OE平面BDE，PC平面BDE.證明(3)是否不論點E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BDCE？證明你的結(jié)論.解解不論點E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BDCE.證明：四邊形ABCD是正方形，BDAC.PA底面ABCD，BD平面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC.CE平面PAC，BDCE.12345解答4.如

21、圖， 已知正方形ABCD的邊長為2， AC與BD交于點O， 將正方形ABCD沿對角線BD折起， 得到三棱錐ABCD.(1)求證：平面AOC平面BCD；12345證明證明證明四邊形ABCD是正方形，BDAO，BDCO.折起后仍有BDAO，BDCO，AOCOO，BD平面AOC.BD平面BCD，平面AOC平面BCD.12345解答解解由(1)知BD平面AOC，又AOC是鈍角，AOC120.在AOC中，由余弦定理，得AC2OA2OC22OAOCcosAOC123455.(2016四川)如圖，在四棱錐PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCD AD.(1)在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直

22、線CM平面PAB，并說明理由；12345解答解解取棱AD的中點M(M平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下：因為ADBC，BC AD，所以BCAM，且BCAM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM 平面PAB，所以CM平面PAB.(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)1234512345證明(2)求證：平面PAB平面PBD.證明證明由已知，PAAB，PACD.所以PA平面ABCD.所以PABD.所以BCMD，且BCMD.所以四邊形BCDM是平行四邊形，又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.12345