2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第六講 轉(zhuǎn)化—可化為一元二次方程的方程

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1、2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座第六講轉(zhuǎn)化一可化為一元 二次方程的方程 數(shù)學(xué)(家)特有的思維方式是什么?若從量的方面考慮，通常運用符號進行形式化抽象，在一個概念和公理體系內(nèi)實施推理計算，若從“轉(zhuǎn)化”這個側(cè)面又該如何回答?匈牙利女數(shù)學(xué)家路莎?彼得在《無窮的玩藝》一書中寫道：“作為數(shù)學(xué)家的思維來說是很典型的，他們往往不對問題進行正面攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題．” 轉(zhuǎn)化與化歸是解分式方程和高次方程(次數(shù)高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通過去分母和換元；解高次方程，利用因式分解和換元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程或一元一次方程去求解． 【例題求解】

2、 【例1】若2x2-5x+--5=0，貝y的值為. 2x2—5x+1 思路點撥視為整體，令，用換元法求出即可． 【例2】若方程有兩個不相等的實數(shù)根，貝實數(shù)的取值范圍是() A．B．C．D． 思路點撥通過平方有理化，將無理方程根的個數(shù)討論轉(zhuǎn)化為一元二次方程實根個數(shù)的討論，但需注意注的隱含制約． 注：轉(zhuǎn)化與化歸是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解數(shù)學(xué)題中，我們常常用到下列不同途徑的轉(zhuǎn)化：實際問題轉(zhuǎn)化大為數(shù)學(xué)問題，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，常量與變量的轉(zhuǎn)化，一般與特殊的轉(zhuǎn)化等． 解下列方程： (1)x2+3x+蘭土4=耳; 2x2+2x—83x2+9x12 (2) ； (3)． 按照常規(guī)

3、思路求解繁難，應(yīng)恰當轉(zhuǎn)化，對于(1)，利用倒數(shù)關(guān)系換元；對于(2)，從受到啟示；對于(3)，設(shè)，貝可導(dǎo)出、的結(jié)果． 注：換元是建立在觀察基礎(chǔ)上的，換元不拘泥于一元代換，可根據(jù)問題的特點，進行多元代換． 【例4】若關(guān)于的方程只有一個解(相等的解也算作一個)，試求的值與方程的解． 思路點撥先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論，“只有一個解”內(nèi)涵豐富，在全面分析的基礎(chǔ)上求出的值． 注：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價轉(zhuǎn)化，有可能產(chǎn)生增根，分式方程只有一個解可能足轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個解，也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個解，而其中一個是原方程的增根，故分

4、式方程的解的討論，要運用判別式、增根等知識全面分析．【例5】已知關(guān)于的方程有兩個根相等，求的值． 思路點撥通過換元可得到兩個關(guān)于的含參數(shù)的一元二次方程，利用判別式求出的值． 注：運用根的判別式延伸到分式方程、高次方程根的情況的探討，是近年中考、競賽中一類新題型，盡管這種探討仍以一元二次方程的根為基礎(chǔ)，但對轉(zhuǎn)換能力、思維周密提出了較高要求． 學(xué)歷訓(xùn)練 1?若關(guān)于的方程有增根，則的值為;若關(guān)于的方程曾=一1的解為正數(shù)，則的取值 范圍是 2. 解方程++++=得. x(x一1)x(x+1)(x+1)(x+2)(x+9)(x+10)12 3. 已知方程有一個根是2,貝4. 4. 方程

5、的全體實數(shù)根的積為() A.60B.一60C.10D.—10 5．解關(guān)于的方程不會產(chǎn)生增根，則是的值是() A.2B.1C.不為2或一2D.無法確定 6．已知實數(shù)滿足，那么的值為() A.1或一2B.一1或2C.1D.一2 7.(1)如表，方程1、方程2、方程3、，是按照一定規(guī)律排列的一列方程，解方程1, 并將它的解填在表中的空格處； (2)若方程()的解是=6，=10，求、的值．該方程是不是(1)中所給的一列方程中的一個方程?如果是，它是第幾個方程? (3) 請寫出這列方程中的第個方程和它的解，并驗證所寫出的解適合第個方程． 序號 方程 方程的解 1 =

6、 2 =4 =6 3 =5 =8 ??? ??? ??? ??? 8．解下列方程 (1)； (2)111c x2+11x—8x2+2x—8x2—13x—8⑶(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120； (4) ． 9.已知關(guān)于的方程，其中為實數(shù)，當m為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根?求出這三個實數(shù)根． 10.方程的解是. 11.解方程+++=得. x2+xx2+3x+2x2+5x+6x2+7x+1221 12.方程的解是. 13.若關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍. 14?解下列方程： (1)； (2) (x

7、2+3x-4)2+(2x2-7x+6)2=(3x2-4x+2)2； (3) ； (4)． 15．當取何值時，方程有負數(shù)解? 16．已知，求的值． 17.已知：如圖，四邊形ABCD為菱形，AF丄上AD交BD于E點，交BC于點F. ⑴求證：AD2=DEXDB； (2)過點E作EG丄AE交AB于點G,若線段BE、DE(BE〈DE)的長為方程(m>0)的兩個根，且菱形ABCD的面積為，求EG的長. 參考答案 ⑥轉(zhuǎn)化一可化為一元二次方程的方程 【例題求解】 例10或2設(shè)2+—5乂=$,則）+占丁_5=o.解得y=l,y=3. 例2選C4＞0且也+孔＜0、4比＞0 （2）（工

8、$十3才一4F+（2丁2—7；t+6）2=［（工？+3?r—4）+（2卡一7z+6）了，解得X）=*-4?x2=1?x3=2,x4=- 例3（1）設(shè)壬壬=〃則原方程化為=解得4=_1,工2=_4,松4=§士 才+4oy1ZL （2）設(shè)1999一工=a,工一1998=5,1999—丁+文一1998=1,則原方程疋+夕=（q+方尸，得肋=0,即（1999一工）（工一1998）=0??°?孫=1999，吐=1998? （3）設(shè)，=￥看，則心（工+丿）=42?又心+（丁+，）=牢芋+￥￥=13????乙八工+y是方程T—13r+42=0的兩 （z+y=7?（工+y=6,—— 根?解得"

9、=6,?=7,即或｛，進而可得：孫二1,工2=6,及=3+血5=3—施? \xy—6\xy=l 例4原方程化為滋2_3力+2文一1=0（海） （1）當怡=0時?原方程有惟一解2=寺、 （2）當&H0時，方程（※丿厶=5段+44—1）2>0,總冇兩個不同的實數(shù)根，山題意知必有一個根是原方程的增根，從原方程知增根只能是0或1,顯然0不是（※丿的根，故工=1,得忑=*? 例5設(shè)欠+予=〃則》'一5》+6=0,解得，1=2,加=3 ?\x2—2.r+a=0①°jr2—3j-+a=0② 若①有兩個相等的實根，則△】=4一也=0,得4=1;若②有兩個相等的實根?則A，-9-4a=0,得a2=

10、y,若①、②冇 q 公共根，則，一27+“=^一3工+4,得工=0.不合題意，舍去，故a=l或才. 【學(xué)力訓(xùn)練】 解得工嚴二9專/化嚴-土遊' 1.—l；a<2且2?方程中每個分式可分拆變形，得占一#^=吉 3.加=一14.A5.C6.A7.（1）4=3山2=4$ （2）°=6+2血"=6—2血,原方程為吐蟲+_=1,不是表列的系列方程中的一個； x工一（6—2J2） （3）第n個方程為25土藝=1（并為自然數(shù)），解得孫=刃+2口2=25+1）. JTJC—（W~r1） c八、才？+工+1.（工？+幺+1）+云+1_19I2+jr+11、l*+1一19—1一一3士島 8

11、-（1）〒—PT7T1=石，”+］十1+卡+二+］=石'4=1'去,3=—j—； （2）設(shè)jt2+2x—8—>,解得j?=9jt或，=一5工，進而得初=8,工2=—1，□=—8,g=1 （3）0,此時方程②有兩個相等實根工=一1,方程①有兩個不等實根，工=一1士妊 10?―號血11.4=3???？=—

12、712.工=—# 13?“工0或口=一尋?注意（目嚴，原方程有兩相等實根或兩負數(shù)實根. 95 14?（1）（6匸十7），（6乂+8）（6/十6）=72,解得4=一韋? ⑶［「薛J+2*壬=3,即（召）'+2.壬=3.解得叫=呼. （4）勸=*,j；z=—#. 15.原方程去分母整理"得2^-6x+3-?=O① （1）當方程①的兩個解j；i，可都是負數(shù)時，?.?勸十蒼=3,.'.方程①不存在兩個負數(shù)解. （2）方程①的兩個解心，比中有一個解是負數(shù)時，可得，即|12+80,0解得 Ijc\xi<0\3—a<0, TQ—2）（_r+l）HO,.：zM：2R￡工一1,即ciH—1且a云11.故當a>3且aHll時，原方程有一個負數(shù)解， 16?方程中各項系數(shù)關(guān)于中間項對稱，工H0,在方程兩邊同除以尹得（分十寺）一5G+手）十8=0,即G+W『一5（工+片）+6=0?解得x+—=2或z十—=3. 17.（1）連AC,交ED于Hd正明△EADmAAHD. (2)DE=27n,BE=zM,BD=3加 BE_1 BD~T =又DH=4-BD—斗加9AD=7Tw,^3mz=^+~?n2”=2,EG=哼加=馬^? m匕厶nr433