2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十二講 方程與函數(shù)

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1、2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座第十二講方程與函數(shù) 方程思想是指在解決問題時，通過等量關(guān)系將已知與未知聯(lián)系起來，建立方程或方程組，然后運用方程的知識使問題得以解決的方法；函數(shù)描述了自然界中量與量之間的依存關(guān)系，函數(shù)思想的實質(zhì)是剔除問題的非本質(zhì)特征，用聯(lián)系和變化的觀點研究問題．轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系去解決． 方程與函數(shù)聯(lián)系密切，我們可以用方程思想解決函數(shù)問題，也可以用函數(shù)思想討論方程問題，在確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)、函數(shù)圖象與坐標軸的交點、函數(shù)圖象的交點等問題時，常將問題轉(zhuǎn)化為解方程或方程組；而在討論方程、方程組的解的個數(shù)、解的分布情況等問題時，借助函數(shù)圖象能獲得直觀簡捷的解答． 【例

2、題求解】 【例1】若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)m的取值范圍. 思路點撥可以利用絕對值知識討論，也可以用函數(shù)思想探討：作函數(shù)，函數(shù)圖象，原方程有解，即兩函數(shù)圖象有交點，依此確定m的取值范圍. 【例2】設關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，，且＜1＜，那么取值范圍是() A．B．C．D． 思路點撥因根的表達式復雜，故把原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決，即求對應的二次函數(shù)與軸的交點滿足＜1＜的的值，注意判別式的隱含制約． 【例3】已知拋物線()與軸交于兩點A(,0),B(,0)(工). (1) 求的取值范圍，并證明A、B兩點都在原點0的左側(cè)； (2) 若拋物線與軸交于點C,且0A+0B=0C一

3、2,求的值. 思路點撥、是方程的兩個不等實根，于是二次函數(shù)問題就可以轉(zhuǎn)化為二次方程問題加以解決，利用判別式，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的切入點． 【例4】拋物線y=1x2-2(m+5)x+2(m+1)與軸的正半軸交于點C,與軸交于A、B兩點,并且點B在A的右邊，AABC的面積是A0AC面積的3倍. (1) 求這條拋物線的解析式； (2) 判斷△0BC與厶0CA是否相似，并說明理由. 思路點撥綜合運用判別式、根與系數(shù)關(guān)系等知識,可判定對應方程根的符號特征、兩實根 的關(guān)系，這是解本例的關(guān)鍵?對于(1),建立關(guān)于m的等式，求出m的值；對于(2)依m(xù)的值 分類討論． 【例5】已知拋物線上有一

4、點M(,)位于軸下方. (1) 求證：此拋物線與軸交于兩點； (2) 設此拋物線與軸的交點為A(,0),B(,0),且〈，求證：〈〈. 思路點撥對于(1),即要證；對于(2),即要證． 注：(1)拋物線與軸交點問題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的個數(shù)、根的符號特征、根的關(guān)系來探討需綜合運用判別式、韋達定理等知識． (2) 對較復雜的二次方程實根分布問題,常轉(zhuǎn)化為用函數(shù)的觀點來討論,基本步驟是：在直角坐標系中作出對應函數(shù)圖象,由確定函數(shù)圖象大致位置的約束條件建立不等式組． (3) 一個關(guān)于二次函數(shù)圖象的命題：已知二次函數(shù)()的圖象與軸交于A(，0)，B(， 0)兩點，頂點為C. ① AABC

5、是直角三角形的充要條件是：△=. ② 厶ABC是等邊三角形的充要條件是：△= 學歷訓練 1.已知關(guān)于的函數(shù)y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的圖象與軸有交點，則m的取值范圍是. 2. 已知拋物線與軸交于A(，0)，B(，0)兩點，且，則. 3. 已知二次函數(shù)y=kx2+(2k—l)x—1與x軸交點的橫坐標為x'xjxj，則對于下列結(jié)論：①當x=—2時，y=l；②當x>x，時，y〉0；③方程kx2+l(2k—l)x—1=0有兩個不相等的實數(shù)根X］、xj④X］〈一1,x/—1；⑤X2—X］二，其中所有正確的結(jié)論(只需填寫 序號).121221 4. 設函數(shù)的圖象如圖所示，它與

6、軸交于A、B兩點，且線段0A與0B的長的比為1：4,則=(). A.8B.—4C.1lD.—4或11 5. 已知：二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸相交于A(X],O)、Bg0)兩點，其頂點坐標為P(—,),AB=|x—x|,若=1,則b與c的關(guān)系式是() 12△APB A.b2—4c+1=0B.b2—4c—1=0 C.b2—4c+4=0D.b2—4c—4=0 6. 已知方程有一個負根而且沒有正根，那么的取值范圍是() A.>-1B.=1C.21D.非上述答案 7. 已知在平面直角坐標系內(nèi)，0為坐標原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側(cè)，如圖，二次函數(shù)y=ax2+

7、bx+c(aMO)的圖象經(jīng)過點A、B,與y軸相交于點C. (1) a、c的符號之間有何關(guān)系？ (2) 如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證a、c互為倒數(shù)； (3) 在(2)的條件下，如果b=—4，AB=4，求a、c的值. 八g (第7題) 8. 已知：拋物線過點A(一1，4)，其頂點的橫坐標為，與軸分別交于B(X],O)、C(x2，0)兩點(其中且<)，且. (1) 求此拋物線的解析式及頂點E的坐標； (2) 設此拋物線與軸交于D點，點M是拋物線上的點，若厶MBO的面積DOC面積的倍，求點M的坐標. 9. 已知拋物線交x軸于A(，0)、B(，0)，交y軸于C

8、點，且V0V. ， (1)求拋物線的解析式； (2)在x軸的下方是否存在著拋物線上的點P,使ZAPB為銳角，若存在，求出P點的橫坐標的范圍；若不存在，請說明理由. 10. 設是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，貝匸. 11. 函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù). 12. 已知、為拋物線與軸交點的橫坐標,，則的值為. 13. 是否存在這樣的實數(shù)，使得二次方程有兩個實數(shù)根，且兩根都在2與4之間?如果有，試確定的取值范圍；如果沒有，試述理由． 14．設拋物線的圖象與軸只有一個交點． (1)求的值； (2)求的值． 15．已知以為自變量的二次函數(shù)，該二次函數(shù)圖象與軸的兩個交點的橫坐標

9、的差的平方等于 關(guān)于的方程x2-(7n+6)x+2(n+1)(n+4)=0的一整數(shù)根，求的值. 16. 已知二次函數(shù)的圖象開口向上且不過原點0,頂點坐標為(1,一2),與軸交于點A,B,與y軸交于點C,且滿足關(guān)系式. (1) 求二次函數(shù)的解析式； (2) 求厶ABC的面積. 17. 設是實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點A(,0)、B(,0). (1)求證：； ⑵若A、B兩點之間的距離不超過，求P的最大值. 參考答案 圜方程與函數(shù) 【例題求解】 與y=mx圖象，原方程有解.即兩圖象冇交點，由圖象知巾20或〃<一1. 選DaHO,記丿=++(1+手&+9,則這個拋物

10、線開口向上，因X!<10,得a<-^-且aHO； 21 Va^O,Aj-j?j2=a2>0?而寸十形=_(1_2a)=2a_]V才_1=_丁<0, ?*.X1,X2必同為負數(shù)，即點A(T|?O),B(XZ,0〉都在原點的左側(cè)? (2)由OA+OB=OC~2,得一Xi—X2=a2—2,即a2+2a—3=0,解得a=—3. 例4(1)設Ad,0),8(_12,0)山=4(加十尋『>0,(?(0,2加+2)是，軸正半軸上的點，則2皿+2>0,即m>~l,又

11、 >0,X]jt2=4?(w+l)>0,Aj72>Xi>0,由S^abc=3SAcmc得SaobcuASmhc， 工2=4q,由根與系數(shù)關(guān)系可得/嚴0,加2=—||， 對應的拋物線的解析式為嚴寺宀尋工+彳曠寺嚴一尋工+石, ⑵當m=0時‘△AOCsACOB；當耐=一||時，△AOC與△COB不相似? 例5⑴必=擰+皿+9=(口+號)2_牛<。,則￥>仏+號)亠0,有卄佃>0,即拋物線"軸交于応 (2)r+上2=—P5曲=g代入心'+pin+g=y<>Vo有：乂肆一(廠+乜MoV0,(竝—zi)(工。—花)V0,故t\ 【學力訓練】 1.一^2.23.①③④4.C5.D6.C

12、7.(l)a>0,c>0或a<0,c<0； (2)設A(g,0)‘BQ?，0),則0Vg<業(yè)..，.OA=x1，OB=x2,OC=id.由OA?OB^OC2,得ac=l； &⑴b—~2,a JL丄P (2)設A(xi,0).8(衛(wèi)，0)口1乜=疔"=_1<0,.?.j1<0,X2>0,OA=-Ti,OB=x2,OC=|c|=|a|，由麗+面二疋仔 ]64> 莊'即a?[臣一4X(-1)]=16,解得a=±5/T,c=干“,故嚴箱卡—2/-苗或y= —品去—2jt4-5/3"1 ⑶若存在滿足條件的拋物線，則OA=OB,即一Q=x2,x,+x2=0,-y=0,即6=0與⑴6=2矛盾，故不存在滿足條件的拋物線. (Dm=l,y=yxz--^j—2,(2)存在這樣的P點其橫坐為使ZAPB為銳角,AC-1,0),5(4,0),C(0,2),AB2+BC^AC^.^ABC為直角三角形，過A、B、C三點作OO】.則AB為的直徑，C點關(guān)于直線_r=今對稱點M是?與拋物線的另一交點,M(3,-2),O0 10?由題索，得 亠“亠，耳3oQ1Q [^3X(^-)2+mX弓—2>0> 12?a+b當x=c時?，=—