2019-2020年初中數(shù)學競賽輔導 第五十講《生活中的數(shù)學(三)——鏡子中的世界》教案1 北師大版

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1、2019-2020年初中數(shù)學競賽輔導第五十講《生活中的數(shù)學（三） ――鏡子中的世界》教案1北師大版 在日常生活中，人們?yōu)榱擞^察自己的服裝儀表是否整潔漂亮，常常要照鏡子.如果鏡面是很平的，那么在鏡子中，人或物體與其像是完全一樣的.而且我們都有這樣的經(jīng)驗：當人走近鏡面，人在鏡中的像也走進鏡面；當人遠離鏡面，人在鏡中的像也遠離鏡面.如果你留心的話，就可以發(fā)現(xiàn)：人和像與鏡面的距離保持相等（圖2-155），這種現(xiàn)象叫作面對稱.如果我們只取一個側面，那么鏡面就可用一條直線來表示，人和人在鏡中的像可用一個平面圖形來表示，這樣，人、像與鏡就成了軸對稱，也叫直線對稱（圖2-155）. 如果實物是△

2、ABC,那么它在鏡中的像就成了圖形AA，BzC'.直線l表示鏡, 這時稱lABC和AA，BzC'的對稱軸（圖2-156）?圖中，A與A‘，B與Bz,C 與C'是對稱點.以對稱點為端點所連結的線段AA，，BB，，CC，被對稱軸l垂直平分，因此，如果以直線l為折痕，把AABC翻折過來，它必與AA，B，C，重合，所以成軸對稱的兩個圖形必全等. 例1設圖形ABCDEF是半個蝴蝶形（圖2-157（a）），試以直線l為對稱軸，畫出整個蝴蝶來. 11 (a) EJQE (b) 圖Z-157 解為了畫出整個蝴蝶，只需要畫出圖形ABCDEF關于直線l的軸對稱圖形就可以了.因為A

3、點、F點在直線l上,所以它們的對稱點分別和A，F(xiàn)是同一點，這樣,只要畫出B，C，D，E關于l的對稱點就行了.為此，先分別過B,C,D,E向l作垂線，設垂足分別為M,N,P,Q,然后在BM,CN,DP,EQ的延長線上取B‘，C',D'和E'點，使得BzM=MB,CzN=NC,DzP=PD,EzQ=QE,最后連結AB',B‘C‘，CzD',D'E',E'F,于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE'D'CB‘了(圖2-157(b)). 例2設直線L和直線l2平行，且L和l2間的距離為a.如果線段AB在l』勺右側，并設AB關于l；的對稱圖形是A'B'',而A'B'關于l2的對稱圖形是A〃B；(圖2-1

4、58)，那么，線段AB和A〃B〃有什么關系？" 簽2-158 解因為L平行于l2，并且AA'A〃垂直于-當然也垂直于打，同理BB'B〃也垂直于l和l.我們知道：“在平面內垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”, 12 所以 AA'A〃〃BB'B〃.① 另一方面，因為AP=PA',A'P'=P'A〃，所以 AA'A〃=2PP'=2a, 同理BB'B〃=2a，所以 AA'A〃=BB'B〃.② 由①，②可知，ABB-A卩為平行四邊舷所以a-B擰全血E. 通過例2,我們可知，如果在平面上兩條直線互相平行，有一個圖形以這兩條直線 為對稱軸，連續(xù)作了兩次軸對稱移動，那么相當于

5、這個圖形作了一次平行移動，平行移動的距離剛好是這兩個對稱軸間距離的2倍. 如果我們反復利用例2的原理，就可以做成帶形的花邊圖案.例如，我們把一張等寬的長紙條像圖2-159那樣折疊起來，并在上面用小刀刻出一個三角形的洞，然后再展開這張紙條，就會得到如圖2-160那樣的帶形圖案. I丨丨丨丨iIfa 翦S-159 如果我們把圖2-160中的m2,mi，mo,巴，巴，巴看成鏡子，Ao看作實物，那么A1，A2和A-1，A-2就是A0在鏡子中的像了?其實，圖中的A1是Ao以mo為對稱軸作對稱移動的對稱圖形，也可以把A看作是A作一次平行移到所得到的圖形.由此，怎樣看待A1和A?的關系以及A2和Ao

6、的關系呢？請同學們自己乍出回答. 有了上面的知識，同學們不僅可以自己設計一些帶形花邊圖案，還可以了解某些廣告上畫的花邊圖案的原理了.下面的圖2-161和圖2-162是兩個帶形圖案，你能看出它們是怎樣設計的嗎？ 圖2-161 圖2-162 如果我們把前面圖2-160中的m,m,m,m,m等看作平行的鏡子，A看作一 210-1-20 個人，如果這個人在鏡子中m和IQ］之間反復映照，那么就會看到圖2-163的情況. m3叫ftiqm-im-2rn-3m-4 九1 % A-! ^-2 A-s ;1

7、 ^]'-2-163 可以想象，在鏡子m中的像A,A,A，…，以及在鏡子m中的像A,A,A，… 01231-1-2-3 是無限多的.還可以知道：A在鏡m中的像是A，A在鏡m中的像是A，A在鏡 0011-1-2-2 m中的像是A，…如此等等.因為A和A，A和A是軸對稱移動，所以A到A是平 03011202 行移動. 例3設直線11和直線12相交，交點為0,其夾角為a.如果線段AB關于1』勺軸對稱圖形是AzBz，而A’B'關于l的軸對稱圖形是A〃B〃.試問AB和A〃B〃 2 間有什么關系？（見圖2-164） 解因為已知AB關于11的對稱圖形是AzBZ

8、,AZB'關于12的對稱圖形是A〃 B〃，所以AB=AZBz，AzBz=A〃B〃，所以 AB=A〃B〃，① 0 國：2—lE4 由于ZA0P=ZAz0P，ZAzOP'=ZA〃OP',所以 ZA0A〃=2ZP0P'=2a. 同理ZB0B〃=2ZP0P'=2a，所以 ZA0A〃=ZB0B〃=2a.② 由①，②可知：在平面上，如果兩條直線相交，一個圖形以這兩條直線為對稱軸，連續(xù)作兩次對稱移動，那么相當于這個圖形以這兩條直線的交點為旋轉中心，以這兩條直線的交角的2倍為旋轉角，作了一個旋轉移動，在旋轉移動下，圖形的大小不變. 例4同學們小時候常常玩萬花筒，它是由三塊等寬、等長

9、的玻璃片圍成的?為什么在萬花筒中會出現(xiàn)美麗奇特的圖案呢？試用前邊的知識揭開萬花筒的秘密. 解萬花筒中所以能呈現(xiàn)千變萬化、美麗而奇特的圖案，主要是利用了圖形的對稱和旋轉原理.為具體說明，給出的圖2-165為萬花筒中的一個圖案，它是用一個小圓、一個平行四邊形和一段短線在萬花筒中連續(xù)反射而成的圖形. 為了清楚地說明上圖形成的原理，我們取出圖形中的一部分（圖2-166）加以分析. 正厶ABO以OB為對稱軸作軸對稱移動，就得到△CB0；ACB0以OC為對稱軸作軸對稱移動，就得到厶CDO.經(jīng)過這樣兩個軸對稱移動，實際上相當于△ABO以0為中心，以120°為旋轉角，作了一個旋轉移動

10、?這樣： 點A-點C,邊A0-邊C0， 點B-點D,邊AB-邊CD， 點0-點0,邊B0-邊D0. 在這樣旋轉移動下‘△ABO中的平行四邊形、小圓和曲線也跟著旋轉了120°.經(jīng)多次反復，就形成了圖2-165的綺麗景色.如果同學們有興趣，可以自己在紙上再現(xiàn)萬花筒中的世界！ 練習二十九 1. 設l和l是兩面平行相對的鏡子，如果把一個小球放在l和l之間(圖 1212 2-167)，試問: 11 A ■*—：=L—* 魁Z—167 (1) 小球A在鏡l1中的像A'在什么位置? (2) 小球A在鏡li中的像A'在鏡l2中的像A〃又在什么位置？分別畫在圖上；

11、 (3) 小球A和像A〃之間的距離與l和l之間的距離有什么關系？ 12 2. 圖2-168是萬花筒中的一個圖案，其中菱形FJKG變成菱形FDAC，如果看成經(jīng)過以F點為旋轉中心、旋轉角為x的旋轉移動得到的，那么x等于多少度？請從下面的四個答案中選出一個正確的答案來. 圖2^168 (A) 60°； (B) 120°； (0180°； (D)以上答案都不對. 3. 圖2-169是游樂園中的大型旋轉車的簡圖，游人坐在旋轉車的車斗中，任憑旋轉車不停地旋轉，但總是頭朝上，絕不會掉下來?試問車斗所作的移動是什么移動？請在下面答案中選一個正確的答案. (A)旋轉；(B)對稱； (C) 平移；(D)以上答案都不對. 4. 圖2-170表示一張長方形球臺，設P，Q為兩個球，若擊P球，使它碰CD邊后，反彈正好擊中Q球.試問P應碰撞CD邊的哪一點？