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1、2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座第一講走進追問求根公式
形如()的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法.而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法.
求根公式內涵豐富:它包含了初中階段已學過的全部代數(shù)運算;它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數(shù)、何時有實根等基本問題;它展示了數(shù)學的簡潔美.
降次轉化是解方程的基本思想,有些條件中含有(或可轉化為)一元二次方程相關的問題,直接求解可能給解題帶來許多不便,往往不是去解這個二次方程,而是對方程進行適當?shù)淖冃蝸泶鷵Q,從而使問題易于解決.解題時常用到變形降次、整體代入、構造零值多項式
2、等技巧與方法.
【例題求解】
【例1】滿足的整數(shù)n有個.
思路點撥從指數(shù)運算律、±1的特征人手,將問題轉化為解方程.
【例2】設、是二次方程的兩個根,那么的值等于()
A.一4B.8C.6D.0
思路點撥求出、的值再代入計算,則計算繁難,解題的關鍵是利用根的定義及變形,使多項式降次,如,.
例3】解關于的方程.
思路點撥因不知曉原方程的類型,故需分及兩種情況討論.
【例4】設方程,求滿足該方程的所有根之和.
思路點撥通過討論,脫去絕對值符號,把絕對值方程轉化為一般的一元二次方程求解
【例5】已知實數(shù)、、互不相等,且a+~=b+丄=c+丄=d+丄=x,試求的值.bcda
3、思路點撥運用連等式,通過迭代把、、用的代數(shù)式表示,由解方程求得的值.
注:一元二次方程常見的變形形式有:
(1) 把方程()直接作零值多項式代換;
(2) 把方程()變形為,代換后降次;
(3) 把方程()變形為或,代換后使之轉化關系或整體地消去.解合字母系數(shù)方程時,在未指明方程類型時,應分及兩種情況討論;解絕對值方程需脫去絕對值符號,并用到絕對值一些性質,如.
學歷訓練
1. 已知、是實數(shù),且,那么關于的方程的根為.
2. 已知,那么代數(shù)式的值是
3. 若,,則的值為.
4.若兩個方程和只有一個公共根,則()
A.B.C.D.
5.當分式有意義時,的取值范圍是()
A
4、.B.C.D.且
6.方程的實根的個數(shù)是()
A.0B.1C.2D.3
7.解下列關于的方程:
(1) (m一1)x2+(2m一1)x+m一3=0;
(2) ;(3).
8. 已知,求代數(shù)式(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)的值.
9. 是否存在某個實數(shù)m,使得方程和有且只有一個公共的實根?如果存在,求出這個實數(shù)m及兩方程的公共實根;如果不存在,請說明理由.
注:解公共根問題的基本策略是:當方程的根有簡單形式表示時,利用公共根相等求解,當方程的根不便于求出時,可設出公共根,設而不求,通過消去二次項尋找解題突破口.
10. 若,則=.
11. 已知、是有
5、理數(shù),方程有一個根是,則的值為.
12.
已知是方程的一個正根。則代數(shù)式3+
2000
2000
‘2000
1+
的值為
13?對于方程,如果方程實根的個數(shù)恰為3個,則m值等于()
A.1n.2C.D.2.514.自然數(shù)滿足(n2-2n-2)“2+47=⑺2-2n-2)16n-16,這樣的的個數(shù)是()
A.2B.1C.3D.4
15.已知、都是負實數(shù),且,那么的值是()
A.B.
16.已知,求的值
C.
D.
17. 已知m、n是一元二次方程的兩個根,求(m2+2000m+6)(m2+2002n+8)的值.
18. 在一個面積為l的正方形中構造一個如下
6、的小正方形:將正方形的各邊等分,然后將每個頂點和它相對頂點最近的分點連結起來,如圖所示,若小正方形面積為,求的值.
19. 已知方程的兩根、也是方程的根,求、的值.
2°?如圖,銳角△ABC中,PQRS是厶ABC的內接矩形,且S^c=S矩形pQRs,其中為不小于3的自然數(shù).求證:需為無理數(shù).
DC,C
參考答案
①追問求根公式
【例題求解】
例14提示:由力+2=0,刃2—并一1H0得w——2,由n2~n^~1=1猖n~—l?w=2;由n?~n—1=-^1且n+2為偶數(shù),得n
=0.
例2選A由題意有Jr?+xj—3=0,xl+x2—3=0,即xi=3—xtt-tz=3—x2
7、?原式=4?(3—jti)—4(3—)+19=3xi—廿+4^2十7=3工1—(3—工[)+4x2+7=4(jti+比〉+4=4X(—1)+4=0
例3(1)當a=l時,方程的根為乂=*;當a>0且a^l時"方程有兩個不相等的實數(shù)根E二字¥,乜=牛乎;當
時,方程有兩個相等實根孫=竝=0;當a<0時.方程沒有實數(shù)根-
例4當2r-l>0即乂>寺吋,原方程化為十一2工一3=0,解得乃=3,比=-1(舍去卄當2乂一1=0即x=~時,代人原方程不合,舍去;當2o--l<0即x
8、5由已知有:b=—*c=~-~,代入<■+£=j~得~-~-+A-=0,即dr3——(2<7~a)j-+ad+l—0,
x~~at—clt一1ajt—ajr—1a
乂由J+—=t得ad+l=az,代人上面方程得(c/?a)(x3—2攵)=0,由已知“一“H0,故—2兀=0,若無=0,則a=ca
矛盾;故有^2=2,即工=±雄
【學力訓練】
1?1土2.23?一7或6兩方程相力口,得(兀+丿),+(j■十y)—42=04?D5-D
6. A當云>0時山=一1(舍去),當一1£*<0時,原方程沒有實根,當才<一1時舍去.
7. (1)當心1時”2;當曲1且Q卷時5語戸;當心]且心||
9、時“7=5;當心1且X
fl時,方程無實數(shù)根.(2)山/—|乂|—]=0,&|=氣企或|別=12奔(舍去),故工2=土匕詐.(3)劃=工2=-1,吧.<=
—3士2岳.
8, 1原式=3(云一2刃一5=1.
9. 假設存在符合條件的實數(shù)椀,且設這兩個方程的公共實根為宀則
(a+ma+2=0①①一②,得(m-2)(a-l)=0
ta"+2a+m=0②m—2或a=l.
當m=2時,已知兩個方程為同一個方程,且沒有實數(shù)根,故m=2舍去;當a=l時.代入①得3,求得公共根為x=l.
10. 6j-2+1=5j-,——5—x.
X
—(9—2m+n=0
11?3代人有(9一2也+料
10、〉+(加一4對^=0?則{,解得血=4山=一1.
[加一4=0
.提示:/—a+2000?a2—a=2000
13*B工=1士/n—1或jt=—1±y/m—1
14.C+47=16斤一16或〃'一2“一2=1fn2—2n—2=—L15.C
16?工二/(4二/SV=4_a/5\得x2+8jt+13=0,代人原式=5?17?亦+2001加+7=0?卅+2005+7=0,
原式=(亦+2001?n+7—?n—1)(n2+2001打+7+并+1)=(—加一1)(ri+1)
=-(nwi+巾+n+l)=-(7-2001+1)=1993.
18. A,B=口,CG=g,AjC^/p+C—
11、)2,過C作CP丄AiC于P,則RtAA,BCsRt/XCPG.得GP=笛茫
丹丹¥"AiC
宓〕2”+1,:務=為;G戸=2點一;卄]=爲得(九―41)5+40)=0,故”=41.
19. x2-3x-1,則才=(3工一1嚴=9土一6工十1代人第二個方程得
9工'一6才+1—衛(wèi)工z+g=O,整理為(9~^6x+(g+1)=0(*)
(*)方程與方程^2-3r+l=0是同解方程,則¥=弓=中,解得方=7,g=l.
20. 如圖,設BC=a,BC邊上的高AD=h,PS=a:,RS^y,由厶ASRc^/\ABC,得耳=子
■h_戈
':S^abc=z?S矩形?:^-ah=nxy=njc?—■蘭*。,整理得2nx2—27?t/i+A2=0-
2〃(才)—2n?-^-+1=0./.才=*±舟/22_2力?顯然n2—2n<(?—1)2,又打豪3,
???X—2打>5—2)2,故rr-2n不是完全平方數(shù).為無理數(shù),從而三為無理數(shù)?于是靂=£?為無理數(shù).nd/\n