周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù).ppt

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12.2周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù),一、周期函數(shù),f(t)=f(t+kT),T為周期函數(shù)f(t)的周期，k=0，1，2，……如果給定的周期函數(shù)滿足狄里赫利條件，它就能展開成一個(gè)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)。電路中的非正弦周期量都能滿足這個(gè)條件。,二、傅里葉級(jí)數(shù)的兩種形式,1、第一種形式,式中：K=1，2，3…,系數(shù)的計(jì)算公式,2、第二種形式,A0稱為周期函數(shù)的恒定分量（或直流分量）；A1mcos(ω1t+ψ1)稱為1次諧波（或基波分量），其周期或頻率與原周期函數(shù)相同；其他各項(xiàng)統(tǒng)稱為高次諧波，即2次、3次、4次、……,3、兩種形式系數(shù)之間的關(guān)系,第一種形式,第二種形式,A0=a0,ak=Akmcosψk,bk=-Akmsinψk,4、傅里葉分解式的數(shù)學(xué)、電氣意義,,傅氏分解,A0,U1,U2,…,u(t),u(t),分解后的電源相當(dāng)于無(wú)限個(gè)電壓源串聯(lián)對(duì)于電路分析應(yīng)用的方法是疊加定理,三、f(t)的頻譜,傅里葉級(jí)數(shù)雖然詳盡而又準(zhǔn)確地表達(dá)了周期函數(shù)分解的結(jié)果，但不很直觀。為了表示一個(gè)周期函數(shù)分解為傅氏級(jí)數(shù)后包含哪些頻率分量以及各分量所占“比重”，用長(zhǎng)度與各次諧波振幅大小相對(duì)應(yīng)的線段，按頻率的高低順序把它們依次排列起來(lái)，得到的圖形稱為f(t)的頻譜。,1、幅度頻譜,各次諧波的振幅用相應(yīng)線段依次排列。,2、相位頻譜把各次諧波的初相用相應(yīng)線段依次排列。,,,,,,,,,4ω1,3ω1,2ω1,ω1,例：求周期性矩形信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式及其頻譜,,f(t),t,ω1t,Em,-Em,π,2π,T,解：f(t)在第一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為,f(t)=,,Em,-Em,根據(jù)公式計(jì)算系數(shù),0,=0,當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)：cos(kπ)=1bk=0,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)：cos(kπ)=-1,代入求得,當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)：cos(kπ)=1bk=0,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)：cos(kπ)=-1,,圖形曲線分析:,取到11次諧波時(shí)合成的曲線,比較兩個(gè)圖可見，諧波項(xiàng)數(shù)取得越多，合成曲線就越接近于原來(lái)的波形。,,f(t),t,ω1t,Em,-Em,π,2π,T,假設(shè)Em=1，ω1t=π/2，得,取到11次諧波時(shí)，結(jié)果為0.95;取到13次諧波時(shí)，結(jié)果為1.05;取到35次諧波時(shí)，結(jié)果為0.98,誤差為2%,矩形信號(hào)f(t)的頻譜,,,,7ω1,5ω1,3ω1,ω1,,3、頻譜與非正弦信號(hào)特征的關(guān)系,波形越接近正弦波，諧波成分越少；,f(t)=10cos(314t+30),,ω1,1、偶函數(shù)f(t)=f(-t)縱軸對(duì)稱的性質(zhì),四、非正弦函數(shù)波形特征與展開式的系數(shù)之間的關(guān)系,可以證明：bk=0,1、偶函數(shù)縱軸對(duì)稱的性質(zhì)f(t)=f(-t),展開式中只含有余弦項(xiàng)分量和直流分量,f(t)=-f(-t)原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì),2、奇函數(shù),可以證明：a0=0,ak=0,原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)f(t)=-f(-t),2、奇函數(shù),展開式中只含有正弦項(xiàng)分量,滿足f(t)=-f(t+T/2),稱為奇諧波函數(shù),f(t),t,T,3、奇諧波函數(shù):,f(t)=-f(t+T/2),叫做鏡對(duì)稱的性質(zhì),判斷:利用鏡對(duì)稱的性質(zhì)f(t)=-f(t+T/2),3、奇諧波函數(shù),可以證明：a2k=b2k=0,f(t)=,展開式中只含有奇次諧波分量,判斷下面波形的展開式特點(diǎn),f(t)是奇函數(shù)展開式中只含有正弦分量f(t)又是奇諧波函數(shù)展開式中只含有奇次諧波,f(t)=,系數(shù)Akm與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)（但ψk是有關(guān)的），這是因?yàn)闃?gòu)成非正弦周期函數(shù)的各次諧波的振幅以及各次諧波對(duì)該函數(shù)波形的相對(duì)位置總是一定的，并不會(huì)因計(jì)時(shí)起點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)；因此，計(jì)時(shí)起點(diǎn)的變動(dòng)只能使各次諧波的初相作相應(yīng)地改變。由于系數(shù)ak和bk與初相ψk有關(guān)，所以它們也隨計(jì)時(shí)起點(diǎn)的改變而改變。,4、系數(shù)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)的關(guān)系,由于系數(shù)ak和bk與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)，所以函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)可能與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)。但是，函數(shù)是否為奇諧波函數(shù)卻與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)。因此適當(dāng)選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)有時(shí)會(huì)使函數(shù)的分解簡(jiǎn)化。,4、系數(shù)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)的關(guān)系,例：已知某信號(hào)半周期的波形，在下列不同條件下畫出整個(gè)周期的波形,1、只含有余弦分量2、只含有正弦分量3、只含有奇次諧波分量,1、只含有余弦分量,f(t)應(yīng)是偶函數(shù)關(guān)于縱軸對(duì)稱,2、只含有正弦分量,f(t)應(yīng)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,3、只含有奇次諧波分量,f(t)應(yīng)是奇諧波函數(shù)鏡象對(duì)稱,,